北师大版八年级上册数学《三角形内角和定理》平行线的证明教学说课复习课件
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例 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是
△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理）
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴∠BAC=180°－38°－62°=80°（等式的性质）
∵ AD平分∠BAC（已知）, 1
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°
又因为∠B=∠BAD，
A
1
所以B 80 40,
2
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠C=180º-40º-70º=70°.
B
D
C
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
B
E
∴∠1=∠B+ ∠E.
同理∠2=∠A+∠D.
G
2
合作探究
你还有什么方法可以达到同样的效果？
参考答案：可以用“两直线平行，同旁内角互补”来说明.
可以通过作辅助线实现移动的效果，例如延长BC到点D，
过点C作射线CE∥BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的
位置，∠B移到了∠2的位置.这里的CD、CE称为辅助线，
辅助线通常画成虚线。
合作探究
想一想：还有其他方法证明三角形内角和定理吗？
如图 2 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
A
A
1
1
C
B
图1
2
B
E
3
图2
C
2
D
解：∵∠2=∠1+∠B,
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它
不相邻的内角.
例1
一个零件的形状如图所示，按规定∠ 应等于°，∠，
(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
2
F
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
3
C
D
解法3 ：如图所示，过点 作射线，使
E
∥ .
A
∵ ∥ ，
1
∴ ∠ ＝∠，∠ ＝∠.
∴ ∠ +∠ +∠
＝∠ +∠ +∠ ＝ 360° .
所以可以断定这个零件不合格.
例2
如图，△ 中， 是 延长线上一点， 是 延长线
上一点， 是 上一点，连接. 求证： ∠ > ∠.
证明：∵ ∠ 是△ 的一个外角，
∴ ∠ >∠ .
∵ ∠ 是△ 的一个外角，
∴ ∠ >∠，
∠1和∠4是对顶角，相等；
∠2和 ∠5是对顶角，相等；
∠3和∠6是对顶角，相等.
总结归纳
★三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角，
每一个三角形都有6个外角．
★ 三角形的外角的性质
问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么
关系？
∠BCD与∠ACB互补.
B
不相邻的内角
三角形的外角
A
D
C
相邻的内角
问题2： 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角
(∠A、∠B)有什么关系？
∠A+∠B=∠BCD
B
不相邻的内角
三角形的外角
A
D
C
相邻的内角
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
E
A
证明：过C作CE∥AB，
∴∠1= ∠B，
∠A < ∠1 < ∠2
D
E
课堂小结
角一边必须是三角形的一边，另一边必
定义
三角形
的外角
须是三角形另一边的延长线
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和
性质
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何
一个内角
三角形的
外 角 和
三角形的外角和等于360 °
当堂检测
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和。（
2
2
（角平分线定义）.
∵ ∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180°－38°－40°=102°（等式的性质）
课堂练习
1.求出下列各图中的x值．
70
x°
x
40
x=70
x° x°
x=60
x° 20°
2x°
x°
x=30
25°
45°
x=50
课堂练习
280 °
2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________
结论：三角形的外角和等于360°.
P
B
F
2
3
C
D
随堂训练
1.如图，在△ABC 中,∠B＝40°,∠ACD＝120°,
则∠A的度数是
80°
40° ？ 120°
2.在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，
BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是
50°
？
70°
85°
3.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是
1
F
D
C
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+
∠ D+∠E= 180º.
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E
360°
＋∠F=________.
A
B
1
P
C
N3
F
2 M
D
E
）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍。（ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（
）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（
）
）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，
证明：(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC，
RP∥AB，交AB于Q，交AC于R，
则∠1＝∠B，∠2＝∠C
(两直线平行，同位角相等)．
∠A＝∠BQP＝∠QPR
(两直线平行，同位角相等，内错角相等)．
∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．
典例精析
∠ 应分别是°和°，检验工人量得∠ ＝ °，就断
定这个零件不合格，这是为什么呢？
解：如图 所示，延长 交 于点.
因为∠ 是△ 的一个外角，
所以∠ ＝∠ + ∠ .
又因为∠ 是△ 的一个外角，
所以∠ ＝∠ + ∠.
所以∠ ＝∠ + ∠ + ∠ ＝ 90° + 21° + 32° ＝ 143° ≠ 148° .
课堂小结
1．三角形内角和等于180°.
2．定理的证明
3．定理的应用
ห้องสมุดไป่ตู้ 再见
7.5 三角形内角和定理
第2课时
课件
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点）
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性
质进行简单的证明和计算．（难点）
知识回顾
• 三角形内角和定理
在△ABC中，∠A +∠B +∠C =180°.
