重庆市名校2022届新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数
的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知命题2:,230∀∈+-<p x R x x ，则命题p 的否定p ⌝为（ ）
A ．2
000,230∃∈+-≥x R x x B ．2,230x R x x ∀∈+-≥ C ．2
000,230∃∈+-<x R x x
D ．2,230∀∈+-<x R x x
3．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A ．①④②③
B ．①④③②
C ．④①②③
D ．③④②①
4．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l m
，都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l m
，都相交
D．过点P有且仅有一条直线与
l m
，都异面
5．已知三棱锥D ABC
-外接球的表面积为12π，ABC
∆是边长为1的等边三角形，且三棱锥D ABC
-
的外接球的球心O恰好是CD的中点，则三棱锥D ABC
-的体积为（）
A．
2
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
6
3
6．已知实数x，y满足条件
220
x y
x y
x y
-≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪+-≤
⎩
，则2
z x y
=-的取值范围是（）
A．
2
6,
3
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
B．
2
0,
3
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C．[)
6-+∞
,D．[)
0,+∞
7．将函数()3sin2cos2
f x x x
=-的图象向左平移
6
π
个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（）A．0
x=B．
6
x
π
=C．
4
x
π
=D．
2
x
π
=
8．已知()
1
in
32
s
π
θ
πθ⎛
-<
=
⎫
⎪
⎝⎭
，则sin2θ=
A．
82
9
B．
22
3
C．
42
9
D．
22
9
9．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：
由公式算得：K2＝
()
()()()()
2
n ad bc
a b c d a c b d
-
++++
≈7.8.附表：
参照附表，得到的正确结论是()
A．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”
C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”
D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”
10．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件
A ，“摸得的两球不同色”为事件
B ，则概率()|P B A 为( )
A ．
14
B ．
23 C ．13 D ．1
2 11．已知数列{}n a 满足11
2
a =，11n n a a +=+，*n N ∈，设n S 为数列{}n a 的前n 项之和，则19S =（ ）
A ．3232-
B ．3242-
C ．3232
D ．3612
12．已知直线l 过点P(1,0,－1)，平行于向量(2,1,1)a =，平面α过直线l 与点M(1,2,3)，则平面α的法向量不可能是（ ） A ．(1,－4,2)
B ．11(,1,)42
-
C ．11(,1,)42
--
D ．(0,－1,1)
二、填空题：本题共4小题
13．若抛物线22(0)y px p =->上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p 的值为___. 14．已双曲线过点(1,2)A ，其渐近线方程为y x =±，则双曲线的焦距是_________； 15．.若2()(2)f x x a =+,且(2)20f '=,则a =__________________．
16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别为线段11,AA B C 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为___________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表： 收看时间 （单位：小时）
[)0,1
[)1,2
[)2,3
[)3,4
[)4,5
[)5,6
收看人数
14
30
16
28
20
12
(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关；
(2)在全校“球迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“球迷”中选取2名世界杯知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++.
18．《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：
（1）求观众评分的平均数？
（2）视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？
（3）视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用ξ表示评分为10分的人数，求ξ的分布列及数学期望.
19．（6分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，1
cos 2
a B
b
c +=. （1）求A ；
（2）若a =
ABC ABC 的周长. 20．（6分）已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为22cos c
C
.
（1）求证：tan sin sin C A B =；
（2）若6
C π
=
，求()cos A B -的值.
21．（6分）某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R 的行业标准，予以地方财政补贴.其补贴标准如下表:
2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R ，得到频率分布直方图如图所示. 用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：
（1）求该市纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；
（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：
（同一组数据用该区间的中点值作代表）
2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来.该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备.现有直流、交流两种充电桩可供购置.直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台； 交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台. 该企业现有两种购置方案：
方案一:购买100台直流充电桩和900台交流充电桩； 方案二:购买200台直流充电桩和400台交流充电桩.
假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润=日收入-日维护费用） 22．（8分）已知函数()()2
ln f x ax x x ax =--，()0,a a R ≠∈.
