随机利率下服从指数O-U过程的可转换债券的鞅定价

随机利率下服从指数O-U过程的可转换债券的鞅定价
李伟;李晋枝;乔克林
【摘要】从定量的角度分析了随机利率下有股利分配的可转换债券的价值构成,并在股价服从广义O-U过程的条件下,利用鞅定价方法推导出可转换债券的定价公式.【期刊名称】《经济数学》
【年(卷),期】2011(028)004
【总页数】4页(P71-74)
【关键词】可转换债券;随机利率;It?公式;指数O-U模型;Girsanov定理
【作者】李伟;李晋枝;乔克林
【作者单位】中央民族大学理学院北京 100081;中央民族大学理学院北京100081;延安大学数学与计算机科学学院陕西 716000
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9;O211.63
AbstractThe value composition of the convertible bond was discussed in a quantitative analysis.Under stochastic interest，the stock has dividend-paying and obeys Exponential Ornstein-Uhlenbeck Process Model.The pricing formulas of the convertible bond were obtained by means of Martingale approach（risk-neutral valuation）. KeywordsConvertible bond；Stochastic interest；It＾oformula；Exponential Ornstein-Uhlenbeck Process Model；Girs anov’s theorem
可转换债券，又称可转换公司债券，属于公司债券的范畴，是指发行人依照法定程序发行，赋予其持有人在一定时期内依据约定条件将其转换成一定数量股票权利的公司债券.
对可转债定价问题的最早研究当属Ingersol（1977）、Brennan（1977）和Schwartz［1］.他们在假定可转换债券一次性完全转换成股票的条件下研究了可
转换债券的定价问题，结论是可转换债券的市场价值是普通债券的市场价值与权证市场价值之和，但具体定价参数仍难以确定.其后的研究多集中在可转换债券的转
换价格及赎回策略的制定上［2］.
国内对可转债的定价研究起步比较晚，大多数是借鉴国外成熟的模型对国内可转债的实证研究，再针对性地考虑中国的实际情况，比如各种条款或数值方法的设计［3］.具有代表性的有的有王承炜、吴冲锋（2001）采用蒙特卡罗模拟和有限差
分数值方法，对国内可转债的两个条款－回售和赎回条款定价，并分析了这些条款对可转债的影响；杨如彦、魏刚（2002）借鉴B-S模型，建立了一个基于股价和
利率的双因素定价模型，对机场转债进行实证检验，发现我国可转债对利率变换不敏感，并对可转债条款的设计提出了改进建议；黄健柏、钟美瑞（2003）推导出
具有信用风险的可转债定价模型的PDE及其约束、边界条件；郑振龙、林海（2004）利用金融工程学的一些基本原理和方法，在B-S模型的基础上，构造了
中国可转债定价模型，并通过具体的参数估计对我国可转债发行日的价值进行分析.郑小迎、陈金贤在假定股票价格服从对数正态分布的条件下，利用无风险套利原理，得到了关于可转换债券的定价微分方程［4］.
本文利用鞅方法［5］定价给出了附有股利分配的可转换债券的价格公式.鞅方法作为一种理论工具，在可转换债券定价模型中的应用占有重要地位.目前，国内运用
鞅方法对可转债定价的研究比较少.因此，利用鞅的理论来研究可转换债券的定价
对完善金融市场、推动可转换债券交易的发展具有重要的现实意义.
2.1可转换债券的构成要素
一般而言，可转换债券具有以下一些要素：1）基准股票：记为S （t）或St，它
是可转换债券的标的物，即可转换债券可以转换成的那种股票；确定了基准股票后，可进一步推算转换价格；2）票面利率：记为i，通常低于普通债券利率，有时甚
至低于同期银行存款利率；3）票面面值：记为M，是债券票面标明的货币价值，是债券发行人承诺在债券到期日偿还给债券持有人的金额；4）转换价格，记为Cv，即债券发行时就确定了的将债券转换成股票时应付的每股价格，一般高于发
行时股票的市场价格，否则就意味着贴现发行；5）转换期限：记为T，是指可转
换债券转换为普通股票的起始日至结束日的期间；6）连续红利率：记为q（t），它是可转换债券对应股票的红利率，一般为时间t的非随机函数；7）附加条款：
通常有赎回条款、回售条款、向下修正条款等.
