【名师推荐资料】2020高中数学 第1章 立体几何初步 第二节 点、直线、面的位置关系3 直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定
二、重难点提示
重点：直线与平面平行的判定定理及应用。

难点：直线与平面平行的判定定理的归纳与灵活运用。

考点一：直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式
【随堂练习】下列命题中正确的个数是（）
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A. 0
B. 1个
C. 2个
D. 3个
答案：如图，
我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；
A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；
A1B1∥AB，A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB⊂平面ABCD，所以命题③不正确；
l与平面α平行，则l与α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题④正确。

故选B。

思路分析：借助长方体模型判断。

技巧点拨：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），结合图形来考虑，注意考虑问题要全面。

例题1 （直线与平面的位置关系）
下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；
④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线。

其中正确的个数为（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
思路分析：结合直线与平面的位置关系的定义求解。

答案：对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l 不一定平行于α。

故①是错误的。

对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行。

故②是错误的。

对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α。

故③是错误的。

对于④，∵a∥b，b⊄α，那么a⊄α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行。

故④是正确的。

综上所述，正确的个数为1个。

故选A。

技巧点拨：1. 本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行。

2. 判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型（如长方体）和举反例两种行之有效的方法。

例题2（直线与平面平行的判定）
如图，在底面为平行四边形的四棱锥P­ABCD中，E是PC的中点。

求证：PA∥平面BDE。

思路分析：在平面BDE内找一条直线与PA平行，注意中点的运用。

答案：证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE。

在平行四边形ABCD中，O是AC的中点，
又E是PC的中点，
∴OE是△PAC的中位线。

∴OE∥PA。

∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴PA∥平面BDE。

技巧点拨：利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形的性质，三角形、梯形中位线性质，平行线线段成比例定理、平行公理等。

因忽略线面平行判定定理的前提条件致误
【例析1】如果两条平行直线a，b中的a∥α，那么b∥α。

这个命题正确吗？为什么？【错解】这个命题正确。

理由如下：
∵a∥α，
∴在平面α内一定存在一条直线c，使a∥c。

又∵a∥b，∴b∥c，
∴b∥α。

【错因分析】错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件。

【防范措施】线面平行的判定定理使用的前提是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。

准确把握线面平行的判定定理的使用前提条件是解答此类问题的关键。

【正解】这个命题不正确。

理由如下：
若b⊄α，∵a∥α，
∴在平面α内必存在一条直线c，使a∥c。

又∵a∥b，∴b∥c，
∴b∥α；
若b⊂α，则不满足题意。

综上所述，b与α的位置关系是b∥α或b⊂α。