河南省信阳市名校2024届高三下学期全真模拟考试 数学试题【含答案】

河南省2024年普通高考模拟测试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数z 满足()i i 2i z +=+，则z =（）
A
B
C D
2．若非空集合A ，B ，C ，D 满足：A C C ⋂=，B C D = ，则（）
A ．A C
⊆B ．D A
⊆C ．A B ⋂=∅
D ．A D ⋂=∅
3．已知命题:p “R,e 10x x x ∃∈--≤”，则p ⌝为（）
A ．R,e 10x x x ∃∈--≥
B ．R,e 10x x x ∃∈-->
C ．R,e 10x x x ∀∈-->
D ．R,e 10
x x x ∀∈--≥
4．已知1a b == ，a b += a 在b
上的投影向量为（
）
A ．32
a
B ．12
a
C ．32
b
D ．12
b
5．抛物线()2
20y px p =>上的点()2,2P 到焦点的距离为（
）
A ．
52
B ．2
C ．
32
D ．1
6．若sin cos αα-=
tan α=（）
A ．1
B ．1
-C ．2D ．2
-7．已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（
）
A ．2
B ．
133
C ．
73
D ．
43
8．若()()()()(
)10
2
10
0121012111,R,0,1,2···10i x a a x a x a x
a i +=+++++++∈= ，则2a =（
）
A ．180
B ．180
-C ．90-D ．90
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设椭圆C ：22
12516
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（
）
A ．椭圆C 的离心率3
5
e =B ．125
PF PF +=C ．12PF F △面积的最大值为12D ．1PF 的最小值为
165
10．已知各项均为正数且单调递减的等比数列{}n a 满足3a ，43
2
a ，52a 成等差数列，其前n 项
和为n S ，且531S =，则（）
A ．5
12n n a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
B ．1
2
n n a +=C ．5
1322
n n S -=-
D ．4
216
n n S +=-11．下列命题正确的是（）
A ．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6
B ．已知随机变量1,2X B n ⎛⎫
⎪⎝⎭
，若()215D X +=，则5
n =C ．对于随机事件A ，B ，若()()P A
B P A =∣，()0P A >，()0P B >，则A 与B 相互独立D ．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某生产线正常生产下生产的产品A 的一项质量指标X 近似服从正态分布()2
5,N σ
，若
()()12P X a P X a ≤=≥+，则实数a 的值为
.
13．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的高为.
14．已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为X ，则()E X =
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos a b c B -=⋅．（1）求角C ；
（2）若2a =，D 是AC
的中点，BD =，求边c ．
16．某手机App 公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款App 人数的满意度统计数据如下：
月份x 12345不满意的人数y
120
105
100
95
80
(1)求不满意人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+$$$，并预测该小区10月份对这款App 不满意人数；
(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款App 与性别的关系，得到下表：
根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为是否使用这款App 与性别有关？
使用App
不使用App
女性4812男性
22
18
附：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1
2
21
ˆn
i
i
i n
i
i x y
nx y b
x
nx
==-=-∑∑，
a y bx =-$$，()()()()()
2
2
n ad bc a b c d a c b d χ-=
++++，n a b c d =+++
α
0.10.050.010.0050.001x α
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
17．如图，在三棱柱
111ABC A B C -中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .
(1)求证：1AA OD ⊥；
(2)若1AA =1B AA O --的余弦值.
18．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率
.（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在
y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.
19．已知函数()y f x =，其中()3
213
f x x kx =
-，R k ∈.若点A 在函数()y f x =的图像上，且经过点A 的切线与函数()y f x =图像的另一个交点为点B ，则称点B 为点A 的一个“上位点”，现有函数()y f x =图像上的点列1M ，2M ，…，n M ，…，使得对任意正整数n ，点n M 都是点1n M +的一个“上位点”.
(1)若0k =，请判断原点O 是否存在“上位点”，并说明理由；(2)若点1M 的坐标为()3,0k ，请分别求出点2M 、3M 的坐标；
(3)若1M 的坐标为()3,0，记点n M 到直线y m =的距离为n d .问是否存在实数m 和正整数T ，使得无穷数列T d 、1T d +、…、T n d +…严格减？若存在，求出实数m 的所有可能值；若不存
在，请说明理由.1．D
【分析】首先求复数z ，再求模.【详解】()2
2i i 2i i i 12i i 13i i i z ++=
-=-=--=-，
所以z =故选：D 2．B
【分析】根据交集和子集概念进行推导即可.