（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）讨论函数()f x 的零点个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A 正确 考点：函数导数与单调性及函数图像 2．A 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果. 【详解】
因为命题2
:,230∀∈+-<p x R x x ，
所以命题p 的否定p ⌝为：2
000,230∃∈+-≥x R x x
故选A 【点睛】
本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型. 3．A 【解析】 【分析】
根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到． 【详解】
解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的值为正数， 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上的值为负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足；
④2x
y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选A ． 【点睛】
本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 4．B 【解析】
解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B 5．B 【解析】 【分析】
设球心O 到平面ABC 的距离为d ，求出外接球的半径再根据2
22
R d =+⎝⎭
求出3d =，再根据2D ABC O ABC V V --=求三棱锥D ABC -的体积. 【详解】
设球心O 到平面ABC 的距离为d ，
三棱锥D ABC -外接圆的表面积为12π，则球O 的半径为R
所以2
22
R d =+⎝⎭
，故3d =，
由O 是CD 的中点得：2212132233
D ABC O ABC V V --==⨯⨯⨯=
. 故选B 【点睛】
本题主要考查几何体的外接球问题，考查锥体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行平移，结合图象得到2z x y =-的取值范围. 【详解】
解：由2z x y
=-得2y x z =-，作出实数x ，y 满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪+-≤⎩
对应的平面区域，如下图所示：
平移直线2y x z =-，由图象可知当直线经过点A 时，z 值最小.
由0
220
x y x y +=⎧⎨
+-=⎩，解得()2,2A -，∴()min 2226z =⨯--=-，
由0220
x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得22,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴max 2222333z =⨯-=.
∴2
63
z -≤≤.
故选：A. 【点睛】
本题考查线性规划的基本应用，利用数形结合的方法，属于基础题. 7．B 【解析】
试题分析：()3132cos 22sin 2cos 22sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=-=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()f x 向左平移6π个单位后所得函数解析式为()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤
⎛
⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
，所以函数()g x 对称轴方程为()26
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，所以()62k x k Z π
π=
+
∈，当0k =时，6
x π=． 考点：三角函数图象及性质． 8．C 【解析】 【分析】
根据已知求出sin cos θθ，，再求sin 2θ. 【详解】
因为()1in 32s πθπθ⎛-<=
⎫ ⎪⎝⎭，
故1
cos 3
3
sin θθ==
，，
从而1sin 22339
θ=⨯⨯=
. 故选C 【点睛】
本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】 【详解】
2
2
110(40302020)7.860506050
k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
27.8 6.635K ≈> ，
则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 本题选择A 选项.
点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释. 10．B 【解析】 【分析】
根据题目可知，求出事件A 的概率，事件AB 同时发生的概率，利用条件概率公式求得()|P B A ，即可求解出答案． 【详解】
依题意，()1214C 1C 2P A ==，()11
22
1143C C 1C C 3
P AB ==，
则条件概率()()()1
2
3|132
P AB P B A P A =
==．故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意()P AB 的求解． 11．A 【解析】 【分析】
由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，然后利用等差数列求和公式代入计算即可． 【详解】
由11n n a a +=+可知数列{}n a 为等差数列且公差为1-，所以
191191811918323
19192222
S a d ⨯⨯=+
=⨯-=- 故选A ． 【点睛】
本题主要考查等差数列的概念及求和公式，属基础题． 12．D 【解析】
试题分析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量(2,1,1)a =，和向量PM ， 而PM =（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），
选项A ，（2，1，1）⋅（1，-4，2）=0，（0，2，4）⋅（1，-4，2）=0满足垂直，故正确； 选项B ，（2，1，1）⋅（
14，-1，12）=0，（0，2，4）⋅（14，-1，1
2）=0满足垂直，故正确； 选项C ，（2，1，1）⋅（-
14，1，−12）=0，（0，2，4）⋅（-14，1，−12
）=0满足垂直，故正确； 选项D ，（2，1，1）⋅（0，-1，1）=0，但（0，2，4）⋅（0，-1，1）≠0，故错误． 考点：平面的法向量 二、填空题：本题共4小题 13．2或18 【解析】 【分析】
设出符合题意的抛物线上一点的坐标，代入抛物线方程，解方程求得p 的值. 【详解】
抛物线的焦点为,02p ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
，对称轴为x 8=，
故可设符合题意的点的坐标为8,62p ⎛⎫
-
±± ⎪⎝⎭
， 代入抛物线方程得36282p p ⎛⎫
=--± ⎪⎝⎭
，解得2p =或18p =，负根舍去. 【点睛】
本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的几何性质，考查方程的思想，属于基础题.
