齐齐哈尔2019年高三第二次重点-数学(理)

齐齐哈尔2019年高三第二次重点-数学（理）
黑龙江省齐齐哈尔市 2018届高三第二次高考模拟考试
数学〔理〕试题
本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分.其中第II 卷第〔22〕-〔24〕题为选考题，其它题为必考题.全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 本卷须知
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清晰，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4. 作图可先使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 参考公式：
锥体体积公式:1
3
V Sh =
〔其中S 为底面面积，h 为高〕 第I 卷〔选择题，共60分〕
【一】 选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分、在每题给出的四个选项中，只
有一项为哪一项符合题目要求的、 1.集合
{}
Z
x x x A ∈≤+=,21,
{}
1
1,3≤≤-==x x y y B ，那么=B A
〔 〕 A 、(]1,∞-
B 、[]1,1-
C 、φ
D 、{}1,0,1-
2.假设复数
i
b i
a 3-+〔R
b a ∈,〕对应的点在虚轴上，那么ab 的
值是〔 〕
A 、15-
B 、3
C 、3-
D 、15 3.废品率%x 和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为
ˆ2256y
x =+，这说明 〔 〕 A 、y 与x 的相关系数为2
B 、y 与x 的关系是函数关系的充要条件是相关系数为1
C 、废品率每增加1%，生铁成本增加258元
D 、废品率每增加1%，生铁成本平均每吨增加2元
4.等差数列{}n a 中4274=+a a ,那么前10项和=10S 〔 〕 A 、420 B 、380 C 、210 D 、140
5.某程序框图如下图，该程序运行后输出的k 的值是 〔 〕 A 、4 B 、5 C 、6 D 、7
6.设(sin15,cos15)a =-，那么a 与x 轴正方向的夹角为
〔 〕
A 、15-
B 、15
C 、75
D 、105
7.袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，那么恰有两个球同色的概率为 〔 〕
A 、
15 B 、310 C 、35 D 、4
5 8.设()x f 是定义在正整数集上的函数,且()x f 满足：“当()1+≥k k f 成立时，总可推出 A 、假设()21<f 成立，那么()1110<f 成立
B 、假设()43≥f 成立，那么当1≥k 时，均有()1+≥k k f 成立
C 、假设()32<f 成立，那么()21≥f 成立
D 、假设()54≥f 成立，那么当4≥k 时，均有()1+≥k k f 成立
9.在38(1)(1)x x -+的展开式中，含2x 项的系数是n ，假设2
012(8)n nx a a x a x -=++
+
n n a x +，那么012n a a a a +++
+=〔〕
A 、1
B 、0
C 、1-
D 、7
15
10.定义在R 上的函数()()()()⎩⎨
⎧
>-++≤-=0,110
,8log 2x x f x f x x x f ，那么()2013f =〔〕
A 、1
B 、2
C 、2-
D 、3-
11.12,F F 分别为双曲线22
221x y a b
-=〔a ＞0,b ＞0〕的左、右焦点，O 为原点，A 为右顶点，
P 为双曲线左支上的任意一点，假设
OA
PF PF -12
2
存在最小值为12a ，那么双曲线离心率e 的取值范围是〔〕
A 、[)∞+5
B 、(]5,2
C 、(]5,1
D 、()2,1
12.函数()||()x x a
f x e a R e
=+∈在区间[]1,0上单调递增，那么a 的取值范围是〔〕
A 、[]1,1-∈a
B 、]0,1[-∈a
C 、[0,1]a ∈
D 、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈e e a ,1
第二卷〔非选择题，共90分〕
本卷包括必考题和选考题两部分.第〔13〕题～第〔21〕题为必考题，每个试题考生都必须做答.第〔22〕题～〔24〕题为选考题，考生依照要求做答. 二.填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13、某几何体的三视图如下图，俯视图是边长为4的
正三角形，那么此几何体的表面积为、 14.在四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB=3, AD=2,AC=5，那么该四面体外接球的表面积为、 15、曲线2
4y x =与直线所围成的封闭图形的面积为、
16、实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-+≤-70803y y x y x 错误！未找到引用源。

且不等式axy 错误！未找到引用
源。

恒成立，那么实数a 的最小值是、
【三】解答题：解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤。

正视图
侧视图
俯视图
2
向量()
sin m x x =，()sin ,cos n x x =，设函数()x f ⋅=.
〔Ⅰ〕求函数()f x 的解析式，并求()f x 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
6,4ππ上的最小值； 〔Ⅱ〕在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角，假设
()()3
2
f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为32，求a .
18.〔本小题总分值12分〕
一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2，3，4，x ，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中
〔参考数据：0.333
≈
〕 〔Ⅰ〕假如试验接着下去，依照上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的
概率附近。

