2019-2020学年湖北省宜昌市高二上学期期中考试数学试题

宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋期中联考
高二数学
（全卷满分：150分 考试用时：150分钟）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知两点()()1,2,3,4A B -，则直线AB 的斜率为
A. 2
B. 2
1-
C.
2
1
D. 2-
2、数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式n a 可以为( )
A. 21n +
B. 12+n
C.12-n
D. 121n +-
3、在等比数列{}n a 中，12,34321=+=+a a a a ，则65a a +的值为 ( )
A. 18
B. 21
C. 24
D. 48
4、过点()
3,1-P 且倾斜角为 30的直线方程为（ ）
A. 03433=+-y x
B. 0323=+-y x
C. 03233=+-y x
D. 03=-y x
5、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n -=2
，则=5a ( )
A. 6
B. 8
C. 12
D. 20
6、已知圆过()()()1,2,1,0,3,0A B C --三点，则圆的方程是（ ）
A. 0942
2=--+x y x B. 0542
2=-++x y x C. 0722
2=--+x y x D. 0322
2=-++x y x
7、在等差数列{}n a 中，若76,a a 是方程0132=-+x x 的两根，则{}n a 的前12项的和为( )
A. 6
B. 18
C. -18
D. -6
8、不论m 为何实数，直线()0121=+---m y x m 恒过定点（ ）
A.()1,1-
B.()1,2-
C.()1,2--
D. ()1,1
9、已知数列{}n a 满足3,211-==-+a a a n n ，则=+++521a a a ( )
A. 13
B. 8
C. 5
D. 20
10、已知数列{}n a 满足n
n n a a a 2,211+==+，则n a =（ ）
A.2n
B. n 2
C. 121+-n
D.221-+n
11、已知()()0,1,4,2B A ，动点P 在直线1-=x 上，当PB PA +取最小值时，则点P 的坐标为（ ）
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛-58,1 B. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-521,
1 C. ()2,1- D. ()1,1-
12、直线01=-+ay ax 与圆0122
2
2
2
=+-+a y a x a 有公共点()00,y x ，则00y x 的最大值为
（ ）
A.4
1- B.
3
4
C.
9
4
D. 2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、已知直线013:=-+y x l ，则直线l 的倾斜角为______．
14、已知点()()()2,3,2,1,,2A B C x --，若A 、B 、C 三点共线，则x 的值为______．
15、已知1，a,b,c,4成等比数列，则b=______．
16、已知圆012:2
2
=--+x y x C ，以点1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
为中点的弦所在的直线方程是______．
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分10分） 已知直线l 过点()2,3P ．
⑴若直线l 与052=++y x 平行，求直线l 的方程; ⑵若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．
18、（本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，13,5543=+=a a a （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n b n a n +=-2
2，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
19、（本小题满分12分）
已知递增等比数列{}n a 满足：13,332==S a
⑴求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； ⑵设()13log 11
+⋅+=n n a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T
．
20、（本小题满分12分）
已知曲线方程042:2
2
=+--+m y x y x C .
⑴ 若曲线C 表示圆，求m 的取值范围；
⑵ 当m=4时，求圆心和半径；
⑶当m=4时，若圆C 与直线04:=-+y x l 相交于M 、N 两点，求线段 MN 的长．
21、（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n a S n n 323-=.