14．【解析】 【分析】
由渐近线方程设出双曲线方程为2
2
x y k -=，代入已知点的坐标求出k ，化双曲线方程为标准方程后可得,a b ，从而求得c 。

【详解】
由题意设双曲线方程为2
2
x y k -=，又双曲线过点(1,2)A ，∴22123k =-=-，
∴双曲线方程为2
2
3x y -=-，即22
133
y x -=，223a b ==，c ==
∴焦距为
故答案为： 【点睛】
本题考查双曲线的焦距，求双曲线的标准方程。

已知双曲线的渐近线方程为0mx ny ±=，则可设双曲线方程为2
2
2
2
m x n y k -=，代入已知条件求得k ，即得双曲线方程。

而不需考虑焦点所在的轴。

15．1 【解析】 【分析】
首先求出函数的导数,再将2x =代入导数,即可求出a 的值. 【详解】
222()(2)44f x x a x ax a =+=++ ()84f x x a ∴=+' (2)20f '=
1a
故答案为1.
【点睛】
本题考查了导数的运算,要准确掌握求导公式,对于简单题要细心.属于基础题. 16．
16
【解析】 【分析】 【详解】
则11D EDF F EDD V V --=,因为1//B C 平面1EDD ，
所以F 所在位置均使该三棱锥的高为1；而不论E 在1AA 上的那一个位置，
1EDD S 均为
12，所以111111.326
D EDF F EDD V V --==⨯⨯= 【考点定位】
本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）有（2）见解析 【解析】
分析：（1）根据题中数据填写列联表，由此计算观测值2K ，对照临界值得出结论；
（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，所以ξ的可能取值为0，1，2，求出相对应的概率值，即可求得答案. 详解：（1）由题意得下表：
2k 的观测值为
()
2
120120060070506060
-⨯⨯⨯ 24
2.7067
=
>. 所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关. （2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工， 所以ξ的可能取值为0，1，2.
且()24260C P C ξ== 62155=
=， ()1142261C C P C ξ== 815=， ()22262C P C ξ== 1
15
=，
所以ξ的分布列为
()2801515E ξ=⨯+⨯ 1102
215153
+⨯==.
点睛：解决独立性检验应用问题的方法
解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a ，b ，c ，d ，n 的值，然后根据统计量2K 的计算公式确定2K 的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联． 18．（1）8；（2）1
2
；（3）分布列见解析，2. 【解析】 【分析】
（1）利用平均数的公式求解即可；
（2）所求概率为评分恰好是10分的概率与评分大于等于8分的概率的比,即可求解； （3）由题知ξ服从14,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
,进而去利用公式求解分布列及期望即可. 【详解】
（1）设观众评分的平均数为x ,则
10.0320.0230.0240.0350.0460.0570.0880.1590.21100.36x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
8=
（2）设A 表示事件“1位观众评分不小于8分”,B 表示事件“1位观众评分是10分”
()()()
0.361
0.150.210.362
P AB P B A P A ∴=
=
=++
（3）由题知ξ服从14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()44
44111C 1C 222k k k k P k ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（0k =,1,2,3,4） 则ξ的分布列为：
ξ
0 1 2 3 4
P
116 14 3
8
14 116
()1
422
E ξ∴=⨯=
【点睛】
本题考查平均数,考查二项分布的分布列与期望,考查数据处理能力.
19．（1）60A =︒；（2）5. 【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦可求出角A ；
(2)利用三角形面积公式可得到6bc =，再由余弦定理可求出ABC 的周长； 【详解】
(1)由正弦定理知1
sin cos sin sin 2
A B B C +=， ∴
1
sin sin()sin cos sin cos 2
B A B A B B A =+-=， ∴1
cos 2
A =，60A =︒.（或用余弦定理将cos
B 换掉求解）
(2)由(1)及已知可得
1222
bc ⨯=
，解得6bc =， 由余弦定理知2222
7()3a b c bc b c bc ==+-=+-，∴5b c +=，
∴ABC 的周长为5【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于较易题.
20．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）利用21
sin 2cos 2
c ab C C =，利用正弦定理，化简即可证明tan sin sin C A B =
（2）利用（1），得到当6
C π
=
时，sin sin A B =
，
得出()cos cos cos 6
A B C π
+=-=-=，得出cos cos 6
A B =-， 然后可得()cos A B - 【详解】
证明：（1）据题意，得21
sin 2cos 2
c ab C C =，
∴2sin cos c ab C C =，
∴2sin sin sin sin cos C A B C C =. 又∵()0,C π∈，
∴sin sin sin cos C A B C =， ∴tan sin sin C A B =.