【详解】因为A C C ⋂=，所以依据交集概念可知C A ⊆，故A 错，又因为B C D = ，所以D C ⊆且D B ⊆，所以D C A ⊆⊆，即D A ⊆，故B 正确，所以,A D D A B =≠∅ ，故C 、D 错.故选：B.3．C
【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】存在量词命题：R,e 10x x x ∃∈--≤的否定是：R,e 10x x x ∀∈-->.故选：C 4．D
【分析】首先根据向量数量积公式，求a b ⋅
，再代入投影向量公式，即可求解.
【详解】()
2
2223a b
a b a b +=++⋅=
，由1a b == ，
得12
a b ⋅= ，
所以向量a 在b 上的投影向量为2
12a b b b b
⋅⋅= .故选：D 5．A
【分析】根据抛物线上的点求抛物线方程，再根据焦半径公式，即可求解.【详解】由条件可知，2222p =⨯，则1p =，所以22y x =，
所以点P 到焦点的距离1522222
p d =+=+=.故选：A 6．B
【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.
【详解】因为sin cos αα-=所以()2
22sin cos sin cos 2sin cos 1sin 22ααααααα-=+-=-=，所以33
sin 2122ππ,Z ππ,Z 24
k k k k αα∈α=-⇒=+⇒=+∈，所以tan 1α=-，故选：B 7．B
【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果【详解】设原来4个数据依次为a 、b 、c 、d ，则24a b c d +++=，由方差为3，所以()()()()2222
1666634a b c d ⎡⎤-+-+-+-=⎣
⎦，即()()()()2222
666612a b c d -+-+-+-=，
所以()
()2222
1236412a b c d a b c d +++-++++⨯=，
则2222121224364156a b c d +++=+⨯-⨯=，现加入数据8和10，则则其平均数为
()()11
8102418766
a b c d +++++=+=，则这6个数据的方差为()()()()()()222222
177********a b c d ⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦()
()222222
1810148104966
a b c d a b c d ⎡⎤=+++++-++++++⨯⎣⎦()()11566410014248104966⎡⎤=
++-+++⨯⎣
⎦13
3=故选：B 8．A
【分析】由1010[2(12)(1)1]x x =+-+写出其通项公式，依题意对r 赋值即可求得2a .【详解】因1010[2(12)(1)1]x x =+-+，其二项展开式的通项为：
10101011010=C [2(1)](1)(1)2C (1),0,1,,10r r r r r r
r r T x x r ---++-=-+= ，
而2a 是22(1)a x +的系数，故只需取8r =，得2822
9102C (1)180(1)T x x =+=+，
即2180a =.故选：A.9．AC
【分析】对于A ，由椭圆方程及离心率概念可得；对于B ，由椭圆定义122PF PF a +=可判断；对于C 、D ，由椭圆图形的结构特征和性质可得.
【详解】对于A ，由椭圆方程得5,4a b ==
，所以3c ==，所以离心率为3
5
e =
，故A 对；对于B ，由椭圆定义可知12210PF PF a +==，故B 错；
对于C ，由椭圆图形的结构特征及性质可知当P 位于椭圆上顶点或下顶点时，12PF F △面积取得最大，最大值为1
2122
S c b bc =
⨯⨯==，故C 对；对于D ，由椭圆性质可知1a c PF a c -≤≤+，所以1PF 的最小值为2，故D 错.故选：AC.10．AC
【解析】先根据3a ，43
2a ，52a 成等差数列求出公比，结合531S =求出首项，结合选项可得.
【详解】由3a ，43
2
a ，52a 成等差数列，得43532a a a =+.
设{}n a 的公比为q ，则22310q q -+=，解得1
2
q =
或1q =（舍去），所以155********
a S ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
==-，解得116a =.
