数学二轮专题复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的定义方程与性质理
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
|AF| 1
直线与抛物线在第一象限、第四象限分别交于 A，B 两点，若|BF| ＝3 ，则直线
AB 的倾斜角为（
）
π
π
2π
A．6
B．3
C． 3
答案：C
5π
D． 6
x2 y2
3.[2023·四川省成都市第七中学模拟]设 F1，
F2 是椭圆 C：4 ＋ 2 ＝1 的左、
右焦点，点 P 是直线 x＝2 2 上一点，则∠F1PF2 的最大值是（
设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|
1 2
1 + ( ) |y1－y2|
1 − 2 (x1 + x2 )2 −4x1 x2
1 − 2 |x1－x2|
k
＝_____________＝______________________或|AB|＝______________
4
1 2
x2
y2
例 3 (1)[2022·浙江卷]已知双曲线 2 − 2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，
a
b
b
过F且斜率为 的直线交双曲线于点A(x1 ，y1)，交双曲线的渐近线于
4a
点 B(x2 ， y2) ， 且 x1<0<x2. 若 |FB| ＝ 3|FA| ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 是
(2)用法：①可得 或 的值；
a b
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
对点训练
2
y
1.[2023·全国乙卷]设 A，B 为双曲线 x2－ 9 ＝1 上两点，下列四个点中，可
为线段 AB 中点的是（
A．（1，1）
C． 1，3
答案：D
）
B．－1，2
D． －1，－4
心率e＝2，且点M(2， 3)在C上，则双曲线C的标准方程为(
)
2
y
A.x2－ ＝1
3
x2
C． －y2＝1
3
答案：B
x2
B．
3
x2
D．
2
y2
− ＝1
9
y2
− ＝1
3
归纳总结
1．关于圆锥曲线定义的应用
对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用
定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距
→ ∥NM
→ ，
直线 l 垂直的直线与双曲线 C 的另外一个交点为 M，
点 N 在 y 轴上，
BN
→ 2＝7OA
→ ·NO
→ ，则双曲线 C 的渐近线方程为（
点 O 为坐标原点，且ON
A．y＝± 3 x
B．y＝± 5 x
C．y＝± 6 x
D．y＝± 7 x
答案：C
）
2.[2023·河南省开封市杞县等 4 地三模]过抛物线 y2＝2px（p>0）的焦点 F 的
第2讲
圆锥曲线的定义、方程与性质
考点一
考点二
考点三
考点一 圆锥曲线的定义及标准方
程——回归定义，巧解方程
考点一
名称
定义
标准
方程
图形
圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
圆锥曲线的定义、标准方程
椭圆
|PF1|＋|PF2|＝
2a(2a>|F1F2|)
双曲线
||PF1|－|PF2||＝
2a(0<2a<|F1F2|)
离时需要相互转化．
2．关于圆锥曲线方程的求法
定型
计算
确定曲线类型
利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p
对点训练
x2 y2
1.[2023·全国甲卷]设 O 为坐标原点，F1，F2 为椭圆 C： 9 ＋ 6 ＝1 的两个
3
焦点，点 P 在 C 上，cos ∠F1PF2＝5 ，则|OP|＝（
）
13
________．
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆
6
y2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
找准a、b、c，数形要结合
考点二
圆锥曲线的几何性质——找准a、b、c，数形要结合
圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
2
c
b
1−
2
2
2
a
①在椭圆中：a ＝b ＋c ，离心率为e＝________＝__________；
a
2
c
b
1+
②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝______＝__________．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程：
p
± ，0
2＝±2px(p>0)的焦点坐标为___________，准线方程为x＝
①抛物线y
2
p
∓
p
________；
2
0， ±
2
②抛物线x
＝±2py(p>0)的焦点坐标为___________，准线方程为y＝
2
p
∓
________．
2
x2
(1)[2022·全国甲卷]椭圆C： 2
a
y2
例 2
+ 2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点
b
1
P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C
4
的离心率为(
A．
3
2
答案：A
)
B．
2
2
1
C．
2
1
D．
3
(2)[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2 ＝4x的焦点，点A在C上，点
B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(
1 2
1 + ( ) (1 + 2 )2 −41 2
＝________________________．
k
2．过抛物线焦点的弦长
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2
2
2
－p
x1＋x2＋p
＝________，y
y
＝________，弦长|AB|＝________．
π
π
π
π
A．6
B．4
C．3
D．2
答案：A
）
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
a
y2
＝1(a＞b＞0)的上顶点，若
2
b
+
C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(
2
A．[ ，1)
2
2
C．(0， ]
2
答案：C
B．
D．
1
，1
2
1
0，
2
)
考点三
直线与圆锥曲线的关系及应用
——联立方程，设而不求
考点三 直线与圆锥曲线的关系及应用——联立方程，设而不求
1．弦长公式
y2
(3)双曲线 2 − 2＝1(a>0，b>0)上以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在
a
b
b2 x0
直线的斜率为k＝ 2 .
