四川省内江市威远中学2019-2020学年高二下学期第二次月考数学(文)试题 Word版含解析

威远中学校2019-2020学年高二下学期第二次月考
数学（文科）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1.命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定是（ ） A. ()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤ B. ()0,x ∃∈+∞，e ln x x > C. ()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤ D. ()0,x ∃∈+∞，e ln x x <
【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定为特称命题，写出答案即可.
【详解】命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定是()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤. 故选：C.
【点睛】全程命题p ：x M ∀∈，()p x ，它的否定p ⌝：0x M ∃∈，()p x ⌝.
2.椭圆2
2y 125
x +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）
A. 3
B. 8
C. 6
D. 26
【答案】B 【解析】 【分析】
根据椭圆的定义可得122PF PF a +=，得到2110PF
PF =-，即可求解.
【详解】设椭圆2
2y 125x +=的左右焦点分别为12,F F ，12=PF ，
由椭圆的方程2
2y 125
x +=，可得225a =，即5a =，
根据椭圆的定义可得12210PF PF a +==，所以21101028PF PF =-=-=， 即点P 到另一个焦点的距离为8. 故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，其中解答中熟记椭圆的定义，利用椭圆的定义求解是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 3.抛物线2
12
y x =的焦点到准线的距离等于（ ） A.
1
8
B. 14
C. 12
D. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
将抛物线写成标准方程,再根据焦点到准线的距离定义求解即可.
【详解】由题,抛物线 2
2x y =,故焦点到准线的距离2
12
p =
=. 故选：D
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与几何意义.属于基础题.
4.双曲线2
2
13
x y -=的渐近线方程为（ ）
A. y =±
B. y =
C. 1
3y x =±
D. 3y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意易知，双曲线2
2
13
x y -=的a 和b ，再利用双曲线的渐近线方程得出结果.
【详解】由题意双曲线2
2
13
x y -=可得221,3a b ==
双曲线的渐近线方程为3
a y x x
b =±=± 故选A
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题.
5.“m ≥2210x mx -+=有解”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
2210x mx -+=有解，则280m -≥
，解得m ≥
或m ≤-.
【详解】2210x mx -+=有解，则280m -≥
，解得m ≥
或m ≤-
故“m ≥2210x mx -+=有解”的充分不必要条件. 故选：A.
【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
6.设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>
的左，右焦点，离心率2
e =，点P 为双曲线
C 的右支上一点，且2120PF F F ⋅=，29
2
PF =，则双曲线C 的虚轴长为（ ）
A 6
B. 12
C.
D. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意得到2
c e a ==
，222
1221F F PF PF +=，解得6a =
，c =
，b =答案.
【详解】c e a =
=，292PF =，则1922PF a =+，2120PF F F ⋅=，故122F F PF ⊥，
故2
2
21221
F F PF PF +=，即2
28194242c a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
，解得6a =，c =，
故b =2b =故选：D.
【点睛】本题考查了双曲线的虚轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
7.已知(1,0),(1,0)A B -，P 是平面上的一动点，且2PB PA -=，则P 点的轨迹方程为（ ） A. ()01y x =≤- B. ()01y x =≥ C. 2
2
1x y -= D. ()2
2
11x x y -=≥
【答案】B 【解析】 【分析】
2PB PA AB -==，故轨迹方程为射线，得到答案.
【详解】2PB PA AB -==，故轨迹方程为射线()01y x =≥. 故选：B.
【点睛】本题考查了轨迹方程，误算成双曲线是容易发生的错误.
8.若双曲线22
13x y m m
-=+的一个焦点为(2,0)，则m 的值为（ ）
A.
12
B. 1或3 12
【答案】A 【解析】 【分析】
易知2c =，可得234m m c ++==，解方程即可求得结果.
【详解】因为双曲线22
13x y m m
-=+的一个焦点为(2,0)，
所以2c =，所以234m m c ++==，
所以12
m =
. 故选：A .
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查计算能力，属于基础题.
9.若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A. a <<
B. a ≤
a ≥
C. a ≤≤
D. a <
a >
【答案】C 【解析】 【分析】
问题转化为“,x R ∀∈使得23210x ax ++≥”是真命题，根据二次函数的性质求出a 的范围即可．
【详解】解：命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题， 即“,x R ∀∈使得23210x ax ++≥”是真命题， 故24120a ∆=-≤
，解得a ≤≤ 故选C ．
【点睛】本题考查了特称命题，考查二次函数的性质，是一道基础题．
10.已知椭圆22
1(0)259
x y a b +
=>>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,且1260F PF ∠=,则12F PF △的面积等于
A.