合作探究
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：(如图①)过点A作PQ∥BC，
则∠1＝∠B，∠2＝∠C
(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定义)
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)．
合作探究
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
.
C
D
1
40°
A
2
4
3
E
B
课堂练习
1
1
3.在△ABC中，如果∠A＝ ∠B＝ ∠C，求∠A、∠B、
2
2
∠C分别等于多少度？
1
1
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠C(已知)，
2
2
∴∠B＝∠C＝2∠A(等式的性质)．
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．
证明：(如图②)过点C作CE∥AB，
则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，
∠B＋∠BCE＝180°
(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，
∴∠B＋∠BCA＋∠1＝180°(等量代换)，
∴∠B＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代换)．
合作探究
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第 1 课时
课件
学习目标
1．证明三角形内角和定理，并能运用这些定理解决简单的
问题．
2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．
3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，
提升解决问题的能力．
复习导入
我们知道三角形内角和等于180°，请回忆这个结论的探索过程.
A
B
E
C
∠ACD 是△ABC 的外角
D
知识讲解
1.三角形的外角
外角的定义：△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延
长线组成的角，称为△ABC 的外角。
∠1是△ABC 的外角。
A
4
B
1
C
D
探究1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
有6个，它们是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5，
∠6.
探究2： △ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
∴ ∠ >∠ .
★ 三角形的外角和
例3 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多
少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
E
你还有其他
那么∠F 等于 （ A ）
F
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
E
A
C
B
D
3.（1）如图，∠BDC是________
△ADC
A
D
的外角,也是△ADE 的外角；
E
B
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∴∠A＝36°，∠B＝72°，∠C＝72°.
课堂练习
4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分
∠BAC．求∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
2
∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.
解法吗？
A
1
B
F
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
2
3
C
D
解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
E
∠ACD +∠3=180 ° .③
A
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
1
①+ ②+ ③得
B
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
2
B
1
C
（两直线平行，同位角相等）
D
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
★三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
A
▼应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
B
C
D
拓 展
如图 1 ，试比较∠2 、∠1的大小.
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20
°+36 °=101 °.
C
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,
∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°.
求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角，
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：在△ABC中，
∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理）
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴∠BAC=180°－38°－62°=80°（等式的性质）
∵ AD平分∠BAC（已知）, 1
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°
又因为∠B=∠BAD，
A
1
所以B 80 40,
2
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
所以∠C=180º-40º-70º=70°.
B
D
C
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
B
E
∴∠1=∠B+ ∠E.
同理∠2=∠A+∠D.
G
2
合作探究
你还有什么方法可以达到同样的效果？
参考答案：可以用“两直线平行，同旁内角互补”来说明.
可以通过作辅助线实现移动的效果，例如延长BC到点D，
过点C作射线CE∥BA，这样就相当于把∠A移到了∠1的
位置，∠B移到了∠2的位置.这里的CD、CE称为辅助线，
辅助线通常画成虚线。
合作探究
想一想：还有其他方法证明三角形内角和定理吗？
如图 2 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
A
A
1
1
C
B
图1
2
B
E
3
图2
C
2
D
解：∵∠2=∠1+∠B,
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它
不相邻的内角.
例1
一个零件的形状如图所示，按规定∠ 应等于°，∠，
(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
2
F
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
3
C
D
解法3 ：如图所示，过点 作射线，使
E
∥ .
A
∵ ∥ ，
1
∴ ∠ ＝∠，∠ ＝∠.
∴ ∠ +∠ +∠
＝∠ +∠ +∠ ＝ 360° .
所以可以断定这个零件不合格.
例2
如图，△ 中， 是 延长线上一点， 是 延长线
上一点， 是 上一点，连接. 求证： ∠ > ∠.
证明：∵ ∠ 是△ 的一个外角，
∴ ∠ >∠ .
∵ ∠ 是△ 的一个外角，
∴ ∠ >∠，
∠1和∠4是对顶角，相等；
∠2和 ∠5是对顶角，相等；
∠3和∠6是对顶角，相等.
总结归纳
★三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角，
每一个三角形都有6个外角．
★ 三角形的外角的性质
问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么
关系？
∠BCD与∠ACB互补.
B
不相邻的内角
三角形的外角
A
D
C
相邻的内角
问题2： 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角
(∠A、∠B)有什么关系？
∠A+∠B=∠BCD
B
不相邻的内角
三角形的外角
A
D
C
相邻的内角
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
E
A
证明：过C作CE∥AB，
∴∠1= ∠B，
∠A < ∠1 < ∠2
D
E
课堂小结
角一边必须是三角形的一边，另一边必
定义
三角形
的外角
须是三角形另一边的延长线
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个
内角的和
性质
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何
一个内角
三角形的
外 角 和
三角形的外角和等于360 °
当堂检测
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和。（
2
2
（角平分线定义）.