a y0
对点训练
1.[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知直线 l：y＝kx（k>0）
与双曲线 C：
x2
y2
a2 －b2 ＝1（a>0，b>0）相交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，经过点 A 且与
)
A．2 B．2 2 C．3 D．3 2
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又
B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2 x0 )．根据抛物线的
定 义 可 知 x0 － ( － 1) ＝ 2 ， 所 以 x0 ＝ 1 ， 所 以 A(1 ， 2) ， 所 以 |AB| ＝
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D． ＋y2＝1
2
(2)[2023·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
x2
2.[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆 C：3 ＋y2＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，
直线 y＝x＋m 与 C 交于 A，B 两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的 2 倍，
则 m＝（
2
A．3
答案：C
）
2
B． 3
2
C．－ 3
2
D．－3
x2
3．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C： 2
13
C． 2
17
D． 2
归纳总结
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确
c
定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求 的值．
a
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的“1”改为零，分解因式可得；
b a
A． 5
答案：B
30
B． 2
14
C． 5
35
D． 2
2.[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知点F（0，4）是抛物线C：
x2＝2py（p>0）的焦点，点P（2，3），且点M为抛物线C上任意一点，
则|MF|＋|MP|的最小值为（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：C
考点二 圆锥曲线的几何性质——
抛物线
|PF|＝|PM|，点F不在
直线l上，PM⊥l于M
y2＝2px
(p>0)
例 1
x2
(1)[2022·全国甲卷]已知椭圆C： 2
a
+
y2
1
＝1(a>b>0)的离心率为 ，
2
b
3
A1，A2 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若1 · 2 ＝－1，
则C的方程为(
)
x2
y2
A． + ＝1
1 − 3 2 + 2 − 0 2 ＝2 2.故选B.
（3）
（多选）[2022·全国乙卷]双曲线 C 的两个焦点为 F1，F2，以 C 的实轴
3
为直径的圆记为 D，
过 F1 作 D 的切线与 C 交于 M，
N 两点，且 cos ∠F1NF2＝5 ，
则 C 的离心率为（
5
A． 2
答案：AC
3
B．2
）
a
a
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标：
x2
①双曲线 2
a
b
y2
± x
＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，点
a
b2
y2
②双曲线 2
a
a
x2
±
x
＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点
b
b2
−
坐标F1(－c，0)，F2(c，0)；
−
坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．
直线与抛物线在第一象限、第四象限分别交于 A，B 两点，若|BF| ＝3 ，则直线
AB 的倾斜角为（
）
π
π
2π
A．6
B．3
C． 3
答案：C
5π
D． 6
x2 y2
3.[2023·四川省成都市第七中学模拟]设 F1，
F2 是椭圆 C：4 ＋ 2 ＝1 的左、
右焦点，点 P 是直线 x＝2 2 上一点，则∠F1PF2 的最大值是（
设直线斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|
1 2
1 + ( ) |y1－y2|
1 − 2 (x1 + x2 )2 −4x1 x2
1 − 2 |x1－x2|
k
＝_____________＝______________________或|AB|＝______________
4
1 2
x2
y2
例 3 (1)[2022·浙江卷]已知双曲线 2 − 2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，
a
b
b
过F且斜率为 的直线交双曲线于点A(x1 ，y1)，交双曲线的渐近线于
4a
点 B(x2 ， y2) ， 且 x1<0<x2. 若 |FB| ＝ 3|FA| ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 是
(2)用法：①可得 或 的值；
a b
②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
对点训练
2
y
1.[2023·全国乙卷]设 A，B 为双曲线 x2－ 9 ＝1 上两点，下列四个点中，可
为线段 AB 中点的是（
A．（1，1）
C． 1，3
答案：D
）
B．－1，2
D． －1，－4
心率e＝2，且点M(2， 3)在C上，则双曲线C的标准方程为(
)
2
y
A.x2－ ＝1
3
x2
C． －y2＝1
3
答案：B
x2
B．
3
x2
D．
2
y2
− ＝1
9
y2
− ＝1
3
归纳总结
1．关于圆锥曲线定义的应用
对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用
定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距
→ ∥NM
→ ，
直线 l 垂直的直线与双曲线 C 的另外一个交点为 M，
点 N 在 y 轴上，
BN
→ 2＝7OA
→ ·NO
→ ，则双曲线 C 的渐近线方程为（
点 O 为坐标原点，且ON
A．y＝± 3 x
B．y＝± 5 x
C．y＝± 6 x
D．y＝± 7 x
答案：C
）
2.[2023·河南省开封市杞县等 4 地三模]过抛物线 y2＝2px（p>0）的焦点 F 的
第2讲
圆锥曲线的定义、方程与性质
考点一
考点二
考点三
考点一 圆锥曲线的定义及标准方
程——回归定义，巧解方程
考点一
名称
定义
标准
方程
图形
圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
圆锥曲线的定义、标准方程
椭圆
|PF1|＋|PF2|＝
2a(2a>|F1F2|)
双曲线
||PF1|－|PF2||＝
2a(0<2a<|F1F2|)
离时需要相互转化．
2．关于圆锥曲线方程的求法
定型