从可转换债券的构成要素可以看出，可转换债券是一种期权式债券，兼具债券与期权的双重性质.一方面，作为一种债券，和普通债券一样能为投资者提供固定利息
收入和还本保证（不过由于在转换期内可转换债券持有者有随时转换股票的权利，所以其票面利率要比一般的公司债券低，以反映可转换债券期权的价值）；另一方面，作为股票期权，在转换有效期内，持有人可以按照约定的转换价格将债券转换成公司股票，确保持有人有权分享股票增值所带来的收益.
2.2 相关数学基础
定理1 （Girsanov Theorem）
3.1 模型假设
在给定的市场及带流概率空间（Ω，F，P）
1）市场为有效的“无摩擦”市场，有两种资产：一种是无风险资产，称为无息债券，其价格过程满足
Bt＝B （t，T）为T时刻到期的零息债券在时刻t的
价格；另一种是可转换债券，其对应的标的股票价格过程满足方程
其中 St表示股票在t 时刻的价格，μi（t），σi（t ）（i ＝1，2）分别为相应价格过程在时刻t的瞬间期望报酬率，瞬间标准差，q（t）为连续红利，μi （t）、σi（t）、q（t）均为时间t的非随机函数，且满足可积条件：
W1（t），W2（t）均为概率测度P 下相关系数为ρ的标准布朗运动；
2）股票交易连续进行（即无时间限制），不存在交易费用及交易税；
3）可转换债券持有期内无违约风险；
4）债券利息按连续复利计算；
由于可转换债券的价值由两部分构成：单纯的债券价值和以股票为标的物的看涨期权价值.因此，其到期现金流量以公式表示为［6］：
其中，C （T）代表可转换债券到期时刻的价值，Pb＝MeiT代表单纯的债券价值，M 代表可转换债券面值，Cv代表约定的转换价格，S （T）代表T 时刻的股价.
一旦可转换债券的到期现金流量确定后，其定价模型可根据鞅定价方法求解.在风
险中性条件下，其价值是到期现金流量期望值的现值，并以无息债券的随机利率贴现.
3.2 概率测度变换
为简化计算，下面先利用Girsanov定理进行概率测度的转换［7］.
根据可转换债券到期现金流量C （T）定义，它
针对定理4的特殊情形，有如下重要推论：
推论1若市场无风险利率r （t）、股价瞬间期望报酬率μ（t）及瞬时波动率σ（t）、连续股利率q（t）均为时间t的非随机函数，则有股利分配的可转换债券
在现在（t时刻）的无套利价格为：
本文在可转换债券的基础上附加分配条款，并让利率随机化，利用鞅定价方法得到了股价服从指数O-U过程模型的可转换债券的价格公式，并推导出利率为非随机
函数时的可转换债券的定价公式.
【相关文献】
［1］J INGERSOLL.A contingent claim valuation of convertible securities［J］.Journal of Financial Economics，2003，4（3）：289－322.
［2］闻亮，张秋来.可转换债券的定价模型与投资策略分析［J］.中南民族大学学报：自然科学版，2003，22（3）：88－89.
［3］杨立洪，宾海妃，蓝雁书.可转换债券定价理论发展的研究［J］.北京工商大学学报：社会科
学版，2006，21（4）：48－51
［4］郑小迎，陈金贤.关于可转换债券定价模型的研究［J］.系统工程，1999，17（3）：1－5. ［5］朱丹，杨向群.随机利率下有股利分配的可转换债券的鞅定价［J］.应用概率统计，2008，24（6）：613－620.
［6］朱丹，杨向群.可转换债券的鞅定价［J］.统计与决策，2005，（8）：19－21.
［7］孙健.金融衍生品定价模型—数理金融引论［M］.北京.中国经济出版社.2007.。