开远市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

开远市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
2． 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则，类比这个结论可
知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，
则r=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知C B A ,,三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C 社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 4． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，
.若
,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为
A[] B[]
C[]
D[
] 5． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜3
6． 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 如图是某几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．32
D
．33
8．
设a＞
0，b＞
，若是5a与
5b
的等比中项，则+的最小值为（）
A
．8 B．4 C．1 D．
9．已知点P是抛物线y2=2x
上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A．3 B．C．D．
10．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．或D．或
11．给出以下四个说法：
①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；
②线性回归直线一定经过样本中心点，；
③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=；
④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小．
其中正确的说法的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知圆C方程为222
x y
+=，过点(1,1)
P-与圆C相切的直线方程为（）
A．20
x y
-+=B．10
x y
+-=C．10
x y
-+=D．20
x y
++=二、填空题
13．设变量y
x,满足约束条件
220
220
10
x y
x y
x y
--≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+-≥
⎩
，则22
(1)3(1)
z a x a y
=+-+的最小值是20
-，则实数
a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
14．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
15．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．
16．某校开设9门课程供学生选修，其中A ，B ，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种．
17．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
18．如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3中的任何一个，允许重复．若填
A B 方格的数字，则不同的填法共有 种（用数字作答）． 三、解答题
19．（本小题满分12分）
某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生 数有21人.
（1）求总人数N 和分数在110-115分的人数； （2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占
1
3
）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率； （3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩 （满分150分），物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.
已知该生的物理成绩y 与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理 成绩大约是多少？
附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ……(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分 别为：^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑，^^
a v u β=-.
20．本小题满分12分已知椭圆C 2． Ⅰ求椭圆C 的长轴长；
Ⅱ过椭圆C 中心O 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点A 、B 不是椭圆C 的顶点，点M 在长轴所在直线上，且
2
2
OM
OA OM =⋅,直线BM 与椭圆交于点D ，求证：AD ⊥AB 。

21．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x （个）
2 3 4 5
加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
参考公式：回归直线=bx+a，其中b==，a=﹣b．
22．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；
（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．
23．过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，求抛物线的方程．
24．（本小题满分12分）已知1
()2ln ()f x x a x a R x
=--∈． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()()2ln g x f x x a x =-+，且()g x 有两个极值点，其中1[0,1]x ∈，求12()()g x g x -的最小值． 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．
开远市高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：抛物线y 2
=4x 的准线方程为：x=﹣1，
∵P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，
∴|PF|=2+1=3． 故选：B ．
【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．
2． 【答案】 C
【解析】解：设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R= 故选C ．
【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
3． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在C 社区抽取户数为249
2
108180270360180108=⨯=++⨯．
4． 【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。