计算
确定曲线类型
利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p
对点训练
x2 y2
1.[2023·全国甲卷]设 O 为坐标原点，F1，F2 为椭圆 C： 9 ＋ 6 ＝1 的两个
3
焦点，点 P 在 C 上，cos ∠F1PF2＝5 ，则|OP|＝（
）
13
________．
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆
6
y2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
找准a、b、c，数形要结合
考点二
圆锥曲线的几何性质——找准a、b、c，数形要结合
圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系
2
c
b
1−
2
2
2
a
①在椭圆中：a ＝b ＋c ，离心率为e＝________＝__________；
a
2
c
b
1+
②在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝______＝__________．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程：
p
± ，0
2＝±2px(p>0)的焦点坐标为___________，准线方程为x＝
①抛物线y
2
p
∓
p
________；
2
0， ±
2
②抛物线x
＝±2py(p>0)的焦点坐标为___________，准线方程为y＝
2
p
∓
________．
2
x2
(1)[2022·全国甲卷]椭圆C： 2
a
y2
例 2
+ 2＝1(a>b>0)的左顶点为A，点
b
1
P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C
4
的离心率为(
A．
3
2
答案：A
)
B．
2
2
1
C．
2
1
D．
3
(2)[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2 ＝4x的焦点，点A在C上，点
B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(
1 2
1 + ( ) (1 + 2 )2 −41 2
＝________________________．
k
2．过抛物线焦点的弦长
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2
2
2
－p
x1＋x2＋p
＝________，y
y
＝________，弦长|AB|＝________．
π
π
π
π
A．6
B．4
C．3
D．2
答案：A
）
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
a
y2
＝1(a＞b＞0)的上顶点，若
2
b
+
C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(
2
A．[ ，1)
2
2
C．(0， ]
2
答案：C
B．
D．
1
，1
2
1
0，
2
)
考点三
直线与圆锥曲线的关系及应用
——联立方程，设而不求
考点三 直线与圆锥曲线的关系及应用——联立方程，设而不求
1．弦长公式
y2
(3)双曲线 2 − 2＝1(a>0，b>0)上以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在
a
b
b2 x0
直线的斜率为k＝ 2 .
a y0
对点训练
1.[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知直线 l：y＝kx（k>0）
与双曲线 C：
x2
y2
a2 －b2 ＝1（a>0，b>0）相交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，经过点 A 且与
)
A．2 B．2 2 C．3 D．3 2
答案：B
解析：由已知条件，易知抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.又
B(3，0)，则|AF|＝|BF|＝2.不妨设点A在第一象限，则A(x0，2 x0 )．根据抛物线的
定 义 可 知 x0 － ( － 1) ＝ 2 ， 所 以 x0 ＝ 1 ， 所 以 A(1 ， 2) ， 所 以 |AB| ＝
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D． ＋y2＝1
2
(2)[2023·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
x2
2.[2023·新课标Ⅱ卷]已知椭圆 C：3 ＋y2＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，
直线 y＝x＋m 与 C 交于 A，B 两点，若△F1AB 面积是△F2AB 面积的 2 倍，
则 m＝（
2
A．3
答案：C
）
2
B． 3
2
C．－ 3
2
D．－3
x2
3．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C： 2
13
C． 2
17
D． 2
归纳总结
1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确
c
定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求 的值．
a
2．双曲线的渐近线的求法及用法
(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的“1”改为零，分解因式可得；
b a
A． 5
答案：B
30
B． 2
14
C． 5
35
D． 2
2.[2023·四川省成都市四七九名校模拟]已知点F（0，4）是抛物线C：
x2＝2py（p>0）的焦点，点P（2，3），且点M为抛物线C上任意一点，
则|MF|＋|MP|的最小值为（
）
A．5 B．6 C．7 D．8
答案：C
考点二 圆锥曲线的几何性质——
抛物线
|PF|＝|PM|，点F不在
直线l上，PM⊥l于M
y2＝2px
(p>0)
例 1
x2
(1)[2022·全国甲卷]已知椭圆C： 2
a
+
y2
1
＝1(a>b>0)的离心率为 ，
2
b
3
A1，A2 分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若1 · 2 ＝－1，
则C的方程为(
)
x2
y2
A． + ＝1
1 − 3 2 + 2 − 0 2 ＝2 2.故选B.
（3）
（多选）[2022·全国乙卷]双曲线 C 的两个焦点为 F1，F2，以 C 的实轴
3
为直径的圆记为 D，
过 F1 作 D 的切线与 C 交于 M，
N 两点，且 cos ∠F1NF2＝5 ，
则 C 的离心率为（
5
A． 2
答案：AC
3
B．2
）
a
a
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标：
x2
①双曲线 2
a
b
y2
± x
＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，点
a
b2
y2
②双曲线 2
a
a
x2
±
x
＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝________，焦点
b
b2
−
坐标F1(－c，0)，F2(c，0)；
−
坐标F1(0，－c)，F2(0，c)．