老边区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

老边区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）
A ．（﹣∞，]
B ．（﹣∞，）
C ．（﹣∞，0]
D ．（﹣∞，0）
2． 已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆
被双曲线C 截得劣弧长为23
a π
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．65
B
C ．5
D 3． 阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ）
A ．28
B ．36
C ．45
D ．120
4． 已知α，[,]βππ∈-，则“||||βα>”是“βαβαcos cos ||||->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 5． 某校在高三第一次模拟考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即
()2~100,X N a （0a >），试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格（低于90分）的人数占总
人数的
1
10
，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为（ ） （A ） 400 （ B ） 500 （C ） 600 （D ） 800
6． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x ，y ）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）
A ．y=x+2
B ．
y= C ．y=3x D ．y=3x 3
7． 已知f （x ）=2sin （ωx+φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的表达式为（ ）
A
． B
． C
．
D
．
8． 如图所示，函数y=|2x ﹣2|的图象是（ ）
A
． B
． C
． D
．
9． 已知直线l ：2y kx =+过椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆
224x y +=截得的弦长为L
，若L ≥e 的取值范围是（ ）
（A ） ⎥⎦⎤
⎝⎛550， （ B ）
0⎛ ⎝⎦
（C ） ⎥⎦⎤ ⎝⎛5530， （D ） ⎥⎦⎤
⎝
⎛5540，
10．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2 B ．x 3﹣2x 2 C ．﹣x 3+2x 2 D ．﹣x 3﹣2x 2
11．设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
12．已知命题p 和命题，若p q ∧为真命题，则下面结论正确的是（ ）
A ．p ⌝是真命题
B ．q ⌝是真命题
C ．p q ∨是真命题
D ．()()p q ⌝∨⌝是真命题
二、填空题
13．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．
14．已知抛物线1C ：x y 42
=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：122
22=-b
y a x
（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .
【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等. 15．给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数
表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③函数y=3x 2+1的图象可由y=3x 2的图象向上平移1个单位得到； ④若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ）的定义域为[0，4]；
⑤设函数f （x ）是在区间[a ，b]上图象连续的函数，且f （a ）•f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间[a ，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）
16．函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣2，则f （1）+f ′（1）= ．
17．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
18．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 .
【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.
三、解答题
19．解不等式|3x﹣1|＜x+2．
20．已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．求函数f（x）的解析式．
21．已知双曲线过点P （﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x ．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1||PF 2|=41，求∠F 1PF 2的余弦值．
22．我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100：500元，600：1000元，以及年龄在20：39岁，4059
（2）在缴费100：500元之间抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40：59岁之间的概率．
23．（本小题满分10分） 已知圆P 过点)0,1(A ，)0,4(B .
（1）若圆P 还过点)2,6( C ，求圆P 的方程； （2）若圆心P 的纵坐标为，求圆P 的方程.
24．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，点12,F F
为其左、右焦点，直线的参数方程为
222
x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；
（2）求点12,F F 到直线的距离之和.
老边区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】 B
【解析】解：由题意，不等式f （x ）＜g （x ）在[1，e]上有解，
∴mx ＜2lnx ，即＜在[1，e]上有解，
令h （x ）=
，则h ′（x ）=
，
∵1≤x ≤e ，∴h ′（x ）≥0，
∴h （x ）max =h （e ）=，
∴＜h （e ）=，
∴m ＜．
∴m 的取值范围是（﹣∞，）． 故选：B ．
【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
2． 【答案】B
考点：双曲线的性质． 3． 【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．
4． 【答案】A.
【解析】||||cos cos ||cos ||cos αβαβααββ->-⇔->-，设()||cos f x x x =-，[,]x ππ∈-， 显然()f x 是偶函数，且在[0,]π上单调递增，故()f x 在[,0]π-上单调递减，∴()()||||f f αβαβ>⇔>，故是充分必要条件，故选A. 5． 【答案】A 【解析】
P （X ≤90）＝P （X ≥110）＝110，P （90≤X ≤110）＝1－15＝45，P （100≤X ≤110）＝25，1000×2
5
＝400. 故选A.
6． 【答案】 C
【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序运行后输出的是实数对
（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；
这组数对对应的点在函数y=3x
的图象上．
故选：C ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
7． 【答案】 B
【解析】解：∵函数的周期为T==
，
∴ω=
又∵函数的最大值是2，相应的x 值为
∴
=
，其中k ∈Z
取k=1，得φ=
因此，f （x ）的表达式为，
故选B
【点评】本题以一个特殊函数求解析式为例，考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式、三角函数的图象与性质，周期与相位等概念，属于基础题．
8． 【答案】B
【解析】解：∵y=|2x
﹣2|=
，
∴x=1时，y=0， x ≠1时，y ＞0． 故选B ．
【点评】本题考查指数函数的图象和性质，解题时要结合图象进行求解．
9． 【答案】 B
【解析】依题意，2, 2.b kc ==
设圆心到直线l 的距离为d ，则L =≥
解得216
5
d ≤。