解：（2）由（1）求解知，tan sin sin C A B =. ∴当6
C π
=
时，3
sin sin 3
A B =
. 又()3cos cos cos
6
A B C π
+=-=-=-
， ∴3cos cos sin sin A B A B -=-
， ∴3cos cos A B =-
， ∴()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+
33
=-
+
3=
. 【点睛】
本题考查正弦与余弦定理的应用，属于基础题 21．（1）3.95；（2）见解析 【解析】
分析：（1）由频率分布直方图求出补贴分别是3万元，4万元，4.5万元的概率，即得概率分布列，然后可计算出平均值；
（2）由频数分布表计算出每天需要充电车辆数的分布列，分别计算出两种方案中新设备可主观能动性车辆数，从而得实际充电车辆数的分布列，由分布列可计算出均值，从而计算出日利润． 详解：（1）依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为：
纯电动汽车2017年地方财政补贴的平均数为30.240.5 4.50.3 3.95⨯+⨯+⨯=(万元) （2）由充电车辆天数的频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列：
若采用方案一，100台直流充电桩和900台交流充电桩每天可充电车辆数为
3010049006600⨯+⨯=(辆）
可得实际充电车辆数的分布列如下表：
于是方案一下新设备产生的日利润均值为
()2560000.266000.85001008090040000⨯⨯+⨯-⨯-⨯=(元）
若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为3020044007600⨯+⨯=(辆） 可得实际充电车辆数的分布列如下表：
于是方案二下新设备产生的日利润均值为
()2560000.270000.376000.55002008040045500⨯⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=(元)
点睛：本题考查统计与概率的相关知识，如频率分布直方图，随机变量的分布列，期望，分布表等，考查数据处理能力，运用数据解决实际问题的能力．
22． (1) ()f x 的单调递增区间为[
)1,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,1.
(2) 0a <或1a =，函数()f x 有个1零点，01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点. 【解析】
分析：（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）对a 分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，利用单调性结合函数图象以及零点存在定理可得，0a <或1a =，函数()f x 有个1零点，01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点.
详解：（1）当1a =时，()2
ln f x x x x =--
()1'21f x x x =-- ()()221121x x x x x x
+---==
令()'0f x =，得1x =， 当1x >时，()'0f x >， 当01x <<时，()'0f x <，
所以()f x 的单调递增区间为[
)1,+∞，()f x 的单调递减区间为()0,1 （2）当0a <时，()()2
ln f x ax x ax =--的定义域为(),0-∞，
()2121
'21ax x f x ax x x
--=--=
当180a ∆=+≤时，即1
8a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递增，易知10f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
所以函数()f x 有1个零点
1a 当180a ∆=+>时，即1
08
a -<<时，令2210ax x --=，
得114x a -=
，214x a
=，且210x x <<，
所以()f x 在()2,x -∞，()1,0x 上单调递增，在()21,x x 上单调递减 由12
11
2x a x +=
，知11x <-， 所以
211114x x a a
<<<<-， 则()210f x f a ⎛⎫>= ⎪
⎝⎭，()()2111111112ln ln 21x x f x ax x ax x ⎛⎫-=--=+ ⎪+⎝⎭
因为11x <-，
所以
1111211
011
x x x x --=>++ 所以()0f x > 所以当108a -
<<时，函数()f x 有1个零点1a
当0a >时，()()2
ln f x ax x ax =--的定义域为()0,+∞
()2121
'21ax x f x ax x x
--=--=
令2210ax x --=
，得1104x a =
<
，2104x a
+=>，
所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， 令()()11ln g a f a a ==--，()1
'a g a a
-=
， 所以()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10g a g ≥=（当且仅当1a =时等号成立） ①当1a >时，21x a >
，而10f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()10f >， 由()f x 单调性知()20f x <，
所以()2,1x 内存在零点，即函数()f x 在定义()0,+∞内有2个两点 ②当01a <<时，21
0x a <<，而10f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()10f >， 同理()21,x 内存在零点，
即函数()f x 值定义域()0,+∞内存在2个零点 ③当1a =时，()()2110f x f f a ⎛⎫
===
⎪⎝⎭
， 所以函数()f x 在定义域()0,+∞内有一个零点 综上：0a <或1a =，函数()f x 有个1零点，
01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭
展开式中3x 项的系数为5，则202a ax x dx -⎰＝（ ） A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．4π
2．已知复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)-
B ．(1)-∞-，
C ．(2,1)-
D ．(2,)+∞
3．已知i 为虚数单位，复数z 满足()11z i +=，则z 的共轭复数z =( )
A ．1122i +
B ．1122i -
C ．11
22
-+i D ．1122
i -
- 4．复数2
1i
- (i 为虚数单位)的共轭复数是
A ．1+i
B ．1−i