B. C. 6 D. 3
【答案】B 【解析】
由与P 是椭圆上一点，∴
12210PF PF a +==，两边平方可得
2212122100PF PF PF PF ++=，即
22
1212
1002PF PF PF PF +=-，由于
1260F PF ∠=，1228F F c ==，∴根据余弦定理可得
2
2
1212
6412
2PF PF PF PF +-=，综上可解
得1232PF PF ⋅=，∴12F PF 的面积等于
121
sin 60332
PF PF = B. 11.已知斜率为2
的
直线l 与双曲线C ：22
2
21x y a b
-=（0a >，0b >）交于A ，B 两点，若点
(3,1)P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（ ）
C. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
运用点差法求解，根据直线斜率的公式、中点的坐标的公式，结合离心率的公式、双曲线中
,,a b c 的关系进行求解即可.
【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则代入双曲线方程，得2211221(1)x y a b -=，22
22221(2)x y a b -=
()()()()121212122
2
(1)(2)x x x x y y y y a b -+-+-⇒=
，
∵点P （3，
1）是AB 的中点， ∴x 1+x 2=6，y 1+y 2=2， ∵直线l 的斜率为2，12
12
2y y x x -∴
=-
∴22223223b b e a a =⇒=⇒== 故答案为：D.
【点睛】本题主要考查双曲线离心率求法，考查了点差法，求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得e ；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将b 用,a c 表示,令两边同除以a 或2a 化为e 或2e 的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
12.设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，
则椭圆的离心率e 的取值范围为( ).
A. (0,
2
B. 3(0,]4
C. [
2
D. 3[,1)4
【答案】C 【解析】
【详解】当
P
是椭圆的上下顶点时,
12
F PF ∠最大,
121120180,6090,F PF F PO ∴︒≤∠<︒∴︒≤∠<︒12sin 60sin sin 90,
F PF ∴︒≤∠<︒
11,,12c F P a F O c a ==≤<则椭圆的离心率e 的取值范围为,12⎫⎪⎪⎣⎭
,故选C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c 之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大共4小题 ，每小题5分，满分20分.
13.若方程
22
121
x y m m +=++表示双曲线，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】()2,1--. 【解析】
分析：利用双曲线方程的特点，可得(2)(1)0m m ++<，解不等式，即可求出实数m 的取值范围.
详解：因为方程
22
121
x y m m +=++表示双曲线， 所以(2)(1)0m m ++<，解得21m -<<-， 所以实数m 的取值范围是(2,1)--.
点睛：该题考查的是有关双曲线方程中系数的关系，利用其特征得到关于m 的不等关系式，解不等式求得结果.
14.已知抛物线2
2y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点()0,2A ，求PA PF
+的最小值______________.
【解析】 【分析】
抛物线2
2y x =的焦点是1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，故PA PF AF +≥，计算得到答案.
【详解】抛物线2
2y x =的焦点是1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故PA PF AF +≥==，
当APF 共线时等号成立.
. 【点睛】本题考查了抛物线中的最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15.过抛物线2
4y x =的焦点F 作倾斜角为45︒的弦AB ，则AB 的弦长为 . 【答案】8 【解析】
试题分析：这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于抛物线的焦点是()1,0F ，所以直线方程是1y x =-，联立消y 得2610x x -+=，所以
12628AB x x p =++=+=，故答案应填8.
考点：1、抛物线；2、焦点弦.
【思路点晴】本题是一类常见的问题，即求过抛物线的焦点的弦长问题，属于中档题.解决这类问题一般有两个基本方法：①是联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理，之后用弦长
公式1x x -12,x x 是直线与抛物线的两交点的横坐标，k 是直线的斜率；②是
利用焦点弦长公式：12x x p ++，本题就是采用第二种方法解决问题的.
