山东大学《高等数学》期末复习参考题(20)

山东大学《数学剖析
III 》期末复习参照题
题 号
一
二
三
四
五
六
七
总 分
得 分
一 .选择题（共 10 小题， 40 分）
1.函数 f (x, y)
x 2
y 2 , xy
1,
xy
在（ 0， 0）点处（
）。

A ）不存在偏导数；
B ）存在函数极限；
C ）存在两个偏导数但不连续；
D ）存在两个偏导数且连续。

2.以下命题对于 f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的全微分描绘错误的选项
是（
）。

A ） dz 是 x 与 y 的线性函数；
B ） dz 与
z 之差比
为高阶无量小；
C ） f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 可微，则 f ( x, y)在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 连续；
D ） f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 存在两个偏导数，则在 f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 必定可微。

3.函数 z
x y (x 0) ，而 x sin t , y cost, 则
dz
（
）。

dt
A ） yx y 1 cost x y sin t ln x ；
B ） yx y 1 cost x y sin t ln x ；
C ） yx y 1 sin t
x y cost ln x ；
D ） yx y 1 sin t
x y sin t ln x 。

4.假如函数 f ( x, y) 在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域 G( ),则 f xy ''
(x 0 , y 0 ) f yx '' ( x 0 , y 0 ) .
'
x y ' x y 存在且在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 连续；
A ）
f
xy
f
yx
( , ), ( ,
)
B ） f xy ' ( x, y), f yx ' ( x, y) 存在且可导 ;
C ） f xy '' ( x, y), f yx '' ( x, y) 存在且在 P 0 ( x 0 , y 0 ) 连续；
D ） f xy '' ( x, y), f yx '' ( x, y)
存在。

x ar sin cos
5.坐标变换
y br sin sin ，（a ，b ，c 为正常数）的函数队列式的值为（
） .
z cr cos
A ） r
B ） abcr
C ） r 2 sin
D ） abcr 2 sin
6.无量积分 0 e x dx, 0 xe x 2
dx 的值分别为（
）。

A ） 1，0.5
B ） 0.5，1
C ） 1， 1
D ） 0.5，0.1
7. 对于无量积分
1
dx 的结论错误的选项
是（
）。

1
x
A ） 1
时
C ） 1
时
1
1
1
dx 收
敛；
B ）
1时 1
x
1
dx
1
； D ）
0 时 1
x
1
1
dx
发散；
x
1
dx
收敛。

x
8.以下非 函数性质的选项为（ ）。

A ）
0, ( 1)
( ) ； B ） n N , ( n 1)
n!；
C ）
函数为定义域上的非连续函数； D ）
函数为定义域上的连续函数 . 9.以下积分不是求平面地区面积公式的是（
）。

b
f (x)dx ； B ）
xdxdy ；
C ）
dxdy
；
D ）
1
xdy ydx
.
A ） a
S
S
2 C
10. C 为圆周线 x 2
y 2
a 2 ，则 xy 2 dy x 2 ydx
（
）。

C
A ）
a 2
；
B ）
a 4
；
C ）
a
2
；
D ） a 4 。

2
2
二、
f (x, y)
(x
2
y 2
) sin 1
y 2
, x 2 y 2
x 2 x 2
y 2
在（ 0， 0）点：
0,
1. 能否可微；
2.偏导数能否连续。

（ 10 分）
t
x 2
3
z
2 .（10 三、设 z e , t
2 y
,求 z 对于 x 和 y 的二阶偏导数和
分）
y x
四、求无量积分
K
0 e x sin 2xdx 。

（ 10 分）
F ( x, y, u, v) u 2 v 2
x 2 y 0
, 0
,
,
) (2,1,1,2) 的
五、考证方程组
在点 (
u
G( x, y, u, v) u v
xy
1 0
x y v
邻域知足隐函数组存在条件，进而在点（
1， 2）的邻域存在独一一组有连续偏导数的隐函数组
x x(u, v)
x ,
y
.
（10 分）
，求
y
y(u,v) u u
2 六、求函数 f ( x, y, z)x2y2z2在曲面x2y2z2(a
)3, (a 0为常数)上的最小值。

