东北育才学校高三数学函数的单调性第一轮复习学案 人教版

东北育才学校高三数学函数的单调性第一轮复习学案
高考要求：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 考点回顾：
1．函数单调性的定义；
2．判断函数的单调性的方法；求函数的单调区间； 3．复合函数单调性的判断． 考点解析：
考点1、求函数的单调性
例1． 求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间； 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞，
B1-1.已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：222()82(2)(2)g x x x =+---4
2
28x x =-++，3()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-． 考点2、函数单调性的应用
Eg 2．设0a >，()x x
e a
f x a e =
+是R 上的偶函数． （1）求a 的值；
（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．
解：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x x
x x e a ae ae a e
+=
+ ∴11()()x x a e a e --0=对一切x R ∈成立，则1
0a a
-=，∴1a =±，∵0a >，∴1a =．
（2）设120x x <<，则1212
1211()()x x
x x f x f x e e e e -=-+-
2121121
122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e e e e
+-++-=--=-， 由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x
x x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<，
即12()()f x f x <，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数．
B2-1．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0
x f x ⋅<的解集为(,2)(2,)-∞-+∞．
B2-2.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，
且当1x >时()0,(2)1f x f >=， 1）求证：()f x 是偶函数； 2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； 3）解不等式2
(21)2f x -<．
解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则
221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅
-221111()()()()x x
f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21
()x
f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x >
∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．
（3）(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，
∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2
(|21|)(4)f x f -<，
又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<
，
即不等式的解集为(． 方法归纳：
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间
是定义域的子集；
2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；
4．注意分类讨论与数形结合的应用． 实战训练
1.函数f(x)=x 2
+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( ) (A)[3，+∞ ) (B)(-∞，-3] (C){-3} (D)(-∞，5] 2.已知函数f(x)=2x 2
-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2) 时是减函数，则f(1)等于( )B
(A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m 而决定的常数． 3.函数f(x)在(-2，3)上是增函数，则f(x-5)的递增区间是( )B (A)(3，8) (B)(-7，-2) (C)(-2，3) (D)(0，5)．
4．函数b ax x y ++=3
在区间（－1，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，则（ ） A ．1,1==b a B ．R b a ∈=,1
C ．3,3=-=b a
D ．R b a ∈-=,3
5．函数x
x x f 1
)(+=的一个单调递增区间是d （A ）()∞+,
0 （B ）()0,∞- （C ）(]1,0 （D ）[)+∞,1
6．若函数7)(23-++=bx ax x x f 在R 上单调递增，则实数a , b 一定满足的条件是（ ） A ．032
<-b a B ．032
>-b a
C ．032=-b a
D ．132
<-b a
7．函数2
12x x
y +=
在（ ） （A ）（—∞，＋∞）上是单调增函数 （B ）（—∞，＋∞）上是单调减函数 （C ）[—1，1] 上是单调增函数，（—∞，—1）和（1，＋∞）上分别是单调减函数 （D ）[—1，1] 上是单调减函数，（—∞，—1）和（1，＋∞）上分别是单调增函数 8.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )B (A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y=
x
4 (D)y=x 2
-4x+3 9.函数y=245x x --的递增区间是( )B
(A)(-∞，-2) (B)[-5，-2] (C)[-2，1]． (D)[1，+∞)．
10．函数c bx ax x x f +++=23)(，其中c b a ,,为实数，当032
<-b a 时，)(x f 在Ｒ上
是 A ． 增函 B ． 减函数 C ． 常数 D ． 既不是增函数也不是减函数
11．（2006年北京卷）已知(31)4,1
()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩
是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (C)
（A ）(0,1) （B ）1
(0,)3
（C ）11[,)73 （D ）1[,1)7
12．（2006年陕西卷）已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则 （A ） （A ）12()()f x f x > （B ）12()()f x f x < （C ）12()()f x f x = （D ）1()f x 与2()f x 的大小不能确定
13. （2005辽宁卷第10题）
已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,12
1λ
λλ++=
-≠x x a
λ
λβ++=
11
2x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则
（ ）
A ．0<λ
B ．0=λ
C ．10<<λ
D ．1≥λ
14. （2005山东卷理第4题，文第5题）
下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ D ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x f x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x
-=+ 15. （2005天津卷文第9题）
若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)2
1,0(内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( D )
(A))4
1,(--∞
(B) ),4
1
(+∞-
∞)
(D) )2
1
,(--∞
16．（2004年湖北，理7）函数f （x ）=a x +log a （x +1）在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为
A.