16.已知椭圆C ： 22
143
x y +=的右焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线1l ， 2l ， 1l 与
椭圆C 相交于点A ，B ，2l 与椭圆C 相交于点C ，D ，则下列叙述正确的是___________ ① 存在直线1l , 2l 使得AB CD +值为7 ②存在直线1l . 2l 使得AB CD +为48
7
③弦长AB 存在最大值，且最大值为4 ④弦长AB 不存在最小值 【答案】①②③ 【解析】
【详解】当直线1l ， 2l ，一个不存在，一个为零时，7AB CD +=，故①正确； 当直线AB 的斜率存在且不等于零时，
设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程是(1)y k x =-， 代入椭圆方程并整理得2
2
2
2
(34)84120k x k x k +-+-=．
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122
834k x x k
+=-+，212241234k x x k -=+．
根据弦长公式，2122
12(1)
|||34k AB x x k +=-=+
以1k
-代换k ，得2212(1)||34k CD k +=+
当21k =时，24
||7AB CD ==，存在直线1l . 2l 使得AB CD +为487
，故②正确；
当20k =时，易得弦长AB 存在最大值，且最大值为4，故③正确； 当直线1l 斜率不存在时，弦长AB 为通径，是最小值，故④错误. 故选①②③
点睛：考查直线和椭圆的位置关系，对椭圆的基本性质和常用结论的了解是解题关键，属于中档题.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.求适合下列条件的标准方程：焦点在x 轴上，与椭圆22
143
x y +=具有相同的离心率且过
点(2,的椭圆的标准方程； 【答案】22
186
x y +
【解析】 【分析】
设椭圆为22
43
x y λ+=
，代入点(2,得到2λ=，得到答案.
【详解】根据题意：设椭圆为22
43
x y λ+=
，代入点(2,得到2λ=，故椭圆方程为
22
186
x y +.
故答案为：22
186
x y +
.
【点睛】本题考查了椭圆方程，设椭圆方程为22
43
x y λ+=是解题的
关键.
18.已知2:280p x x --+≥，():110q m x m m -≤≤+>． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；
（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[)5,m ∈+∞；（2）(]0,1m ∈ 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到12
14
m m +≥⎧⎨
-≤-⎩，解得答案.
（2）“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，则q 是p 的充分条件，故1214m m +≤⎧⎨-≥-⎩
，解得答案. 【详解】（1）2280x x --+≥，则42x -≤≤，p 是q 的充分条件，则12
14
m m +≥⎧⎨-≤-⎩，
解得5m ≥，故[
)5,m ∈+∞.
（2）“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，则q 是p 的充分条件，故1214m m +≤⎧⎨-≥-⎩
，且等号不同时成立，
解得01m <≤，故(]
0,1m ∈.
【点睛】本题考查了充分不必要条件求参数，命题的否定，意在考查学生的计算能力和推断能力.
19.已知双曲线
的
中心在原点，左、右焦点1F 、2F 在坐标轴上，渐近线为y x =，且过点
(4,.
（1）求双曲线方程；
（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：1
20FM F M ⋅=； 【答案】（1）22166
x y -=；
（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（1
）设双曲线方程为22
x y λ-=，0λ≠，由双曲线过点(
4,，能求出双曲线方程；
（2）易知1(F -
，2F ，再由点()3,M m
在此双曲线上，得23m =，进一步可得121MF MF k
k ⋅=-，由此能证明1
20FM F M ⋅=成立．
【详解】（1）∵双曲线的中心在原点，左、右焦点1F 、2F 在坐标轴上，渐近线为y x =， ∴设双曲线方程为2
2
x y λ-=，0λ≠， ∵双曲线过点(
4,， ∴1610λ-=，即6λ=，
∴双曲线方程为22166
x y -=；
（2）由（1）易知，1(F -，2F ， ∴1MF k =
，2MF k =，
又∵点()3,M m 在此双曲线上，
∴2
9166
m -=， 解得：23m =， ∴12
22
19123
MF MF
m m k k ⋅==-=--，
∴12MF MF ⊥， ∴1120
F M F M ⋅=. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程与性质，根据题意设出方程2
2
x y λ-=是解题的关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个顶点为()2,0A
，离心率为2
，直线
()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M N 、两点.
（1）求椭圆C 的方程； （2）当AMN ∆
时，求k 的值． 【答案】（1）22
142
x y +=（2）2k =±
【解析】 【分析】
（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件2a =
，
2
c a =
，解得b =（2）三角形面
积可根据点到直线距离公式求高d =
，根据弦长公式求底，列直线方程与椭圆方程，
结合韦达定理得
MN =
=，
从而AMN
∆
的面积为12S MN d ==
=解出k 的值． 【详解】
（1）由题意得：22222c a a a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+
⎪⎪⎩
，解得b =
所以椭圆C 的方程为22
142
x y +=.
