云南省昭通市昭阳区北闸中学高一数学上学期12月月考试题(含解析)

2015-2016学年云南省昭通市昭阳区北闸中学高一（上）12月月考数
学试卷
一、单项选择
1．sin300°等于（）
A．﹣B．C．﹣D．
2．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）
A．B．C．D．
3．已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于（）
A．﹣3 B．3 C．D．±3
4．点A（sin2015°，cos2015°）位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若cos（π﹣α）=，且α是第二象限角，则sinα的值为（）
A．﹣B．C．D．﹣
6．已知α是第三象限的角，则是（）
A．第一或二象限的角 B．第二或三象限的角
C．第一或三象限的角 D．第二或四象限的角
7．要得到函数y=﹣cos2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C ．向左平移个单位
D ．向右平移个单位
8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=对称的是（ ）
A ．y=sin （2x ﹣）
B ．y=sin （2x ﹣
） C ．y=sin （2x+
） D ．y=sin （+
）
9．函数y=sin2x+cos2x （x ∈R ）的最小正周期是（ ）
A ．
B ．π
C ．2π
D ．4π
10．函数
在区间
的简图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数f （x ）=sin （x ﹣）的图象的一条对称轴是（ ）
A ．x=
B ．x=
C ．x=﹣
D ．x=﹣
12．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣）（x ∈R ）下列结论错误的是（ ）
A ．函数f （x ）的最小正周期为π
B ．函数f （x ）是偶函数
C ．函数f （x ）的图象关于直线x=对称
D ．函数f （x ）在区间
上是增函数
二、填空题
13．已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为．
14．函数f（x）=1﹣cosx，x∈R取最大值时x的值是．
15．函数的最小正周期是．
16．函数y=cos（2x﹣）的单调递减区间为．
17．f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），若f（）=1，则函数f（x）的最小正周期为．
18．已知角α的终边经过点P（3，），则与α终边相同的角的集合是．
三、解答题
19．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
20．角α的终边上一点P的坐标为（4a，﹣3a）（a≠0），求2sinα+cosα的值．21．如图，已知扇形的周长为6cm，圆心角为1弧度，求扇形的面积．
22．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（0）=1．
（1）求A的值；
（2）若f（α）=﹣，α是第二象限角，求cosα．
23．已知：f（x）=2sin（2x+）+a+1（a∈R，a为常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在[﹣，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．（3）求在（2）条件下，f（x）的单调减区间．
2015-2016学年云南省昭通市昭阳区北闸中学高一（上）12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择
1．sin300°等于（）
A．﹣B．C．﹣D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题．
【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．
【解答】解：sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣．
故选A
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）
A．B．C．D．
【考点】弧长公式．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】设圆内接正方形的边长为a，求出圆的半径r，再计算圆弧所对的圆心角．
【解答】解：设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为a，
∴弧长等于a的圆弧所对的圆心角为
α===．
故选：D．
【点评】本题考查了圆弧所对的圆心角的计算问题，是基础题目．
3．已知角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，则m等于（）
A．﹣3 B．3 C．D．±3
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用任意角的三角函数的定义，求解即可．
【解答】解：角θ的终边经过点P（4，m），且sinθ=，
可得，（m＞0）
解得m=3．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．
4．点A（sin2015°，cos2015°）位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】三角函数线；运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的图像与性质．
【分析】利用判断终边所在象限，三角函数在的符号，判断所在象限即可．【解答】解：2015°=1800°+215°，
点A（sin2015°，cos2015°）即A（sin215°，cos215°），
sin215°＜0，
cos215°＜0．
A是第三象限的坐标．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的在的符号，点所在象限的求法，是基础题．5．若cos（π﹣α）=，且α是第二象限角，则sinα的值为（）
A．﹣B．C．D．﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式及已知可求cosα=﹣，结合角的范围，利用同角的三角函数基本关系式的应用即可得解．
【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=，且α是第二象限角，
∴sinα===．
故选：B．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角的三角函数基本关系式的应用，属于基础题．
6．已知α是第三象限的角，则是（）
A．第一或二象限的角 B．第二或三象限的角
C．第一或三象限的角 D．第二或四象限的角
