幂律流体管内充分发展的对流换热分析

1. 2 数学模型 1. 2. 1 幂律流体的本构方程
1 控制方程
1. 1 物理模型
假设 : ( 1 ) 不考虑幂律流体的物性随温度的变 化 ; ( 2) 流动为层流流动 ,并已达到充分发展 ,同时换 热也充分发展 ; ( 3) 整个系统处于稳定状态 ; ( 4) 忽略 轴向导热和粘性耗散 。 针对幂律流体在圆管内的流动及假设条件 , 建 立如图 1 ( r 为任意点处的管内径 , u 为流体速度 , R 为管内径) 所示的物理模型 。
文章编号 :100025870 ( 2004) 0220071204
幂律流体管内充分发展的对流换热分析
黄善波1 ,2 , 李兆敏2
( 1. 石油大学储运与建筑工程学院 ,山东东营 257061 ; 2. 石油大学石油工程学院 ,山东东营 257061)
摘要 : 将非牛顿流体的动量方程 、 能量方程和幂律流体的本构方程相结合 , 建立了幂律流体管内流动和换热充 分发展时的对流换热控制方程组 ,并在恒热流和恒壁温边界条件下分别对方程组进行了求解 ,得到了两种不同边界 条件下的温度分布和无量纲对流换热系数 ( N u 数) 的表达式 。结果表明 , 幂律流体的流变指数对流体流动的影响要 大于对换热的影响 ; 在恒热流边界条件下 , 幂律流体的温度在管内沿轴向呈线性分布 ; 而在恒壁温条件下 , 其截面平 均温度沿轴向呈指数规律变化 。幂律流体的无量纲对流换热系数与幂律流体的流变指数有关 , 并且在两种边界条 件下 , 均随着流变指数的增加而减小 。 关键词 :幂律流体 ; 对流换热 ; 换热系数 ; 流变指数 ; 温度分布 ; 边界条件 中图分类号 : TE 312 ,O 373 文献标识码 :A
( 12 )
当 n = 1 时 , N u x = 4 . 364 就是牛顿流体在恒热流边 界时的数值 。 2 . 2 . 2 恒壁温条件下的温度分布
d Tw = 0 , 这样式 ( 9) 变为 dx T - Tw d Tm d Tm 5T ( 20 ) = =θ . 5x Tm - Tw d x dx 将式 ( 20) 和速度分布式 ( 10) 代入到能量方程式 ( 4)
T - Tw θ= . Tm - Tw ( 7)
将式 ( 14) 对 r 积分两次 , 根据边界条件 ( 5) 并假设 在 r = R 时 , T = T w ( x ) , 可得
T - Tw = um R2 d Tm 3 n + 1 a dx n +1
( 3 n +1 ) / n
n 3n +1 r R
作者简介 : 黄善波 (1970 - ) ,男 ( 汉族) ,山东文登人 ,讲师 ,博士研究生 ,从事流动与传热的数值计算和热力系统优化方面的研究 。
・72 ・
石油大学学报 ( 自然科学版) 2004 年 4 月
式中 , T w 和 qw 分别为管壁的温度和热流密度 。
图 3 不同流变指数的幂律流体在 恒热流条件下的温度分布
∫
式 ( 26) 是对 θ 作出限制的附加条件 。 这样式 ( 24 ) , ( 25 ) , ( 26 ) 构成了关于 θ 的完整的数学描述 (λ也是解的一部分) , 它是一维导热型方程 。 由于 λ 未知 , 用数值方法 [ 5 ] 可求得其温度分布 。 在求取了 λ 和θ 之后 , 可以根据式 ( 25) 求取 N ux 。 恒壁温条件下管内的热平衡表达式为
,
( 10 )
1 dp 2K dx
1/ n
n 3n +1 .
