高三数学

江苏省常州高级中学
2008～2009学年第一学期期中质量检查高三年级
数 学 试 卷
2008.11
说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题满分70分）
1．1
212
[(1](1--=_________________． 2．若点P(m ，n) (n≠0)为角600°终边上一点，则n
m
等于___________． 3．若存在x ∈,34ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
，使|sin |2a x >成立，则实数a 的取值范围为 ．
4．在等差数列{a n }中，a 2 + a 5 = 19，S 5 = 40，则a 10 为 ． 5．设2
30.0310x
y
-==，则
11
x y
-的值为 ． 6．在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，则A 等于____________．
7．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为
10x y -+=，则直线PB 的方程是___________________．
8．设点P 是函数()cos()f x x ωϕ=+的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴
的距离的最小值为4
π
，则)(x f 的最小正周期是______________．
9．已知函数)10(log )2
1(≠>==a a x y y a x 且与函数两者的图象相交于点),,(00y x P 如果
a x 那么,20≥的取值范围是 ．
10．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆42
2=+y x 交于N M ,，
O 是坐标原点，则·= _________________．
11．若等比数列{a n }满足：354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，
则54321a a a a a +-+-的值是________________．
12．已知点（m ，n
）在曲线y =
上，则
2
3
n m --的取值范围是_________________． 13．设m 为实数，若22
250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪
+≥⎩⎩⎭
，则m 的取值范围
是______________．
14．图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则
()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示）
二、解答题（本大题满分90分）
15．（本小题满分14分）
函数3()2()
x
f x
g x x ==和的图像的示意图如图所示．设两函数的图像交于点112212(,),(,),A x y B x y x x <且．
（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应哪一个函数？
（2）[][]12,1,,1x a a x b b ∈+∈+若,且}{
,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；
（3）结合函数图像示意图，判断(6),(6),(2009),(2009)f g f g 的大小．
设全集U ＝R ，
（1）解关于x 的不等式01|1|>-+-a x （∈a R ）； （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合B ＝｛0)3
c o s (3)3
s i n (|=-
+-π
ππ
πx x x ｝，
若(C U B A )恰有3个元素，求a 的取值范围．
17．（本小题满分14分）
已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且向量a ＝cos 2B A -i ＋25sin 2
B
A ＋j 的长度为
|a |＝
4
2
3，其中i ，j 分别是x 轴、y 轴上的单位向量． （1）求证：tanA ·tanB 是定值；
（2）求tan(A ＋B)的最小值．
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点
A ()
2的入射光线l 1被直线l
：
y x =
反射，反射光线l 2交y 轴于B 点．圆C 过点A 且与l 1、l 2相切． （1）求l 2所在的直线的方程和圆C 的方程；
（2）设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点P 的坐标．
若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：
()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．
已知2()h x x =，()2ln (x e x e ϕ=为自然对数的底数)． （1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；
（2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）
定义：若数列{}n A 满足2
1n n A A =+，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}
n a 中，21=a ，点),(1+n n a a 在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数． （1）证明：数列{}12+n a 是“平方递推数列”，且数列{})12lg(+n a 为等比数列． （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即n T )12()12)(12(21+++=n a a a ，
求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式．
（3）记n a n T b n 12l og +=，求数列{}n b 的前n 项之和n S ，并求使n S 2008>的n 的最小值．。