所以数列{}n a 的通项公式为1
5
111622n n n a --⎛⎫
⎛⎫=⋅= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，
5116121321212
n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥
⎣⎦==--，
故选：AC.11．BC
【分析】根据百分位数定义判断A ；由二项分布方差计算公式判断B ；由条件概率公式和独立事件的定义判断C ；由分层抽样样本方差的计算公式判断D.
【详解】对于A ，由于650%3⨯=，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为67
6.52
+=，故A 错误；
对于B ，由于1,2X B n ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，则()()112144522D X D X n n +==⨯⨯⨯==，故B 正确；
对于C ，若()()P A
B P A =∣，根据条件概率公式则有()()
()P AB P A P B =，
变形可得()()()P AB P A P B =，则A 与B 相互独立，故C 正确；对于D ，分层抽样的平均数100100337
1721651001001001002
z =
⨯+⨯=++，
按分层抽样样本方差的计算公式，
22
2
1337337120172120165132.25222S ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=⨯+-++-=⎢⎥⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭，故D 错误.
故选：BC 12．3
【分析】根据正态分布的对称性可得方程，求出3a =.【详解】X 近似服从正态分布()2
5,N σ，()()12P X a P X a ≤=≥+，
故
1252
a a
++=，解得3a =.故答案为：313．3
【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可.【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，设母线长为l ，高为h .则π(15)30πl +⨯=，解得5l =.如图所示圆台的轴截面，
在BED 中，||4,||5ED BD ==，由勾股定理得：圆台的高3h =.故答案为：3.14．
83
【分析】首先确定2,3X =，分别求出各自的概率，然后期望公式可求【详解】记检测次数为X ，则2,3
X =当2X =时，检测的两件产品均为正品或为次品，则()22
22
24
A A 12A 3P X +===，当3X =时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，
都能确定所有次品，则()112
222
24
C C A 23A 3P X ===，所以()E X =128
23333
=⨯+⨯=，
故答案为：
83
15．（1）π3
C =
；（2）2c =.【解析】（1）先利用正弦定理将边转化到角的正弦，结合()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+进行化简1
cos 2
C =
，即求得角C ；（2）CBD △中利用余弦定理求得2b =，判断ABC 是等边三角形，即得到边c .【详解】解：（1）因为22cos a b c B -=⋅，由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B -=⋅，
因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，代入上式得，
2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B +-=，
即2sin cos sin 0B C B -=，即()sin 2cos 10B C -=因为ABC 中，sin 0B ≠，所以2cos 1C =，即1
cos 2
C =，又因为ABC 中，0C π<<，所以π
3
C =
；（2）依题意，CBD △
中，12,,2CB CD b BD ==
=π3
C =，利用余弦定理可得，2111
4322422
b b +-=⨯⨯⨯，即2440b b -+=，解得2b =，
ABC 中，2b a ==，π
3
C =
，故ABC 是等边三角形，故2c =.【点睛】思路点睛：
一般地，解有关三角形的题目时，通常利用正弦定理或余弦定理对边角关系进行转化，要有意识地已知条件判断用哪个定理更合适.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.16．(1) 9127y x =-+；37
(2)即认为是否使用这款APP 与性别有关，此推断的错误概率不大于0.01
【分析】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论；（2）根据题给数据分析列联表求解得出结论【详解】（1）由表中的数据可知，123451201051009580
3,10055
x y ++++++++=
===，
5
1
1120210531004955801410i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5531001500
x y =⨯⨯=5
1
5
21
51410150095545
5i i
i i i x y
x y
b
x x
==--==
=---∑∑ ，()100ˆˆ93127a y bx =-=--⨯=，不满意人数y 与月份x 之间的回归直线方程为 9127y x =-+，当10x =时， 91012737
y =-⨯+=预测该小区10月份对这款App 不满意人数为37；（2）提出假设0H ：是否使用这款App 与性别无关，
由表中的数据可得()2
21004818221250
7.143 6.63560407030
7
χ⨯⨯-⨯=
=
≈>⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为是否使用这款APP 与性别有关，此推断的错误概率不大于0.0117．(1)证明见解析；(2)
313
13
.【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得AO OD ⊥，再利用线
面垂直的判定、性质推理即得.