4
1
B.
2
1
C.2
D.4
解析：f （x ）是［0，1］上的增函数或减函数，故f （0）+f （1）=a ，即1+a +log a 2=a ⇔log a 2=－1，∴2=a
－1
⇔a =2
1.
答案：B 17．（理）（2003年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y =f （x ）的图象与y =2x 的图象关于直线y =x 对称，则函数y =f （4x －x 2）的递增区间是___________________.
解析：先求y =2x 的反函数，为y =log 2x ，∴f （x ）=log 2x ，f （4x －x 2）=log 2（4x －x 2）.令u =4x －x 2，则u ＞0，即4x －x 2＞0.∴x ∈（0，4）.
又∵u =－x 2+4x 的对称轴为x =2，且对数的底为2＞1，∴y =f （4x －x 2）的递增区间为（0，2）.
答案：（0，2）
18．函数y 的递减区间是 .[]1,2
19．函数1)(],1,1[,223)(≥-∈--+=x f x a b ax x f 若恒成立，则b 的最小值为 3/2 . 20．已知函数)(log )(22
1a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a 的范围
是 .[0,2]
21.已知函数f(x)=x 2
-2ax+a 2
+b ，(1)若f(x)在(-∞，1)上是减函数，则a 的取值范围是______；(2)若对于任意x∈R 恒有f(x)≥0，则b 的取值范围是____≥1，（2）b ≥0；
22．函数9()log (8)a
f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，求a 的取值范围．
分析：由函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数可以得到两个信息：①对任意的121,x x ≤<总有12()()f x f x <；②当1x ≥时，80a
x x
+->恒成立．
解：∵函数9()log (8)a f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，∴对任意的121,x x ≤<有12()()f x f x <，即
919212log (8)log (8)a a x x x x +-
<+-，得121288a a x x x x +-<+-，即1212
()(1)0a x x x x -+<， ∵120x x -<，∴12
10,a
x x +> 121,a x x >- 12a x x >-，
∵211x x >≥，∴要使12a x x >-恒成立，只要1a ≥；
又∵函数9()log (8)a
f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，∴180a +->，
即9a <，综上a 的取值范围为[1,9)-．
另解：（用导数求解）令()8a g x x x =+-，函数9()log (8)a
f x x x
=+-在[1,)+∞上是增函数，
∴()8a g x x x =+-在[1,)+∞上是增函数，2()1a
g x x
'=+，
∴180a +->，且210a
x +≥在[1,)+∞上恒成立，得19a -≤<．
经典回顾
【例1】 如果二次函数f （x ）=x 2－（a －1）x +5在区间（
2
1
，1）上是增函数，求f （2）的取值范围. 剖析：由于f （2）=22－（a －1）×2+5=－2a +11，求f （2）的取值范围就是求一次函数y =－2a +11的值域，当然就应先求其定义域.
解：二次函数f （x ）在区间（
21，1）上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴x =2
1-a 或与直线x =21重合或位于直线x =21的左侧，于是21-a ≤2
1
，解之得a ≤2，故f （2）≥－2×2+11=7，即f
（2）≥7.
【例2】 讨论函数f （x ）=1
2
-x ax
（a ＞0）在x ∈（－1，1）上的单调性. 解：设－1＜x 1＜x 2＜1， 则f （x 1）－f （x 2）=
1
2
11-x ax －
1
2
22-x ax
=
)
1)(1(2
22
12
21212
21--+--x x ax x ax ax x ax =
)
1)(1()1)((2
22
12112--+-x x x x x x a .
∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2+1＞0，（x 12－1）（x 22－1）＞0.又a ＞0，∴f （x 1）－f （x 2）＞0，函数f （x ）在（－1，1）上为减函数.
【例3】 求函数y =x +
x
1
的单调区间. 剖析：求函数的单调区间（亦即判断函数的单调性），一般有三种方法：
（1）图象法；（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性.但本题图象不易作，利用y =x 与y =
x
1
的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确定，即判断f （x 2）－ f （x 1）的正负.
解：首先确定定义域：{x |x ≠0}，∴在（－∞，0）和（0，+∞）两个区间上分别讨论.任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=x 2+
21x －x 1－1
1x =（x 2－x 1）+2121x x x x -=（x 2－x 1）（1－211
x x ），要确定此
式的正负只要确定1－
2
11
x x 的正负即可. 这样，又需要判断
2
11
x x 大于1，还是小于1.由于x 1、x 2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0，1）与（1，+∞）（这是本题的关键）.
（1）当x 1、x 2∈（0，1）时，1－2
11
x x ＜0， ∴f （x 2）－f （x 1）＜0，为减函数. （2）当x 1、x 2∈（1，+∞）时，1－
2
11
x x ＞0， ∴f （x 2）－f （x 1）＞0，为增函数.
同理可求（3）当x 1、x 2∈（－1，0）时，为减函数；（4）当x 1、x 2∈（－∞，－1）时，为增函数.
评述：解答本题易出现以下错误结论：f （x ）在（－1，0）∪（0，1）上是减函数，在（－∞，－1）∪（1，+∞）上是增函数，或说f （x ）在（－∞，0）∪（0，+∞）上是单调函数.排除障碍的关键是要正确理解函数的单调性概念：函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.
深化拓展
求函数y =x +
x
a
（a ＞0）的单调区间. 提示：函数定义域x ≠0，可先考虑在（0，+∞）上函数的单调性，再根据奇偶性与单调性的关系得到在（－∞，0）上的单调性.
答案：在（－∞，－a ］，（a ，+∞）上是增函数，在（0，a ］，（－a ，0）上是减函数.
【例4】 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.
（1）求证：f （0）=1；
（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围. （1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）. 又f （0）≠0，∴f （0）=1.
（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0， ∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.
∴f （－x ）=
)
(1
x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0， ∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.
（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）. ∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1. 又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）. ∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数. （4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数， ∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.
评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.
例5.讨论函数f （x ）=
2
1
++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.
解：设x 1、x 2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x 1＜x 2，则 f （x 1）－f （x 2）=
2
1
212211++-++x ax x ax =
)2)(2()
2)(1()2)(1(211221++++-++x x x ax x ax
=
)
2)(2()
21)((2112++--x x a x x .
∵x 1∈（－2，+∞），x 2∈（－2，+∞）且x 1＜x 2， ∴x 2－x 1＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0. ∴当1－2a ＞0，即a ＜2
1
时，f （x 1）＞f （x 2），该函数为减函数； 当1－2a ＜0，即a ＞
2
1
时，f （x 1）＜f （x 2），该函数为增函数. 例6.（2003年重庆市高三毕业班诊断性试题）已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x
1）+2的图象关于点A （0，1）对称.
（1）求m 的值；
（2）若g （x ）=f （x ）+
x
a
4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 解：（1）设P （x ，y ）为函数h （x ）图象上一点，点P 关于A 的对称点为Q （x ′，y ′）， 则有x ′=－x ，且y ′=2－y . ∵点Q （x ′，y ′）在f （x ）=m （x +x
1
）上， ∴y ′=m （x ′+
x '
1）. 将x 、y 代入，得2－y =m （－x －x
1）. 整理，得y =m （x +
x 1）+2.∴m =41. （2）∵g （x ）=41（x +x
a
+1），设x 1、x 2∈（0，2］，且x 1＜x 2，
则g （x 1）－g （x 2）=
4
1
（x 1－x 2）·2121)1(x x a x x +-＞0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立.