2
1 -
r R
( 3 n +1) / n
-
1 1 4
r R
2
. ( 18 )
式中 , u m 为任意截面 x 处幂律流体的平均速度 。 当
n = 1 时 , u m 的表达式即为相应的牛顿流体的解 。
当 n = 1 时 , 式 ( 1来自) 就是牛顿流体在该条件下的温 度分布 。 对于管内流动 , 表征对流换热系数大小的 N u αx 2R ( k 为流体的导热系数) , 将式 数定义为 N u x =
n +1 × 3 n 3n +1 5n +1 3 ( 3 n + 1) 2
幂律流体在圆管内作充分发展的层流流动时的 运动规律见文献 [ 3 ] , 其速度分布为 其中 u m =
1 ( n +1) / R 3n +1
n
u 3n +1 = 1 um n +1
r R
( n + 1) / n
2 n2
( 8)
r R
-
1 1 4
.
流体的平均温度定义为 T m = πu T r d r 2 ∫ . πu r d r 2 ∫
0
R R
( 16 )
0
( 9)
2 速度和温度分布
根据常物性假设 , 流体的速度场和温度场是非 耦合的 , 可以分别求解 。
2 . 1 速度分布
将式 ( 10) 和 ( 15) 代入式 ( 16) 中得到平均温度的表 达式为 ( 3 n + 1) u m R d T m T m - T w = × ( n + 1) 2 a d x 3 2 n2 n 3n +1 ( 17 ) . 5n +1 3n +1 8 将式 ( 15) , ( 17) 代入到式 ( 7) 中 , 得到恒热流边界条 件下幂律流体的无量纲温度分布为 θ=
2
2
×
( 15 )
1 -
式中 , T m 为流动截面 x 处流体的平均温度 。 根据换热充分发展的条件 , 有 5θ 5 T ( x , r) - T w ( x ) = = 0. 5x 5 x Tm ( x ) - Tw ( x ) 将式 ( 8) 展开 , 得 T m - T d Tw T - Tw d Tm 5T = + . 5x Tm - Tw d x T m - Tw d x
k = n +1 λ. 2 ( 3 n + 1) ( 28 )
0 . 01 7 . 704 5 . 672
1/ 3 5 . 053 4 . 177
1. 0 4 . 364 3 . 658
图1 物理模型示意图
收稿日期 :2003208218
本构方程的表达式为 γn . ( 1) τ = K 式中 ,τ为剪切应力 ; K 为稠度系数 ;γ 为剪切速率 ; n 为幂律流体的流变指数 。 n 偏离 1 越大 , 非牛顿性 越强 ; 当 n > 1 时称为胀流型流体 , n < 1 时为假塑 性流体 。 1 . 2 . 2 运动方程 在流动充分发展的条件下 , 径向速度和周向速 度均为零 , 轴向速度只沿径向变化 , 这样运动方程可 简化为 [ 3 ] 1 d (r τrx ) - d p = 0 . ( 2) r dr dx 边界条件 : du ( 3) 当 r = 0 时, = 0 ;当 r = R 时 , u = 0. dr 1 . 2 . 3 能量方程 根据换热充分发展的条件及忽略粘性耗散的假 设 , 幂律流体在圆管内流动时的能量方程可简化为 u 5T 1 5 5T ( 4) = r . a 5x r 5r 5r 式中 , a 为幂律流体的导温系数 。 相应的边界条件为 dT ( 5) 当 r = 0 时, = 0; dr q = qw ( 恒热流条件) ; ( 6) 当 r = R 时, T = T w ( 恒壁温条件) .