又因为
d =2
116,15k ≤+解得21
4k ≥。

于是222
222211c c e a b c k
===++，所以2
40,5e <≤解得0e <≤故选B ． 10．【答案】A
【解析】解：设x ＜0时，则﹣x ＞0，
因为当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2所以f （﹣x ）=（﹣x ）3﹣2（﹣x ）2=﹣x 3﹣2x 2
，
又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），
所以当x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=x 3+2x 2
，故选A ．
11．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20
=1，0＜＜0.90
=1．
∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．
12．【答案】C 【解析】]
试题分析：由p q ∧为真命题得,p q 都是真命题．所以p ⌝是假命题；q ⌝是假命题；p q ∨是真命题；
()()p q ⌝∨⌝是假命题．故选C.
考点：命题真假判断．
二、填空题
13．【答案】 3 ．
【解析】解：直线l 的方程为ρcos θ=5，化为x=5．
点（4，
）化为
．
∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．
14．【答案】3
15．【答案】 ③⑤
【解析】解：①函数y=|x|，（x ∈R ）与函数，（x ≥0）的定义域不同，它们不表示同一个函数；
错；
②奇函数y=，它的图象不通过直角坐标系的原点；故②错；
③函数y=3（x ﹣1）2的图象可由y=3x 2的图象向右平移1个单位得到；正确； ④若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x ）的定义域由0≤2x ≤2，⇒0≤x ≤1， 它的定义域为：[0，1]；故错；
⑤设函数f （x ）是在区间[a ．b]上图象连续的函数，且f （a ）f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间[a ，b]上至少有一实根．故正确； 故答案为：③⑤
16．【答案】 4 ．
【解析】解：由题意得f ′（1）=3，且f （1）=3×1﹣2=1
所以f （1）+f ′（1）=3+1=4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f （a ）与f ′（a ）．
17．【答案】 [，3] ．
【解析】解：直线AP 的斜率K==3，
直线BP 的斜率K ′=
=
由图象可知，则直线l 的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P 的直线l 与线段AB 有公共点，求l 的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
18．【答案】54
【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和54171311751=+++++.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：∵|3x ﹣1|＜x+2，
∴，
解得﹣
．
∴原不等式的解集为{x|﹣＜x ＜}．
20．【答案】
【解析】解：（1）f'（x ）=3ax 2
+2bx ﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f （x ）=x 3
﹣3x ．
【点评】本题考查了导数和函数极值的问题，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y 2﹣
x 2=λ（λ≠0），
代入点P （﹣3，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF 1|=d 1，|PF 2|=d 2，则d 1d 2=41， 又由双曲线的几何性质知|d 1﹣d 2|=2a=6， ∴d 12+d 22﹣2d 1d 2=36即有d 12+d 22
=36+2d 1d 2=118，
又|F 1F 2|=2c=10，
∴|F 1F 2|2=100=d 12+d 22
﹣2d 1d 2cos ∠F 1PF 2
∴cos ∠F 1PF 2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P 的情况下求它的标准方程，并依此求∠F 1PF 2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设抽取x 人，则，解得x=2，
即年龄在20：39岁之间应抽取2人．
（2）设在缴费100：500元之间抽取的5人中，年龄在20：39岁年龄的两人为A ，B ，在40：59岁之间为a ，b ，c ，
随机选取2人的情况有（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ）， （a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共10种，
年龄都在40：59岁之间的有（a ，b ），（a ，c ），（b ，c ），共3种， 则对应的概率
P=
．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，以及古典概型的计算，利用列举法是解决本题的关键．
23．【答案】（1）047522=++-+y x y x ；（2）4
25)2()2
5(2
2=-+-y x . 【解析】
试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，将三点代入，求解圆的方程；（2）AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为2
5
，圆心与圆上任一点连线段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.
试题解析：（1）设圆P 的方程是022=++++F Ey Dx y x ，则由已知得
⎪⎩
⎪⎨
⎧=+-+-+=++++=++++0
26)2(6004040001222
222F E D F D F D ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=475F E D ． 故圆P 的方程为047522=++-+y x y x .
（2）由圆的对称性可知，圆心P 的横坐标为25
241=+，故圆心)2,2
5(P ， 故圆P 的半径25)20()251(||2
2=-+-==AP r ，
故圆P 的标准方程为4
25)2()25(2
2=-+-y x .
考点：圆的方程
24．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22
143
x y +=；（2
）． 【解析】
试题分析：（1）由公式cos sin x
y
ρθρθ=⎧⎨
=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．。