【考点】角的变换、收缩变换．
【分析】将平面直角坐标系四个象限均平分再标上1234，根据α是第三象限的角在坐标系中找含有3的象限即可得到答案．
【解答】解：将平面直角坐标系四个象限均平分如图：
∵α是第三象限的角根据图中只有在图中的第二和第四象限标有3
故可知位于第二、四象限，
故选D．
【点评】本题主要考查已知α的所在象限求的所在象限的问题．属基础题．
7．要得到函数y=﹣cos2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象（）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用诱导公式，以及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos（﹣2x+）=cos2（x﹣），
y=﹣cos2x=cos（π﹣2x）=cos2（x﹣）=cos2（x﹣﹣），
∴要得到函数y=﹣cos2x的图象，只需将函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位．故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
8．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=对称的是（）
A．y=sin（2x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（+）【考点】正弦函数的对称性．
【专题】计算题．
【分析】将x=代入各个关系式，看看能否取到最值即可．
【解答】解：∵y=f（x）的最小正周期为π，可排除D；
其图象关于直线x=对称，
∴A中，f（）=sin=≠±1，故A不满足；
对于B，f（）=sin（﹣）=sin=1，满足题意；
对于C，f（）=sin（+）=sin=≠±1，故C不满足；
故选B．
【点评】本题考查正弦函数的对称性，代入验证是解决的捷径，属于中档题．
9．函数y=sin2x+cos2x（x∈R）的最小正周期是（）
A．B．πC．2πD．4π
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】函数y解析式提取变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．
【解答】解：函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），
∵ω=2，∴T=π．
故选B
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．
10．函数在区间的简图是（）
A．B．
C． D．
【考点】余弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由x∈[﹣，π]，可得2x﹣∈[﹣，]，结合所给的选项以及余弦函数的图象特征，可得结论．
【解答】解：由x∈[﹣，π]，可得2x﹣∈[﹣，]，
结合所给的选项可得函数在区间的简图是D，
故选：D．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象的特征，属于基础题．
11．函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）
A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣
【考点】正弦函数的对称性．
【专题】计算题．
【分析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果
【解答】解：由题意，令x﹣=kπ+，k∈z
得x=kπ+，k∈z是函数f（x）=sin（x﹣）的图象对称轴方程
令k=﹣1，得x=﹣
故选 C
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角复合函数对称轴的求法，整体代入的思想方法，属基础题
12．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于直线x=对称
D．函数f（x）在区间上是增函数
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故它的最小正周期为π，故A满足条件；
显然，它是偶函数，故B正确；
当x=时，求得函数值y=0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=对称，故C错误；
在区间上，f（x）=﹣cos2x是增函数，故D正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．
二、填空题
13．已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】依题意，可求得故其弧长l=θr=π，利用扇形的面积公式S扇=lr即可求得答案．
【解答】解：依题意知，扇形的圆心角为θ=，又半径为2，
故其弧长l=θr=，
所以S扇=lr=××2=，
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积公式S扇=lr的应用，属于中档题．
14．函数f（x）=1﹣cosx，x∈R取最大值时x的值是π+2kπ（k∈Z）．
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】根据余弦函数的图象，可得当且仅当x=π+2kπ（k∈Z）时cosx达到最小值﹣1，由此可得函数f（x）=1﹣cosx取最大值时x的值．
【解答】解：∵当且仅当x=π+2kπ（k∈Z）时，cosx=﹣1达到最小值
∴当x=π+2kπ（k∈Z）时，函数f（x）=1﹣cosx取最大值2
故答案为：π+2kπ（k∈Z）
【点评】本题给出三角函数式，求它取最大值时相应的x值．着重考查了三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
15．函数的最小正周期是 2 ．
【考点】正切函数的周期性．
【专题】计算题．
【分析】由已知中函数的解析为，我们可以求出对应ω值，代入T=，
即可得到函数的最小正周期．
【解答】解：∵函数
∴ω=
∴T==2
故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是正切函数的周期性，其中根据函数的解析式求出ω值，是解
答本题的关键，在解答过程中易将正切型函数的周期误认为而产生错解．
16．函数y=cos（2x﹣）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z ．
【考点】余弦函数的单调性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用余弦函数的单调性求得函数y=cos（2x﹣）的单调递减区间．
【解答】解：对于函数y=cos（2x﹣），令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+
≤x≤kπ+，