5．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
6．【答案】A
【解析】解：因为四个面是全等的正三角形，
则．
故选A
7．【答案】D
【解析】
AD AB AG相互垂直，面AEFG 面试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图,,
,//,3,1ABCDE BC AE AB AD AG DE ====,根据几何体的性质得：2232,3(32)AC GC ==+
222733,345GE ===+=，32,4,10,10BG AD EF CE ====,所以最长为33GC =．
考点：几何体的三视图及几何体的结构特征． 8． 【答案】B 【解析】解：∵
是5a 与5b
的等比中项， ∴5a •5b
=（
）2
=5，
即5a+b =5， 则a+b=1，
则
+=（+）（a+b ）=1+1++≥2+2
=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即
+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．
9． 【答案】B 【解析】解：依题设P 在抛物线准线的投影为P ′，抛物线的焦点为F ，
则F （，0），
依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP ′|=|PF|， 则点P 到点M （0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PM|≥|MF|=
=
．
即有当M ，P ，F 三点共线时，取得最小值，为．
故选：B ． 【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思
想．
10．【答案】C
【解析】
解：双曲线的方程为
﹣
=1，
焦点坐标在x 轴时，a 2=m ，b 2=2m ，c 2
=3m ，
离心率
e=．
焦点坐标在y 轴时，a 2=﹣2m ，b 2=﹣m ，c 2
=﹣3m ，
离心率
e=
=．
故选：C ．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
11．【答案】B
【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错； ②
线性回归直线一定经过样本中心点（
，），故②正确； ③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）
=，正确；
④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：B ．
【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X ，Y 的关系，属于基础题．
12．【答案】A 【解析】
试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=
，由
,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.
考点：直线与圆的位置关系．
二、填空题
13．【答案】2± 【
解
析
】
14．【答案】．
【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．15．【答案】2016．
【解析】解：由a n+1=e+a n，得a n+1﹣a n=e，
∴数列{a n}是以e为公差的等差数列，
则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，
∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e．
故答案为：2016e ．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
16．【答案】 75
【解析】计数原理的应用． 【专题】应用题；排列组合． 【分析】由题意分两类，可以从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，
根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A 、B 、C 三门选一门，再从其它6门选3门，有C 31C 63
=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C 64
=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
17．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 18．【答案】 27
【解析】解：若A 方格填3，则排法有2×32
=18种，
若A 方格填2，则排法有1×32
=9种，
根据分类计数原理，所以不同的填法有18+9=27种． 故答案为：27．
【点评】本题考查了分类计数原理，如何分类是关键，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）60N =，6n =；（2）8
15
P =；（3）115. 【解析】
试
题解析：
（1）分数在100-110内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，所以该班总人数为21
600.35
N =
=， 分数在110-115内的学生的频率为21(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=，分数在110-115内的人数600.16n =⨯=.
（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为1234,,,A A A A ，女生为12,B B ，从6名学生中选出3人的基本事件为：12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A
A ，24(,)A A ，21(,)A
B ，22(,)A B ，34(,)A A ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，12(,)B B 共15个.
其中恰 好含有一名女生的基本事件为11(,)A B ，12(,)A B ，22(,)A B ，
21(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，共8个，所以所求的概率为8
15
P =
. （3）1217178812
1001007
x --+-++=+
=；
6984416
1001007
y --+-+++=+=；
由于与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
^497
0.5994
b ==，^1000.510050a =-⨯=，
∴线性回归方程为0.550y x =+，
∴当130x =时，115y =.1
考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.
【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,关键在于正确求出系数,a b ,一定要将题目中所给数据与公式中的,,a b c 相对应,再进一步求解.在求解过程中,由于,a b 的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数
为,b 常数项为这与一次函数的习惯表示不同. 20．【答案】 【解析】
Ⅰ由已知
224c a b a =+=，又222a b c =+，解得223,1a b ==， 所以椭圆C
的长轴长Ⅱ以O 为坐标原点长轴所在直线为x 轴建立如图平面直角坐标系xOy ，
不妨设椭圆C 的焦点在x 轴上，则由1可知椭圆C 的方程为2
213
x y +=；
设A 11(,)x y ，D 22(,)x y ,则A 11(,)x y -- ∵
2
2
OM
OA OM =⋅ ∴M 1(2,0)x 根据题意，BM 满足题意的直线斜率存在，设1:(2)l y k x x =-， 联立22
1
13(2)x y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得2222211(13)121230k x k x x k x +-+-=，
22222222111(12)4(13)(123)12(413)0k x k k x k x k ∆=--+-=-++>，
22211121222
12123,,1313k x k x x x x x k k
--+=-⋅=++ 212111************
(2)(2)(5)4112313AD y y k x x k x x k x x kx k k k x x x x x x x k k --+---====-=----+
11111
(2)3AB y k x x k k x x ---===
1AD AB k k ∴⋅=- ∴AD ⊥AB
21．【答案】
【解析】解：（1）作出散点图如下：
…（3分）
（2）=（2+3+4+5）=3.5，=（2.5+3+4+4.5）=3.5，…（5分）
=54，x i y i=52.5
∴b==0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，
∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05…（10分）
（3）当x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．
∴加工10个零件大约需要8.05个小时…（12分）
【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），
则即=，
∴M=．
又det（M）=﹣3，
∴M﹣1=；
（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），
则=M﹣1=，
即，
∴代入4x+y﹣1=0，得，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．
【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．23．【答案】
【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x
﹣
，联立，
得
，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 根据抛物线的定义，得|AB|=x 1+x 2+p=4p=8，
解得p=2．
∴抛物线的方程为y 2
=4x ．
【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p 的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域),0(+∞，
当3a =时，1()23ln f x x x x =--，2'
22
13231()2x x f x x x x
-+=+-= 令'()0f x >得，102
x <<或1x >；令'
()0f x <得，112x <<，
故()f x 的递增区间是1
(0,)2和(1,)+∞；
()f x 的递减区间是1
(,1)2
．
（Ⅱ）由已知得x a x
x x g ln 1
)(+-=，定义域为),0(+∞，
2
22111)(x
ax x x a x x g ++=++='，令0)(='x g 得012
=++ax x ，其两根为21,x x ， 且21212
40010a x x a x x ⎧->⎪
+=->⎨⎪⋅=>⎩，。