山东省德州市某中学高二上学期12月月考数学理试题

高二月考数学试题（理）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

)
1. 如果直线过点P(1，2)，且不经过第四象限，那么的斜率的取值范围是（ ）
A ．[0，2]
B 、[0，1]
C 、
D 、
2. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N （110，102），若P （100≤ξ≤110）=0.35，则估计
该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 3. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4. 在的展开式中，常数项是
A ．－28
B ．－7
C ．7
D ． 28 5. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D
6. 在数列中，若对于任意的均有为定值，且，则数列的前100项的和=（ ）
A ．132
B ．299
C ．68
D ．99 7. 在△ABC 中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，使△ABD
为钝角三角形的概率为( ) A ． B ． C ． D ． 8. 已知函数
的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别
为x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），那么x 1+2x 2+x 3的值是（ ） A ． B ． C ．
D.
9. 已知的三内角所对的边的长分别为，为该三角形所在平面内一点，若0aMA bMB cMC ++=,则是的（ ） A.内心 B.重心 C.垂心 D.外心
10. 函数2
23,0
()2ln ,0
x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线与函数的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横
坐标依次标记为，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 5
62112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+
-+-⎪⎢⎣
⎭
D.若关于的方程恰有三个不同的实根，则取值唯一
二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。

将答案填在答题卡相应位置上。

)
11. 求值： =
12. 将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配
方案的种数为 13. 已知等比数列的各项均为正数，公比，设0.550.571
(log log )2
P a a =
+，
，则 (填) 14. 如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为“对偶不等式”.如果不等式
243220x x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为“对偶不等式”，且，那么=
15. 在平面直角坐标系中，点,直线，设圆的半径为1，圆心在上.若圆上存在点,使,则圆心的横坐标
的取值范围 三．解答题(本大题共6小题，满分75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

) 16. (本大题满分12分)
已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，求满足不等式()2(21)4m
m a a --+<-的的取
值范围.
17. (本大题满分12分)已知向量(sin(2),sin )6
x x π
=+
m ，
，． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△的内角的对边分别为．若，，求的值.
18. （本小题满分12分） 某校高二年级共
有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现从该年级采用分层抽样的方法从该年级抽取n 名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n 名同学每天晚上有效学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：[0，30)，[30，60)，[60，90)，[90，120)，[120，150)，[150，180)， [180，210)，[210，240)，
得到频率分布直方图如下图．已知抽取的学生中每天晚上有效学习时间少于60分钟的人数为5人．
(1)求n 的值并求有效学习时间在[90，120)内的频率；
（3）若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列及期望．
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
P (K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，0
//,90AD BC ADC ∠=,平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，,． （I ） 求证：平面⊥平面； （II ）若二面角为30°，设, 试确定的值。

（本小题满分13分）
已知圆的圆心在直线上，且与直线相切。

（1）若直线截圆所得弦长为，求圆的方程。

（2）若圆与圆081242
2
=+--+y x y x 外切，试求圆的半径。

（3）满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线相切，我们称是这些圆的公切线。

这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由。

19. (本大题满分14分)
设数列的前项和为，已知 (n ∈N*). （1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意n ∈N *且n ≥2，都有成立，求的最大值；
（3）对任意n ∈N *，都有0
2221111 (239)
m n +
+++<
高二12月月考数学（理）参考答案
17. 解（1）x x x f 2sin )6
2sin()(++
=π
11cos 2sin 2cos 2222
x x x -=
++
21
2sin 23+=
x ………3分 所以T π=， ……………………4分
递减区间是3,,4
4k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦
； …………………………………6分
（2）由
212)2(+=B
f 得sin B =cos B = ………………８分
当cos
B =
时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222=--a a ，
31±=a （负舍）31+=∴a ； …………………1０分
当cos
B =B ac c a b cos 2222-+=，即0222=-+a a ，
31±-=a （负舍）31+-=∴a ；………………1２分
18. (1)解：设第i 组的频率为P i (i = 1，2，…，8) 由由频率分布直方图知：121114
30303000100750100
P P =
⨯==⨯=， ∴有效学习时间少于60分钟的频率为，故，∴n = 100 2分
又35678
11013015105
3030300100100100100100100
P P P P P =⨯==⨯====，，，， ∴41410301510511(
)1001001001001001001004
P =-++++++= ∴有效学习时间在[90，120)内的频率为． 4分 (2)解：抽取的100人中，走读生有人，住读生25人，∴a = 25，b = 10 6分
22
100(50152510) 5.55675254060
K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯
由于K 2 > 5.024，所以有97.5%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关． 8分 (3)解：由(1)知：第①组1人，第②组4人，第⑦组10人，第⑧组5人，共20人
3515
3
20()(0123)i i C C P X i i C -===，，， ∴91551(0)(1)(2)(3)2287638114
P X P X P X P X ==
======，，， 10分
C
∴X 的分布列为
9135513
012322876381144
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= 12分 19. 解：（I ）AD // BC ，BC =
1
2
AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC =90°∴∠AQB =90°．∵P A =PD ，∴PQ ⊥AD ．∵ PQ ∩BQ =Q ， ∴AD ⊥平面PBQ ． ∵ AD ⊂平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD ．……6分
（II ）∵P A =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩
平面ABCD=AD ，
∴PQ ⊥平面ABCD ． 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；
(0,0,0)Q ， (0,3)P ，
B ，(
C -．
设(,,)M x y z ，则(,,PM x y z =
，(1
,)MC x y z =---，
∵PM tMC =，∴ (1))(x t x y
t y z t z =-
-⎧⎪
=⎨⎪-=-⎩）， ∴ 1
t x t y z ⎧
=-⎪
+⎪⎪=⎨
⎪
⎪=
⎪⎩
在平面MBQ 中，QB =，(,,)111t QM t t t
=-
+++， ∴ 平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =
．
∵二面角M-BQ-C 为30°， c o s 30
2
3n m n
m
︒
⋅=
=
=
+ 3t =．………12分 20.
解：设圆的圆心坐标为，则它的半径
2
r =
=-
(1)到直线的距离，因而圆截该直线所得弦长为
===1,244
a r ∴==-=
圆的方程为221
349
()(
)448
x y -+-=……………………..4分
（2
2
=-=，因为两圆外切，所以
r r =+∴=…………………………8分
……………….13分 21. 解: （1）由，得 (n ≥2).
两式相减，得，即 (n ≥2).
于是，所以数列是公差为1的等差数列. 又，所以.
所以2(1)12
n
n a n n =+-=+，故. 4分 （2）因为，则3111
123n n B B n n n
-=+++++.
令111
()123f n n n n =+++
++，则 111111
(1)233313233
f n n n n n n n +=++++++
+++++.
所以1111
(1)()3132331f n f n n n n n +-=
++-
++++ 1121120313233333333
n n n n n n =+->+-=++++++.
即，所以数列为递增数列. 所以当n ≥2时，的最小值为111119
(2)345620
f =
+++=
. 据题意，，即.又为整数，故的最大值为18………..10分 (3)由(2)知: 当时，成立
当时，22211111111...1...112231223(1)n n n n ++++<++++=+-<⨯⨯- 综上所述：02221111 (239)
m
n ++++<成立 14分
20.。