3
（10 分）
七、证明：若 f ( x) 在 [0,a] 上连续，x [ 0,a] ，有
g(x) 1 x f ( x) （10分）
( x t )n 1 f (t )dt ，则g( n )( x)
(n 1)! 0
《数学剖析 III 》期末试卷 20 答案与评分标准
一、（每题 4 分，共 40 分）
1-5：CDACD
6-10：ADCBB
二、解： 1. a ：由定义
f ( x,0) f (0,0)
( x)2 sin ( 1 2
'
(0,0) lim lim
x)
，
f x
x
x
x
x
( y) 2 sin
1 2
f y ' (0,0) lim f (0, y)
f (0,0)
lim
( y)
0 ，
y
y y
x
（2 分）
df f x ' (0,0) x f y ' (0,0) y 0
，
dz 是 x 与 y 的线性函数；
（4 分）
b ：设
x 2 y 2 ，
f
f ( x, y)
f (0,0)
( x 2
y 2 ) sin
x 2
1
y 2
2
1
sin 2
dff
sin
1
，
dz 与 z 之差比
lim
2
为高阶无量小；
由 a 与 b ， f(x,y)在 (0,0)可微 .
（6 分）
2. (x, y): x 2
y 2 0,有 f x ' (x, y)
2xsin 2 1 y 2 x 2 2x
2 cos x 2 1 y 2
x y
当 y
x 时， lim
f x ' ( x, y) lim (2xsin
1
2
1 cos 1
2 ) 不存在。

x
x 0
2x
2x 2x
f x ' ( x, y) 在 (0,0)中断，同理，
f y ' (x, y) 在 (0,0)也中断。

（ 10 分）
三、解：
z z t
2 xe x
2
2 y ；
z z t 2 e
x 2
2 y ；
x
t x
y
t y
2
z 4 x 2
e x
2
2 y 2 e x
2
2 y ；
2
z
4e x
2 2 y
；
（6 分）
x 2
y 2
2
z
4 xe x 2
2 y
2 z
3
z
8 x 2 e x 2 2 y
4e x 2
2 y。

2
；
（10 分）
四、解：
K
e x sin 2xdx
0 e
x
d(
1
cos2x)
2
e x (
1
cos2x) 0
1 ( e x )d (
1
sin 2x)
2
2 0
2
（6 分）
1 1 (e x 1 sin 2x 0 1 0
e x sin 2xdx)
1 1 K 2
2 2 2
2 4
K
2
（ 10 分）
5
五、解： 1)
F
2x, F 1, F 2u, F 2v,
x
y u
v 在 (2,1,1,2) 的邻域连续；
G
G
G G
y,
1, 1, x
y x,
u v
（4分）
F (2,1,1,2)
2）
；
G(2,1,1,2)
3） J
(F ,G)
2x
1 2x
2
y ，
y
x
( x, y)
在 ( x 0 , y 0 )
(2,1) 处， J 7 0；
（6 分）
由 1）2）3），方程组知足定理 3 条件，在 (2,1,1,2) 的邻域存在独一一个拥有连续偏导数的隐含数组
x x(u,v)
，且
y
y(u,v)
F 2u 2x x u u
G 1 x
u y
u
六、解：求解条件极值
限制条件
由拉格朗日乘数法：
y
x 2xu 1 u
u 2x 2 y
y
y
(2x 。

x 0
2 yu)
u
u
2x 2 y
（10 分）
f ( x, y, z) x 2
y 2
z 2 ；
x 2 y 2 z
2
( a 2 )3
（3 分）
3
设
(x, y, z, )
x 2
y
2
z
2 ( x 2 y 2 z
2
(a 2 )3
)
（5 分）
3
x 2 x
2 xy 2 z 2 0
(1)
y 2 y
2 x 2 yz 2 0
(2)
z
2 z
2 x 2 y 2 z 0
(3)
( a 2 )
3
x 2
y
2
z 2
0 (4)
3
（8 分）
(1) x
2x
2
2 x 2 y 2 z
2
x
2
( a 2 )3
3
同理，令 ( 2)
y, (3) z ： x
2
y 2
z
2
(a 2 )
3
3
x 2
y 2 z 2
a 2 为 f ( x, y, z) 独一的驻点，
3
f ( x, y, z) 在曲面上的最小值为 a 2 。

（10 分）
七、证明：
函数
(x, t) ( x t) n 1 f (t)与
x
n 1( x
t) n 2 f (t ) 在
R[ 0 t a,0 x a] 上连续；
（ 2 分）
g'(x)
1 x t )
n
2
f (t )dt
(x
(n 2)!
g''(x)
1
x
t )n
3
f (t )dt
3)!
(x
(n 0
...............
（6 分）
g ( n 1 ) ( x)
1 x ( x t) 0 f (t)dt x
f (t)dt
0! 0 0
g (n ) (x)
d x f (t )dt f (x)
dx 0
（10 分）。