2019-2020学年高中数学北师大版必修1课件：第三章指数函数和对数函数 §3指数函数(一)

跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值. 解 由指数函数定义可知2b－3＝1，即b＝2. 将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
解答
二 求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
命题角度1 f(ax)型
例2 求下列函数的定义域、值域. (1)y＝1＋3x3x； 解 函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1). ∵y＝(1＋1＋3x3)－x 1＝1－1＋1 3x，
二 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质：
a>1
0<a<1
图像
性质
(1)定义域：R (2)值域：(0，＋∞) (3)过点 (0,1) ，即x＝ 0 时，y＝_1_
(4)当x>0时， y>1 ； 性质 x<0时，_0_<_y_<_1_
(5)是R上的_增__函__数_
(4)当x>0时， 0<y<1 ； x<0时，__y_>_1_
解答
反思与感悟 解此类题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的 范围，从而把问题转化为y＝f(t)的问题.
跟踪训练2 求下列函数的定义域、值域. (1)y＝ 1－12x； 解 ∵1－12x≥0，∴12x≤1，解得 x≥0， ∴原函数的定义域为[0，＋∞). 令 t＝1－12x (x≥0)，则 0≤t<1，∴0≤ t<1， ∴原函数的值域为[0,1).
解答
ax－1 (2)y＝ax＋1(a>0，且 a≠1).
命题角度2 af(x)型 例 3 求函数 y＝ 32x－1－19的定义域、值域.
解答
反思与感悟 y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求 f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围.
跟踪训练5 函数y＝a|x|(a>1)的图像是
√
解析 函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
小结
规律与方法
1.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0， 且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1. 2.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1，0<a<1两种情况， 但不论哪种情况，指数函数都是单调的. 3.由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y ＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同.
跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域.
1
(1) y 0.3x1; 解 由x－1≠0，得x≠1， 所以函数定义域为{x|x≠1}. 由x－1 1≠0，得 y≠1， 所以函数值域为{y|y>0且y≠1}.
解答
(2) y 3 . 5x1
解 由 5x－1≥0，得 x≥15，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以函数定义域为xx≥51
.
由 5x－1≥0，得 y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}.
解答
三 指数函数图像的应用 命题角度1 指数函数整体图像 例 4 在如图所示的图像中，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与函数 y＝bax 的图 像可能是
√
解析 答案
反思与感悟 函数y＝ax的图像主要取决于0<a<1还是a>1.但前提是a>0 且a≠1.
4.求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下： (1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域； (2)求t＝f(x)的值域t∈M； (3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.
§3 指数函数（一）
学习目标
1.通过具体实例了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像，探索并掌握指数 函数的图像和性质.
重点：理解并掌握指数函数的图像和性质. 难点：能运用指数函数的有关性质去研究指数型函数的性质.
知识梳理
一、指数函数
一般地， 函数y＝ax(a>0，且a≠1) 叫作指数函数，其中x是自变 量，函数的定义域是R. 特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由： ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝ 1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1. (2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数；②指 数函数的自变量必须位于指数的位置上；③ax的系数必须为1；④指数 函数等号右边不会是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
(5)是R上的_减__函__数__
常考题型
一 求指数函数的解析式
例1 已知指数函数f(x)的图像过点(3，π)，求函数f(x)的解析式.
解 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，得到f(3)＝π，
1
x
即a3＝π，解得 a π3 ,于是 f (x) π 3 .
解答
反思与感悟 (1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1， 且a>0，a≠1.凡是不符合这个要求的都不是指数函数. (2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值， 要求a的值，只需一个已知条件即可.
跟踪训练4 已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图像经过定点P，则点P的坐标是
√A.(－1,5) B.(－1,4) C.(0,4)
D.(4,0)
解析 当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数， 此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5).
解析 答案
命题角度2 指数函数局部图像
又∵3x>0,1＋3x>1， ∴0<1＋1 3x<1，∴－1<－1＋1 3x<0， ∴0<1－1＋1 3x<1，∴值域为(0,1).
(2)y＝4x－2x＋1. 解 定义域为 R，y＝(2x)2－2x＋1＝2x－122＋34， ∵2x>0，∴2x＝12，即 x＝－1 时， y 取最小值34，同时 y 可以取一切大于34的实数， ∴值域为34，＋∞.
例5 若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，求实数a的取
值范围. 解 y＝|2x－1|＝21x－－21x，，xx≥<00，， 图像如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图像有两个公共点，
需
0<2a<1，即
1 0<a<2.
解答
反思与感悟 指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出 很多函数，本例就体现了指数函数图像的“原料”作用.