（1）求数列{}n a 的前三项123,,a a a ； （2）证明数列{}1+n a 为等比数列；
（3）求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和n T ．
22、（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy 中，直线0123=+++y x 与圆C 相切，圆心C 的坐标为()1,2-．
（1）求圆C 的方程；
（2） （2）设直线1+=kx y 与圆C 没有公共点，求k 的取值范围;
（3） （3）设直线m x y +=与圆C 交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值． （4） （5）
（6）宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋期中联考
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13、
6
5π
14、-1 15、 2 16、2x-4y+3=0
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17、解：（1）设直线方程为1
y=-2
x m +，因为过点()2,3P ，
所以13242m m =-⨯+⇒=，从而直线方程为1
42
y x =-+，即280x y +-=为所求；
'4
（2）①当直线经过原点时，可得直线方程为：3
2
y x =
，即320x y -=． '7
②当直线不经过原点时，可设直线方程为
1x y
a a
+=， 把点()2,3代入可得：23
15a a a
+=⇒=，可得直线方程为50x y +-=． 综
上
所
述
：
所
求
的
直
线
方
程
为
：
320x y -=或
50x y +-=． '10
18、解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，
由
题
意
得
111253413
a d a d a d +=⎧⎨
+++=⎩，解得
131
a d =⎧⎨
=⎩,
'3
∴a n =3+
（n -1）×1，即
a n =n +2． '5 （2）
2n a n =+
222n a n n b n n
-∴=+=+
'7
所以()()()()231232122232n n n S b b b b n =++++=++++++++
(
)()23
222212+3+
+n n =+++
+++
'9
()21
1222421222
n n n n n n ++-⨯+-=+=+
- '12
19、解：（1）由题可知()舍或⎪⎩
⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧==319311331
132q a q a S a '2 所以n a 的通项公式1
3-=n n a '4
前n 项和()
2
1
3111-=--=n n n q q a S ； '6
（2）由（1）知n
n a 31=+
所以()()11
111log 1113+-=+=⋅+=
+n n n n a n b n n '
9
所以数列n b 的前n 项和
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=111
41313121211321n n b b b b T n n 11
1
1n n n .
故数列{}n b 的前n 项和1
n n T n =
+. '
12
20、解：由2
2
240x y x
y
m
得()()2
2
125x y m -+-=-
（1）若曲线C 表示圆，则50m ->,所以5m <. '3 （2）当m=4，则圆为()()2
2
121x y -+-=
此时，该圆的圆心为()1,2，半径为1； '6 （3）当m=4,则圆的方程为()()2
2
121x y -+-=， 圆心()1,2到直线4
0x
y
的距离2
d =
=
因为圆的半径为1
，所以22MN === 故线段MN 的长
为.
'12
21、解：（1）由题意得1113233S a a =-⇒=-，
22232323S a a =-⨯⇒=， 33332339S a a =-⨯⇒=-
所
以
数
列
{}
n a 的前三项
1233,3,9
a a a =-==-；
'3
（2）因为323n n
S a n ，所以1
233n
n S a n ……①
当2n ≥时，1
1
1233
3
n
n S a n
②
①-②，得122133
n n n a a a -=--1
112321n n n n a a a a --+⇒=--⇒=-+ 112a +=- {}1n a ∴+是以-2为首项，-2为公比的等比数列
()()1221
n n
n n a a ∴+=-⇒=--
'7
（3）设1n n n
b a =
+，则()2n n n b =-
所以n
1
2
3
T n b b b b ，
1
2
3
1232
2
22n
n
n T ，
12
n T
23
1
1212
2
2
2
n
n n n
'9
两式相减得()()()()
()
231
31111
222222n n
n n
T +=++++
-
-----，
()()111
12221212n
n n +⎛⎫--
⋅- ⎪
⎝⎭-=
-⎛⎫--- ⎪
⎝⎭
()1321332n n ++=--- ()
1
6429
92n n n T ++⇒=-
-⋅-即为所求
'12
22、解：（Ⅰ）设圆的方程是（x -1）2+（y +2）2=r 2，
依题意
∵C （1，-2）为圆心的圆与直线10x y ++=相切．
∴所求圆的半径，3r =
=，
∴所求的圆方程是（x -1）2+（y +2）2=9． '
3
（Ⅱ）圆心C （1，-2）到直线y =kx +1的距离
d =
=， ∵y =kx +1与圆没有公共点，
∴d ＞
r 3>，解得0＜k ＜34． k 的取值范围：（0，
34）． '6 （Ⅲ）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
联立方程组(
)()22129y x m x y =+⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 消去y ，得到方程2x 2+2（m +1）x +m 2+4m -4=0，
∴ x 1+x 2=-m -1，x 1x 2=244
2m m +- , ①
'8
由已知可得，判别式∆=4（m +1）2-4×2（m 2+4m -4）＞0，化简得m 2+6m -9＜0，
由于OM ⊥ON ，可得x 1x 2+y 1y 2=0, '10
又y 1=-x 1-m ，y 2=-x 2-m , 所以2x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=0， ② 由①，②得m =-4或m =1，满足∆＞0，
故m =1
或m =-4． '12。