C ．−1+i
D ．−1−i
5．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．
A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式
6．已知432
4355210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++，则40a a +=（ ）
A ．36
B ．40
C ．45
D ．52
7．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
A ．
3
1cm 2
B ．3
1cm 3
C ．
31cm 6
D ．
31
cm 12
8．下列叙述正确的是（ ） A ．若命题“”为假命题，则命题“”是真命题
B ．命题“若，则”的否命题为“若，则”
C ．命题“，”的否定是“
，
”
D ．“
”是“
”的充分不必要条件
9．命题2:,0p x R x ∀∈≥的否定是（ ） A ．2,0x R x ∃∈≥ B ．2,0x R x ∃∈< C ．2,0x R x ∀∈<
D ．2,0x R x ∀∈>
10．若()2
2z i i -=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．
1
2
B ．
13
C ．
14
D ．
15
11．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2
y x =和曲线y x =
围成一个叶形图(阴影部分)，
向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）
A ．
1
2
B ．
14
C ．
13
D ．
16
12．从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下： 质量指标分组 [10,30) [30,50) [50,70)
频率
0.1 0.6 0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为（ ） A ．30，1433
B ．40，43
C ．40，1433
D ．30，43
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()3
2
2
3f x x mx nx m =+++在1x =时有极值2，则m n +=_______.
14．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为__________． 15．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为_______2cm
16．某旋转体的三视图如图所示，则该旋转体的侧面积是________.
主视图 左视图 俯视图
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>过点1(3,)2M ，且离心率为3
．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）如图，过点2(0)P ，
的直线l 与椭圆E 相交于两个不同的点A ，B ，求OA OB ⋅的取值范围． 18．已知函数2()6f x x x =--. （1）求不等式()0f x <的解集；
（2）若对于一切1x >，均有()(3)10f x m x m ≥+--成立，求实数m 的取值范围. 19．（6分）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求； (2)若
，且
，是
上的点，
平分
，求
的面积.
20．（6分）设函数()()11
11n
n k
k m k n k
k m F x C C x x k
---==
⋅-∑(),,,n k m n k m N *≥≥∈. （1）化简：k m m k m
n k n n m C C C C ---(
),,,n k m n k m N
*
≥≥∈；
（2）已知：()()1111n
n k
k m k m m n k
k m a F x C C x x x k
n ---==⋅-=∑，求m a 的表达式； （3）()
()1
1
2
234
11111
k n n
n k k
n
A a a a a a ++=--=
=-+-+
+
∑
，请用数学归纳法证明不等式
211111
123n A n n n n n
+>
+++++++. 21．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l ：12x t
y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.
（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；
（2）点P 是曲线C 上的一个动点，求P 到直线l 的距离的最大值.
22．（8分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =
，6BD =．
（1）求sin ABD ∠的值；
（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
通过展开式中3x 项的系数为5列方程，解方程求得a 的值.利用几何法求得定积分的值. 【详解】
()4121x a x x ⎛⎫++-
⎪⎝⎭
展开式中3x 项为()()()24323
4412x C x x aC x x ⋅-+-+-
即()3
134a x -，条件知1345a -=，则2a =；
于是
=
被积函数y =图像，0,2x x x ==轴，围成的图形是以()20，
为圆心，以2为半径的圆的1
4
，利
用定积分的几何意义可得20
1
24
ππ=⨯⨯=，
选B. 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式，考查几何法计算定积分，属于中档题. 2．A 【解析】 【分析】
由实部虚部均大于0联立不等式组求解． 【详解】 解：
复数(1)(2)z m m i =+--在复平面内对应的点在第一象限，
∴()10
20m m +>⎧⎨
-->⎩
，解得12m -<<．
∴实数m 的取值范围是(1,2)-．
故选：A ． 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题． 3．A 【解析】
由()1i 1z +=，得()()11i 1111
i,i 1i 1i 1i 2222
z z -===-∴=+++-，故选A. 4．B 【解析】
分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．
详解：化简可得z=
21i -()()()
21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．
点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 5．C 【解析】
分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.