∵ ∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180°－38°－40°=102°（等式的性质）
课堂练习
1.求出下列各图中的x值．
70
x°
x
40
x=70
x° x°
x=60
x° 20°
2x°
x°
x=30
25°
45°
x=50
课堂练习
280 °
2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________
结论：三角形的外角和等于360°.
P
B
F
2
3
C
D
随堂训练
1.如图，在△ABC 中,∠B＝40°,∠ACD＝120°,
则∠A的度数是
80°
40° ？ 120°
2.在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，
BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是
50°
？
70°
85°
3.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是
1
F
D
C
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+
∠ D+∠E= 180º.
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E
360°
＋∠F=________.
A
B
1
P
C
N3
F
2 M
D
E
）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍。（ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.（
）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.（
）
）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，
证明：(如图③)过BC边上的一点P作QP∥AC，
RP∥AB，交AB于Q，交AC于R，
则∠1＝∠B，∠2＝∠C
(两直线平行，同位角相等)．
∠A＝∠BQP＝∠QPR
(两直线平行，同位角相等，内错角相等)．
∵∠1＋∠2＋∠QPR＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)．
典例精析
∠ 应分别是°和°，检验工人量得∠ ＝ °，就断
定这个零件不合格，这是为什么呢？
解：如图 所示，延长 交 于点.
因为∠ 是△ 的一个外角，
所以∠ ＝∠ + ∠ .
又因为∠ 是△ 的一个外角，
所以∠ ＝∠ + ∠.
所以∠ ＝∠ + ∠ + ∠ ＝ 90° + 21° + 32° ＝ 143° ≠ 148° .
课堂小结
1．三角形内角和等于180°.
2．定理的证明
3．定理的应用
ห้องสมุดไป่ตู้ 再见
7.5 三角形内角和定理
第2课时
课件
学习目标
1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点）
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性
质进行简单的证明和计算．（难点）
知识回顾
• 三角形内角和定理
在△ABC中，∠A +∠B +∠C =180°.
合作探究
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：(如图①)过点A作PQ∥BC，
则∠1＝∠B，∠2＝∠C
(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°(平角的定义)
∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°(等量代换)．
合作探究
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
.
C
D
1
40°
A
2
4
3
E
B
课堂练习
1
1
3.在△ABC中，如果∠A＝ ∠B＝ ∠C，求∠A、∠B、
2
2
∠C分别等于多少度？
1
1
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠C(已知)，
2
2
∴∠B＝∠C＝2∠A(等式的性质)．
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A＋2∠A＋2∠A＝180°(等量代换)．
证明：(如图②)过点C作CE∥AB，
则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，
∠B＋∠BCE＝180°
(两直线平行，同旁内角互补)．
∵∠BCE＝∠BCA＋∠1，
∴∠B＋∠BCA＋∠1＝180°(等量代换)，
∴∠B＋∠BAC＋∠A＝180°(等量代换)．
合作探究
已知：如图，在△ABC中．
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理
第 1 课时
课件
学习目标
1．证明三角形内角和定理，并能运用这些定理解决简单的
问题．
2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．
3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，
提升解决问题的能力．
复习导入
我们知道三角形内角和等于180°，请回忆这个结论的探索过程.
A
B
E
C
∠ACD 是△ABC 的外角
D
知识讲解
1.三角形的外角
外角的定义：△ABC 内角的一条边与另一条边的反向延
长线组成的角，称为△ABC 的外角。
∠1是△ABC 的外角。
A
4
B
1
C
D
探究1： 画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
有6个，它们是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5，
∠6.
探究2： △ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
∴ ∠ >∠ .
★ 三角形的外角和
例3 如图， ∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多
少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
E
你还有其他
那么∠F 等于 （ A ）
F
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
E
A
C
B
D
3.（1）如图，∠BDC是________
△ADC
A
D
的外角,也是△ADE 的外角；
E
B
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∴∠A＝36°，∠B＝72°，∠C＝72°.
课堂练习
4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分
∠BAC．求∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
2
∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.
解法吗？
A
1
B
F
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
2
3
C
D
解法2：如图，∠BAE+∠1=180 °， ①
∠CBF +∠2=180 ° ，②
E
∠ACD +∠3=180 ° .③
A
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
1
①+ ②+ ③得
B
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+
2
B
1
C
（两直线平行，同位角相等）
D
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
★三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
A
▼应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
B
C
D
拓 展
如图 1 ，试比较∠2 、∠1的大小.
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20
°+36 °=101 °.
C
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,
∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°.
求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角，
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.