1 . 2 . 4 换热充分发展的条件
um 3 n + 1 1 a n +1
r R
( n +1) / n
d Tm 1 5 5T = r . dx r 5r 5r
( 14 )
在换热充分发展的条件下 , 无论流体被加热还 是被冷却 , 流体温度 T 沿轴向和径向都可以变化 , 但其对流换热系数 αx 、 无量纲温度 θ 不沿轴向变 化 [ 4 ] , 在本文中无量纲温度定义为
d Tw d Tm 5T ( 13 ) = = = 常数 . 5x dx dx 可见 , 在恒热流边界条件下 , 幂律流体在管内沿
在恒壁温条件下有
轴向的温度分布为线性的 。 将幂律流体在管内的速 度和温度分布式 ( 10) 和 ( 13) 代入到能量方程式 ( 4) 中 ,得
第 28 卷 第 2 期 黄善波等 : 幂律流体管内充分发展的对流换热分析
k ( 12 ) 和 ( 17 ) 代入到 N u 数的定义式中 , 可得 N ux =
2 . 2 温度分布 2 . 2 . 1 恒热流边界条件下的温度分布
在恒热流边界条件下 , 由于 αx 为常数 , 由 qw = αx ( T w - T m) 可知 , ( T w - T m) 也为常数 , 将其对 x 求导 , 可得
2004 年 第 28 卷 石油大学学报 ( 自然科学版) Vol. 28 No. 2 第 2 期 Journal of t he University of Petroleum , China Apr. 2004
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中 ,得 u m ( 3 n + 1) 1 a ( n + 1) 1 5 5T r . r 5r 5r
r R
( n +1 ) / n
T - Tw d Tm = T m - Tw d x ( 21 )
引入无量纲半径 : r =
d Tm dx
r , 将式 ( 20) 代入到式 R
( 21 ) 中 , 并将其无量纲化 , 整理后得
2 u m R 2 ( 3 n + 1)
1 5
=
a ( n + 1) ( T m - T w )
1 θ 1 - r ( n +1 ) / 2
r 5r
r
5θ 5r
n
. ( 22 )
图 2 不同流变指数的幂律流体在管内的速度分布
为保证等式成立 , 等号两端必然等于同一个常 数 , 设其为 - λ(λ > 0) , 这样式 ( 22) 就变成两个方程 : d Tm 2 u m R 2 ( 3 n + 1) dx ( 23 ) ( = - λ, a n + 1) ( T m - T w ) 1 5 5θ λθ ( ) r + 1 - r n +1 / n = 0 . r 5r 5r 2 ( 24 ) 式 ( 23) 表明在恒壁温条件下 , 幂律流体的平均 温度沿轴向按指数规律变化 ; 式 ( 24) 表示流体沿径 向的温度分布 , 它的边界条件为 dθ ( 25 ) 在 r = 0 处, = 0 ; 在 r = 1 处 ,θ = 0 . dr 但由于式 ( 24) , ( 25) 均为齐次的 , 不能惟一地 确定 θ, 因此将式 ( 16) 无量纲化 , 可得 1 3n +1 ( ) ( 26 ) 2 1 - r n +1 / n θ rd r = 1. 0 n + 1
d Tw d Tm = . dx dx
( 11 )
2 R qw = ( T w - T m) k
2
-
沿流动方向取微元段 d x , 研究其能量平衡 , 有
d Tm 2 qw = . ρ dx cp u m R 由式 ( 9) , ( 11) 和 ( 12) , 可得
( n + 1) 2 . 3 2n n 3n +1 ( 3 n + 1) 5n +1 8 ( 3 n + 1) 2 ( 19 )
前人对牛顿流体在充分发展条件下的流动和传 热进行了大量的研究[ 1 ,2 ] , 但对非牛顿流体管内充 分发展对流换热规律的研究尚不多见 。幂律流体作 为非牛顿流体的一种在工程中较为常见 , 如石油工 业中的钻井液 、 水泥浆 , 化工中的聚合物溶液等 , 都 可看作幂律流体 , 并且在很多工程应用中都同时伴 随着传热过程 。因此 , 笔者对幂律流体在管槽内流 动和换热充分发展时的对流换热规律进行研究 。一 方面可为相关的工程设计提供理论依据 , 另一方面 为入口段的分析和数值解提供逼近极限 。
d Tm 2αx ( T w - T m) ( 27 ) = . ρ dx cp u m R 将式 ( 23) 和 ( 27) 代入到 N u 数的定义式中 , 可
图 4 不同流变指数的幂律流体在 恒壁温条件下的温度分布 表 1 幂律流体的局部对流换热系数与流变指数的关系
n
得 N u x = αx 2R