详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；
由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；
平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理； 在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C. 点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力. 6．A 【解析】 【分析】
利用二项式展开式的通项公式，分别计算4a 和0a ，相加得到答案. 【详解】
4324355210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++
1411
5525a C C =⨯-=
502131a =-=
4036a a +=
故答案选A 【点睛】
本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力. 7．C 【解析】
分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个边长为1，高为1的三角形，三棱锥的高为1，根据三棱锥的体积公式得到结果.
详解：由三视图可知，几何体是一个三棱锥，
三棱锥的底面是一个边长为1cm ，高为1cm 的三角形，面积211
1122
S cm =⨯⨯=， 三棱锥的高是1cm ，所以3111
1326
V cm =⨯⨯= 故选C.
点睛：当已知三视图去还原成几何体直观图时，首先根据三视图中关键点和视图形状确定几何体的形状，
再根据投影关系和虚线明确内部结构，最后通过三视图验证几何体的正确性． 8．B 【解析】 【分析】
结合命题知识对四个选项逐个分析，即可选出正确答案. 【详解】 对于选项A ，“”为假命题，则，两个命题至少一个为假命题，若，两个命题都是假命题，则命题
“
”是假命题，故选项A 错误；
对于选项B ，“若，则
”的否命题为“若，则”，符合否命题的定义，为正确选项； 对于选项C ，命题“，”的否定是“，”，故选项C 错误；
对于选项D ，若，则
，故“
”不是“
”的充分不必要条件.
【点睛】
本题考查了命题的真假的判断，考查了学生对基础知识的掌握情况. 9．B 【解析】
试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以：，故选B.
考点：1.全称命题；2.特称命题. 10．D 【解析】 【分析】
利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数z 的模. 【详解】 因为()
2
2z i i -=-，所以()
()()()2
2
3443
443434342525
2i i i
i i z i i i i i i i -+---=
=
===--+--+-， 所以2
2
43125255z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故选D. 【点睛】
本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题. 11．C 【解析】
【分析】
欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】
联立2
y y x
⎧=⎪⎨
=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：
S （A
）31
2
3120
021
)()|33
x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1
()1313
OBCA
S A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】
本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．C 【解析】 【分析】
根据频率分布表可知频率最大的分组为[)30,50，利用中点值来代表本组数据可知众数为40；根据中位数将总频率分为1:1的两部分，可构造方程求得中位数. 【详解】
根据频率分布表可知，频率最大的分组为[)30,50 ∴众数为：40 设中位数为x 则300.10.60.55030x -+
⨯=-，解得：1
433x =，即中位数为：1433
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用样本的数据特征估计众数和中位数的问题，关键是明确众数和中位数的概念，掌握用样本估计总体的方法.
二、填空题：本题共4小题 13．23- 【解析】 【分析】
函数()3
2
2
3f x x mx nx m =+++在1x =时有极值2，由()()
1=01=2f f ⎧'⎪
⎨⎪⎩，代入解出再检验即可。

【详解】
由题意知()2
36f x x mx n '=++
又在1x =时有极值2，所以()()
2
136=01113=23f m n m f m n m n ⎧=++=-⎧⎪
⇒⎨⎨=+++=⎪⎩'⎩或427m n =⎧⎨=-⎩ 当13m n =-=，时()3
2
331f x x x x =-++,()2
2
3633(1)f x x x x '=-+=-与题意在1x =时有极值矛
盾，舍去 故4
27
m n =⎧⎨
=-⎩，23m n +=-
故填23- 【点睛】
本题考查根据函数的极值点求参数，属于中档题，需要注意的是求解的结果一定要检验其是否满足题意。

14．1 【解析】
利用抛物线的定义可知，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤1，当AB 过焦点F 时取最大值为1． 15．4π 【解析】 【分析】
根据三视图可知几何体为圆锥，利用底面半径和高可求得母线长；根据圆锥侧面积公式可直接求得结果. 【详解】
由三视图可知，几何体为底面半径为1
∴
4= ∴圆锥的侧面积：144S ππ=⨯⨯=
本题正确结果：4π 【点睛】
本题考查圆锥侧面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，考查学生对于圆锥侧面积公式的掌握情况. 16
【解析】 【分析】。