（2）由()22114
2y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222
124240k x k x k +-+-=，
设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，
则()111y k x =-，()221y k x =-，2122412k x x k +=+，2122
24
12k x x k
-=+ 所以
MN =
=
=
又因为点()2,0A 到直线()1y k x =-
的距离d =
，
所以AMN ∆
的面积为12S MN d ==
=
，解得2k =±
【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，前者关键是基本量的计算，后者应联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式等来计算面积，本题属于中档题.
21.已知椭圆()
22
22:10x y C a b a b
+=>>的
离心率为
1
2，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （2）求椭圆C 的方程；
（2）设M N 、是椭圆C 上的两个动点，且横坐标均不为l ，若直线MN 的斜率为1
2
，试判断直线PM 与PN 的倾斜角是否互补?并说明理由
【答案】（1）22
143
x y +=；
（2）倾斜角互补，证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由离心率得到,a c 关系，将点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入椭圆方程，得,a b 关系，再结合222
a b c =+，即可求解；
（2）设直线方程为：1
2
y x m =
+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程得到12x x m +=-，2123x x m =-，计算0PM PN k k +=，得到答案.
【详解】（1）根据题意：12c e a =
=，2219
14a
b +=，222a b
c =+，解得2a =
，b =故椭圆方程为：22
143
x y +=.
（2）直线PM 与PN 的倾斜角互补. 设直线方程为：1
2
y x m =
+， ()11,M x y ，()22,N x y ，11x ≠，21,1,2x m m ≠≠≠-.
联立方程22
143
12x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
得到2230x mx m ++-=，
()22430m m ∆=-->，解得22m -<<，且1m ≠
12x x m +=-，2123x x m =-，
12121212331313
2222221111PM PN
y y x m x m k k x x x x -
-+-+-+=
+=+---- ()()()()()()()
()()
212121212223322301111x x m x x m m m m m x x x x +-+-------===----，
故直线PM 与PN 的倾斜角互补.
【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.
22.已知椭圆C
的两个焦点坐标分别是()
1F
、)
2F
，并且经过点12P ⎫-⎪⎭.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l 与圆O ：2
2
1x y +=相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B .当·OAOB λ=，且满足
12
23
λ≤≤时，求AOB ∆面积S 的取值范围.
【答案】（1）22
14x y +=；
（2
）⎤⎥⎣⎦
. 【解析】
试题分析：（1）设出椭圆方程，根据题意列方程组，求出待定系数的值；（2）可设直线方程为0x my n --=，根据其与圆相切可得221n m =+，联立方程组22,
{
440,
x my n x y =++-=可得
()
2
224240m
y mny n +++-=，根据韦达定理求出12y y +和12y y ⋅，
121AB y =-
，所以整理可得1·2AOB
S d AB ∆==量积的定义可得221·4
m OA OB m λ+==+，换元设21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤=∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦，最后再根据均值不等式求出AOB ∆面积S 的取值范围.
试题解析：（1）设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
由条件有2223,
{1,2
a b b a -==解得2a =，1b =.
∴椭圆C 的方程为：2
214
x y +=.
（2）依题结合图形知直线l 的斜率不为零，
∵直线l 即0x my n --=与圆O ：2
2
1x y +=相切，
1=得221n m =+.
设()11,A x y ，()22,B x y ， 由22,
{
440,
x my n x y =++-=
消去x 整理得(
)
2
22
4240m y mny n +++-=，
得2121222
24
,44
mn n y y y y m m -+=-=++.
又
121AB y y =-，点O 到直线
l 的距离1d =
=，
∴121·2AOB S d AB y ∆=
=-
121·2n y y =-==，
()()(
)
()12121212
2222
2
12122
2
·5441144
OAOB x x y y my n my n y y n m m m y y mn y y n m m λ==+=+++--+=++++==++. 1223
λ≤≤,令21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤
=
∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦，
∴
AOB S ∆====，
915927
6,612,22t t t t
⎡⎤⎡⎤
+∈⇒++∈⇒⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
∴AOB S ∆⎤
∈⎥⎣⎦，∴AOB S ∆的取值范围为：3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 考点：椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程的思想和考生的运算能力及数据处理能力，属于难题.求椭圆方程，通常用待定系数法，根据焦点位置设出方程，列待定系数的方程组求解，研究直线与椭圆的位置关系通常设而不解，根据韦达定理进行整体代换，本题的难点是面积的表示和最后函数值域的求解，面积分解为两个同底的三角形面积和，建立面积的函数关系后，通过换元，利用均值不等式求范围，这是这类问题最常用的策略.。