贵州省遵义市凤冈中学高二数学理月考试卷含解析

贵州省遵义市凤冈中学高二数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度
参考答案：
B
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；
“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n 个”的否定：“至少有n+1个”；
“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．
故选B
2. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1且a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，S2m﹣1=39，则m等于（）A．10 B．19 C．20 D．39
参考答案：
C
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】利用等差数列的性质a m﹣1+a m+1=2a m，根据已知中a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．
【解答】解：∵数列{a n}为等差数列
则a m﹣1+a m+1=2a m
则a m﹣1+a m+1﹣a m2﹣1=0可化为2a m﹣a m2﹣1=0
解得：a m=1，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=39
则m=20
故选C．
【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中等差数列最重要的性质：当m+n=p+q时，
a m+a n=a p+a q，是解答本题的关键．
3. 已知F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆
交于不同的两点B，C（如图），则的值是( )
A. 4
B. 2
C. 1
D.
参考答案：
A
【分析】
设A（x1，y1），D（x2，y2），分析抛物线的焦点及圆心坐标，由抛物线的几何性质可得|AB|、|CD|的值，再结合抛物线的焦点弦性质可得答案．
【详解】根据题意，设A（x1，y1），D（x2，y2），
抛物线方程为y2＝8x,焦点为（2，0），圆的圆心为（2，0），
圆心与焦点重合，又直线l过抛物线焦点，
则，
，
由抛物线过焦点的弦的性质可得，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的定义和几何性质，抛物线的焦点弦(过焦点的弦)为
，则有如下结论：(1) (2).
4. 有一段演绎推理是这样的：“三角函数是周期函数，是三角函数，所
以是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的
是
A．推理完全正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．推理形式不正确
参考答案：
C
12、无论，，,是否为非零向量，下列命题中恒成立的是 ( )
A、
B、若，，则
C、
D、
参考答案：
D
略
6. 设函数为奇函数，，则（）
A.0
B.1
C.
D.5
参考答案：C
略
7. 设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
8. 若函数至少有1个零点，则实数a的取值范围是
A. B.[0,1) C. D.
参考答案：
C
【分析】
令，则函数至少有1个零点等价于函数
至少有1个零点，对函数求导，讨论和时，函数的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数的取值范围。

【详解】由题可得函数的定义域为；
令，则，函数至少有1个零点等价于函数
至少有1个零点；
；
（1）当时，则在上恒成立，即函数在单调递增，当
时，，当时，，由零点定理可得当时，函数在有且只有一个零点，满足题意；
（2）当时，令，解得：，令，解得：，则函数在
上单调递增，在上单调递减，当时，，所以要使函数至少有1个零
点，则，解得：
综上所述：实数的取值范围是：
故答案选C
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。

9. 如图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是( )
A．B．
C．D．
参考答案：
A
10. 已知随机变量、分别满足：,且,
，则等于（）A. 0.321 B. 0.679 C. 0.821 D. 0.179
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在中，角所对的边分别为，若，，，则
．
参考答案：
略
12. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。

若要从身高在 [ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应
为．
参考答案：
3
13. 将5个相同的小球放到4个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，共有_____种放法
参考答案：
4
略
14. 一个椭圆中心在原点，焦点在x轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为▲．
参考答案：
【分析】
设椭圆方程为=1，（a ＞b ＞0），由已知结合椭圆性质及等差数列性质列出方程求出a ，b ，由此
能求出椭圆方程．
【详解】∵个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，
∴设椭圆方程为
=1，（a ＞b ＞0），
∵P （2，）是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，
∴
，且a 2=b 2+c 2，
解得a=2，b=，c=，
∴椭圆方程为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考是椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
15. 已知函数
则“
”是“函数
在R 上递增”
的 ．
参考答案：
充分不必要
若函数是单调增函数，则应满足：，解得：
，
则
“”是“函数
在上递增”的充分不必要条件.
16. 已知函数在x =1处取得极值,则b =__________.
参考答案：
－1
由题可得，因为函数在处取得极值，
所以
且，解得或．
当
时，
，不符合题意；
当
时，
，满足题意．
综上，实数
．
17. 方程
表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__________．
参考答案：
方程
表示焦点在轴上的椭圆，
∴
，
解得
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）为了让学生等多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，统计结果见下表。

请你根据频率分布表解答下列问题：
（1）填充频率分布表中的空格。

（2）为鼓励学生更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于85分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少名学生获奖？
（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的S的值.
参考答案：
略
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且．点E是棱PC的中点，平面ABE 与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；
（2）若，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．
参考答案：
（1）证明：因为底面是菱形，所以∥．
又因为面，面，所以∥面．又因为四点共面，且平面平面，
所以∥．………………5分
（2）取中点，连接．
因为，所以．
又因为平面平面，
且平面平面，所以平面．所以．
在菱形中，因为，，是中点，
所以．如图，建立空间直角坐标系．设，
则，．
又因为∥，点是棱中点，所以点是棱中点．所以，．所以，．
设平面的法向量为，则有所以
令，则平面的一个法向量为．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
因为，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． (12)
20. 已知数列{a n}满足，.
（1）求{a n}的通项公式；
（2）已知数列{b n}的前n项和为a n，若，求正整数m的值.
参考答案：
（1），；（2）1或26.
【分析】
（1）采用累加法，可得的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，代入，可得m的值.
【详解】解：（1）当时，
又，∴的通项公式为，.
（2），
当时，，
即.
当时，令，得，解得.
又，
∴正整数的值为1或26.
【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的递推式，注意运算的准确性.
21. 已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设，求数列{b n}的前n项和．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8F：等差数列的性质．
【分析】（1）由已知条件可得，解得a1，d，即可；
（2）由a n=2n可得，，利用错位相减法数列{b n}的前n项和为T n．
【解答】解：（1）由已知条件可得，…
解之得a1=2，d=2，…
所以，
a n=2n．
…
（2）由a n=2n可得，，设数列{b n}的前n项和为T n．
则，…
∴，…
以上二式相减得
=，…
所以，．…
22. 已知数列{a n}的前n项和．
（1）计算；
（2）猜想a n的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
参考答案：
（1）依题设可得，，，；
（2）猜想：．
证明：①当时，猜想显然成立．
②假设时，猜想成立，
即．那么，当时，，即．
又，所以，
从而．即时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．
试题分析：（1）由题可知，，即，，即，依次递推下去，得出；（2）根据数学归纳法有，当，时，猜想成立，证明当时，猜想也正确，才能最后确定猜想正确；试题解析：（1）依题设可得，当时，，即，即，故，，，；
（2）猜想：．
证明：①当时，猜想显然成立．
②假设时，猜想成立，
即．那么，当时，，即．又，所以，
从而．即时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．。