（2）由（1）的信息以O 为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -
中，,3AB AC AB ⊥==
，则
160,2
ACB OA BC ︒∠===由3,2AB AD DB ==，得1DB =，在DBO
中，30,1,DBO DB OB ︒∠===
由余弦定理222121cos301OD ︒=+-⨯=，得1OD =，2224OA OD AD +==，于是AO OD ⊥，由1A O ⊥平面,ABC OD ⊂平面ABC ，得1A O OD ⊥，
而11,,AO AO O AO AO =⊂ 平面1AOA
，因此OD ⊥平面1AOA ，又1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥，
（2）由（1）知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为原点，直线1,,OA OD OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，
由1AA AO ==13A O =
，则13(0,0,3),(,0)2
A A
B ，
于是133,3),,0)22
BA BA =-=- ，设(,,)m x y z = 为平面1ABA 的一个法向量，
则3302302y z y -+=-=
，取x =
m = ，显然(0,1,0)n = 为平面1AOA 的一个法向量，
因此cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=== 1B AA O --的大小为锐角，所以二面角1B AA O --的余弦值为31313
.
18．（Ⅰ）22154x y +=
5
-.【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a ,b ,c 的方程，解方程可得椭圆方程；
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的坐标，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，依题意，524,
5
c b a ==，又222a b c =+
，可得a =，b =2，c =1.所以，椭圆方程为22
154
x y +=.(Ⅱ)由题意，设()()(),0,,0P P P M P x y x M x ≠.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，
又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立22215
4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()
2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得22
81045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率2
4510P P y k x k
-=-，在2y kx =+中，令0y =，得2M x k
=-.由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2
k -.由OP MN ⊥，得2
451102k k k
-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =
，从而5
k =±.所以，直线PB
或【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19．(1)原点O 不存在“上位点”，理由见解析
(2)点2M 的坐标为()0,0，点3M 的坐标为339,2
8k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，23
m =-
【分析】（1）先求得函数经过点O 的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可；
（2）设点n M 的横坐标为n t ，n 为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得123n n t t k ++=，进而可得2M 、3M 的坐标；
（3）由（2）123n n t t ++=，构造等比数列可得()12112n n n t --=+-⋅，由题意()n n d f t m =-，
再根据导数与单调性的关系分析判断即可.
【详解】（1）已知()313f x x =，则()2f x x '=，得()00f '=，故函数经过点O 的切线方程为0y =，
其与函数()313
f x x =图像无其他交点，所以原点O 不存在“上位点”.（2）设点n M 的横坐标为n t ，n 为正整数，则函数()y f x =图像在点1n M +处的切线方程为()()()111n n n y f t f t x t +++-=-'，代入其“上位点”()(),n n n M t f t ，得()()()()111n n n n n f t f t f t t t +++-=-'，化简得()
()22211111123n n n n n n n n t t t t k t t t kt +++++++-+=-，即()
()22211111336n n n n n n n n t t t t t k t t kt +++++++-=+-，故()()()11123n n n n n n t t t t k t t +++-+=-，
因为1n n t t +≠，得123n n t t k ++=（*），
又点1M 的坐标为()3,0k ，
所以点2M 的坐标为()0,0，点3M 的坐标为339,2
8k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（3）将()3,0代入()y f x =，解得1k =，
由（*）得，123n n t t ++=.即()11112
n n t t +-=--，又13t =，故{}1n t -是以2为首项，12
-为公比的等比数列，所以11122n n t -⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，即()12112n n n t --=+-⋅，()n n d f t m =-.
令1n n u t =-，则22n n u -=严格减，
因为()32333x x x '
-=-，所以函数33y x x =-在区间()0,1上严格增.当23
m =-时，()3133n n n d u u =-，于是当3n ≥时，{}n d 严格减，符合要求当23m ≠-时，()2233n n d f t m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭
.因为3n ≥时()()32213233n n n n n f t u u u -+=-<=，所以当22log 23n m >++时，()()3222133333n n n n d m f t m u u =+-+=+--，从而当22log 23n m >++时{}n d 严格增，不存在正整数T ，使得无穷数列T d ，1T d +，…，T n d +严格减.综上，23
m =-.【点睛】方法点睛：（1）题中出现新定义时，根据新定义内容与数列与导数的基本方法求解分析；（2）根据数列的递推公式，构造等比数列求解通项公式.。