故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，
故答案为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．
17．f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），若f（）=1，则函数f（x）的最小正周期为4π．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由条件求得ω=，f（x）=sin（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期
为，得出结论．
【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），f（）=sin（+）=1，
∴+=2kπ+ k∈z，即ω=3k+，∴ω=，f（x）=sin（x+），
故函数f（x）的最小正周期为=4π，
故答案为：4π．
【点评】本题主要考查根据三角函数的值求角，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
18．已知角α的终边经过点P（3，），则与α终边相同的角的集合是{x|x=2kπ+，k∈Z} ．
【考点】终边相同的角；任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据角的终边经过的一个点的坐标，求出此角的正切值，在[0，2π）内求得一个角α为，由终边相同的角的性质，分析可得答案．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（3，），则角α的终边在第一象限，且此角的正
切值等于，
故满足条件的锐角是，
则与α终边相同的角的集合是 {x|x=2kπ+，k∈Z}，
故答案为{x|x=2kπ+，k∈Z}．
【点评】本题考查任意角得三角函数的定义，终边相同的角的表示方法．
三、解答题
19．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
【考点】象限角、轴线角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】先由图象写出角在0°～360°间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．
【解答】解：如图，终边落在阴影部分的角为：30°≤α＜105°或210°≤α＜285°，∴终边落在阴影部分的角的集合为：
{α|30°+k•360°≤α＜105°+k•360°或210°+k•360°≤α＜285°+k•360°，k∈Z} ={α|30°+k•180°，105°+k•180°，k∈Z}．
【点评】本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用．
20．角α的终边上一点P的坐标为（4a，﹣3a）（a≠0），求2sinα+cosα的值．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；三角函数的求值．
【分析】由角α终边上一点P的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα，cosα即可求解结果
【解答】解：∵角α终边上一点P（4a，﹣3a），
∴r=|5a|．
当a＜0时，sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα=，cosα=﹣，
∴2sinα+cosα=；
当a＞0时，sinα＜0，cosα＞0，
sinα=﹣，cosα=，
∴2sinα+cosα=﹣．
综上：2sinα+cosα=±．
【点评】此题考查三角函数的定义，基本知识的考查，注意分类讨论思想的应用．
21．如图，已知扇形的周长为6cm，圆心角为1弧度，求扇形的面积．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．
【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为：R，所以，2R+R=6，所以R=2，
扇形的弧长为：2，半径为2，
可得扇形的面积为：S=×2×2=2．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
22．已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（0）=1．
（1）求A的值；
（2）若f（α）=﹣，α是第二象限角，求cosα．
【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；同角三角函数间的基本关系．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（1）由函数f（x）的解析式以及f（0）=1，求得A的值．
（2）由（1）得，求出，将α用
表示，利用两角差的余弦展开求出值；
【解答】解：（1）依题意，…，
…，…
（2）由（1）得，…
由得，…
∵α是第二象限角，
∴，
∴…，
∴是第二或第三象限角
∵由，
∴是第三象限角，
∴…
∴
=…
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的关系式，两角差的余弦公式，属于中档题．
23．已知：f（x）=2sin（2x+）+a+1（a∈R，a为常数）．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在[﹣，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．
（3）求在（2）条件下，f（x）的单调减区间．
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；三角函数的最值．
【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．
【分析】（1）由已知可得ω=2，利用周期公式即可得解最小正周期．
（2）由x∈[﹣，]，可得2sin（2x+）∈[﹣1，2]，从而可得，由a+3+a=3，即可解得a的值．
（3）可求函数解析式为f（x）=2sin（2x+）+1，由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可解得单调递减区间．
【解答】解：（1）∵ω=2，∴最小正周期T==π；…
（2）∵x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，
∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，
∴，
∴a+3+a=3，解得：a=0．
（3）∵a=0，
∴f（x）=2sin（2x+）+1，
∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可解得单调递减区间为：[k，kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．。