8.7 抛物线课件 理 新人教A版课件

____________________[通关方略]____________________ 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1y1)，B(x2，y2)，则 p2 (1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2. 4 2p (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ 2 (α为弦AB的倾斜角)． sin α 1 1 2 (3) ＋ ＝ . |FA| |FB| p (4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
反思总结 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离
有关的轨迹是否为抛物线；
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问 题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．
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第七节
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抛物线
2.理 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 解数形结合的思想． 用．
3. 了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应
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抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l( 定点 F 不在定直线 l 上) 的距离 相等的点 的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫
做抛物线的 准线 ．
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3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是( 1 A. 8 C．8 1 B．－ 8 D．－8
)
1 2 解析：抛物线标准方程为x ＝ y， a 1 1 ∴准线方程为y＝－ ＝2，∴a＝－ . 4a 8
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抛物线的标准方程与几何性质
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[答案] (1)C (2)D
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反思总结 求抛物线的标准方程的方法及注意事项 (1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有
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解析：由抛物线的定义可知|AF|＝ |AA1|， |BF|＝ |BB1|，且AA1， BB1 都平行于x轴，∴∠AA1F＝∠AFA1＝∠A1FO，∠BB1F＝∠BFB1＝∠ B1FO， 1 π ∴∠A1FB1＝∠AFA1＋∠BFB1＝ ×π＝ . 2 2
A．y2＝9x C．y2＝3x
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B．y2＝6x D．y2＝ 3x
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(2)(2012年高考安徽卷)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线 于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( 2 A. 2 B. 2 3 2 C. 2 D．2 2 )
2．已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则P点到抛物线焦点F的距离 为( ) A．2 C. 3 B．3 D. 2
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解析：∵点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，∴点P到焦点F的距离等于
点P到准线x＝－1的距离．∵点P到准线x＝－1的距离为3，∴点P到焦
点F的距离为3. 答案：B
p，所以，只需一个条件确定p值即可；
(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方 程时，需先定位，再定量． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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变式训练 1．(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点 A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方 程为( )
山 东 金 C．8 3 D．16 太 2 (2)已知点P是抛物线y ＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 阳 书 的坐标是(4，a)，则当|a|>4时，|PA|＋|PM|的最小值是________． 业 有 限 公 司
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(2)当x＝4时，y2＝4×4＝16，所以y＝±4， 即|y|＝4，因为|a|>4，所以点A在抛物线的外侧， 延长PM交直线x＝－1于点N.
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2
[答案] (1)B (2)
a2＋9－1
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解析：∵|a|<4，则点A(4，a)在抛物线内部，设点P到准线的距离 为d，则|PF|＝d，
答案：B
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x2 y2 4．若抛物线y ＝2px的焦点与双曲线 － ＝1的右焦点重合，则p 6 3
2
的值为________．
x2 y2 解析：双曲线 － ＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，所 6 3 p 以 ＝3，p＝6. 2
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____________________[通关方略]____________________ 1．定点F不能在定直线l上，因为若定点F在定直线l上，则动点的 轨迹为过点F且垂直于l的直线而非抛物线．
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解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为 y＝－ 1 1 15 ，设 M(x，y)，则y＋ ＝1，∴y＝ . 16 16 16
答案：B
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∴|PF|＋|PA|＝d＋|PA|.
当PA⊥l时(l为准线)，|PA|＋d最小， 最小值为4＋1＝5.即|PF|＋|PA|的最小值为5.
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[解析]
(1)设抛物线方程为y2＝2px，
p 当 x＝ 时，y2＝p2，∴|y|＝ p， 2 ∴p＝ |AB| 12 ＝ ＝6， 2 2
又点 P到AB的距离始终为6， 1 ∴S△ ABP＝ ×12×6＝36. 2 (2)由题意知，抛物线C的焦点坐标为(－ 2，0)或( 2，0)， ∴p＝2 2. ∴抛物线的方程为y2＝4 2x或 y2＝－4 2x.
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抛物线的标准方程及几何性质 【例2】 (1)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，
l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积
为(
π 答案： 2
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抛物线的定义及其应用
【例1】 (1)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一 点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ 3，那么|PF|＝( A．4 3 B．8 )
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解析：(1)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物 线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°， 山 东 ∴∠AFx＝60° ，连接 A1F，则△AA1F 为等边三角形，过 F 作 FF1⊥ 金 太 1 AA1 于 F1，则 F1 为 AA1 的中点，设 l 交 x 轴于 K，则 |KF|＝ |A1F1|＝ |AA1| 阳 2 书 业 1 3 有 ＝ |AF|，即 p＝ ， 2 2 限 公 ∴抛物线方程为 y2＝3x，故选 C. 司
[解析]
(1)如图，由kAF＝－ 3知∠AFM＝60° .
又AP∥ MF，所以∠PAF＝ 60° . 又 |PA|＝ |PF|， 所以△APF为等边三角形． 故 |PF|＝ |AF|＝2|MF|＝2p＝ 8.
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2 ．抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上
的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简． 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标 是( ) 17 A. 16 7 C. 8 15 B. 16 D．0
答案：6
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5.如图，直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且点A、B在抛物
线准线上的射影分别为A1、B1，则∠A1FB1的大小为________．
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由抛物线的定义可知|PN|＝ |PM|＋ 1＝ |PF|，当三点A， P， F共线 时， |PA|＋ |PF|最小，此时为 |PA|＋ |PF|＝ |AF|，又焦点坐标为 F(1,0)，所 以 |AF|＝ 4－12＋a2 ＝ 9＋a2 ，即 |PM|＋ 1＋ |PA|的最小值为 a2＋9 ， 所以 |PM|＋ |PA|的最小值为 a ＋9－1.
)
A．18 C．36 B．24 D．48
山 东 2 2 (2)已知抛物线C与双曲线x －y ＝1有相同的焦点，且顶点在原点， 金 太 则抛物线C的方程是( ) 阳 书 2 2 A．y ＝± 2 2x B．y ＝± 2x 业 有 2 2 C．y ＝± 4x D．y ＝± 4 2x 限 公 司
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