∴x 1x 2－（1+a ）＜0对一切x 1、x 2∈（0，2］恒成立.
∴由1+a ＞x 1x 2≥4，得a ＞3.
例7.（2004年春季上海）已知函数f （x ）=|x －a |，g （x ）=x 2+2ax +1（a 为正常数），且函数f （x ）与g （x ）的图象在y 轴上的截距相等.
（1）求a 的值；
（2）求函数f （x ）+g （x ）的单调递增区间；
（3）若n 为正整数，证明10f
（n ）
·（
5
4）g （n ）
＜4. （1）解：由题意，f （0）=g （0），|a |=1，又a ＞0，所以a =1. （2）解：f （x ）+g （x ）=|x －1|+x 2+2x +1.
当x ≥1时，f （x ）+g （x ）=x 2+3x ，它在［1，+∞）上单调递增； 当x ＜1时，f （x ）+g （x ）=x 2+x +2，它在［－2
1
，1）上单调递增. （3）证明：设c n =10f （n ）
·（
5
4）g （n ）
，考查数列{c n }的变化规律： 解不等式
n
n c c 1
+＜1，由c n ＞0，上式化为 10·（
5
4）2n +3
＜1， 解得n ＞
8.0lg 21-－2
3
≈3.7.因n ∈N *，得n ≥4，于是c 1≤c 2≤c 3≤c 4.而c 4＞c 5＞c 6＞…，
所以10f
（n ）
·（
54）g （n ）≤10f （4）·（54）g （4）
=103·（5
4）25＜4. 例8.（2005年北京西城区模拟题）设a ∈R ，函数f （x ）=2
e x
-（ax 2+a +1），其中e 是自然对数的底数.
（1）判断f （x ）在R 上的单调性；
（2）当－1＜a ＜0时，求f （x ）在［1，2］上的最小值. 解：（1）由已知
f '（x ）=－
21e －x （ax 2+a +1）+2
1e －
x ·2ax =
2
1e －x
（－ax 2+2ax －a －1）. 因为2
1e －
x ＞0，以下讨论函数g （x ）=－ax 2+2ax －a －1值的情况：
当a =0时，g （x ）=－1＜0，即f '（x ）＜0，所以f （x ）在R 上是减函数.
当a ＞0时，g （x ）=0的判别式Δ=4a 2－4（a 2+a ）=－4a ＜0，所以g （x ）＜0，即f '（x ）＜0，所以f （x ）在R 上是减函数.
当a ＜0时，g （x ）=0有两个根x 1，2=
a a a -±，并且a a a -+＜a a a --，所以在区间（－∞，a
a
a -+）上，g （x ）＞0，即f '（x ）＞0，f （x ）在此区间上是增函数；
在区间（
a a a -+，a a
a --）上，g （x ）＜0，即f '（x ）＜0，f （x ）在此区间上是减函数. 在区间（a
a
a --，+∞）上，g （x ）＞0，即f '（x ）＞0，f （x ）在此区间上是增函数.
综上，当a ≥0时，f （x ）在R 上是减函数；
当a ＜0时，f （x ）在（－∞，a a a -+）上单调递增，在（a a a -+，a a a --）上单调递减，在（a
a
a --，
+∞）上单调递增.
（2）当－1＜a ＜0时，
a a a -+=1+a a -＜1，a a a --=1+a
-1
＞2，所以在区间［1，2］上，函数f （x ）单调递减.所以函数f （x ）在区间［1，2］上的最小值为f （2）=
2
e 21
5+a . 评述：函数的最值和函数的单调性有紧密联系.判断较复杂函数的单调性，利用导函数的符号是基本方法.。