试可能“出现数字之和为7”的概率，并求x 的值；
〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设定一种游戏规那么：每次摸2球，假设数字和为7，那么
可获得奖金7元，否那么需交5元。

某人摸球3次，设其获利金额为随机变量η元，求η的数学期望和方差。

19.〔本小题总分值12分〕
四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥面ABCD ，
3,22,2,45=====∠SC SB BC AB ABC ο 〔Ⅰ〕求证：SA BC ⊥；
〔Ⅱ〕在SB 上选取点P ，使SD//平面PAC ，并证明； 〔Ⅲ〕求直线SD 与面SAB 所成角的正弦值。

A
B
C
D
S
如图,焦点在x 轴的椭圆C ，离心率2
2
=e ，且过点A 〔-2，1〕，由椭圆上异于A 的P 点发出的光线射到A 点处被直线1y =反射后交椭圆于Q 点(Q 与P 不重合).
〔Ⅰ〕求椭圆标准方程;
〔Ⅱ〕求证：直线PQ 的斜率为定值； 〔Ⅲ〕求OPQ ∆的面积的最大值、
21.〔本小题总分值12分〕
()f x 的导函数()1ln f x x '=+，且(1)0f =，设2
(1)()1()2
a f x g x x ax x -=
+-， 且2a >、
〔Ⅰ〕讨论()g x 在区间(0,2)上的单调性； 〔Ⅱ〕求证：()2x
f x xe x ≤-；
〔Ⅲ〕求证：2
(1)2ln(!)n n n
-≥、
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑. 22.〔本小题总分值10分〕选修4－1：几何证明选讲
如图，,,,,A B C D E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径。

〔Ⅰ〕求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的值；
〔Ⅱ〕假设⊙O
的半径为2，AD 与EC 交于点M ，且E 、
D 为弧AC 的三等分点，求MD 的长、
23、〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xoy 的原点，极轴为x
单位相同，曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+、 〔Ⅰ〕求C 的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕直线12:12x t l y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，
求11||||
EA EB +的值、 24、〔本小题总分值10分〕选修4－5：不等式选讲
设()|3||4|f x x x =-+-、 〔Ⅰ〕解不等式()2f x ≤；
〔Ⅱ〕假设对任意实数[5,9]x ∈，()1f x ax ≤-恒成立，求实数a 的取值范围、
C
参考答案
一、
选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕
【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕
13.24+π1215.916.
7
50
【三】解答题〔本大题共6小题，共70分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 17、解：
〔Ⅰ〕(
)21cos 21sin cos sin 2sin 22226x f x x x x x x π-⎛
⎫=+=
+=+- ⎪⎝
⎭…3分 因为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，因此⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
∈-6,3262πππx . 因此当262ππ-=-x 时，函数()x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为12-.……6分
〔Ⅱ〕由()()32f A f A +-=得：2362sin 62sin 1=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππA A .
化简得：212cos -=A ，又因为20π<<A ，解得：3π
=A .……9分
由题意知：32sin 2
1
==∆A bc S ABC ，解得8=bc ，又7=+c b ，
()()2
2222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A ∴=+-=+-+=，5a ∴=.……12分
18.解：〔1〕由数据表可知，当试验次数增加时，频率稳定在0.33附近，因此能够可能“出
现数字之和为7”的概率为
3
1
………………………2分 ()24
2
31C A P ==
，∴A 事件包含两种结果，那么有7243=+=+x ，5=x …………5分
〔2〕设ξ表示3次摸球中A 事件发生的次数，那么⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,3~B ξ,13
1
3=⨯
=ξE 3
2
32313=⨯⨯=ξD ………………………8分
那么()1512357-=--=ξξξη
()315121512-=-=-=ξξηE E E ………………………10分 ()961441512==-=ξξξD D D ………………………12分
〔3〕如图，以射线OA 为X 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -,那么(
)00,2A
()
020B ,,、
()100S ,,()
0222D ,-)1,22,2()1,0,0()0,22,2(--=--=SD
)1,0,2()1,0,0()0,0,2(-=-=SA ，)0,2,2()0,2,0()0,0,2(-=-=BA (9)
分
设平面SAB 法向量为()z y x ,,= 有⎪⎩⎪⎨
⎧=-=⋅=-=0
2220
2y x z x n 令1=x ，那么2,21==z y ，()
2,1,1=
11
22
1122222-
=⋅
⋅--=
=
因此直线SD 与面SAB 所成角的正弦值为11
22
(12x)
〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕，设PQ 的方程为y x m =-+.
由2216
3y x m
x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：2234260x mx m -+-=
令0∆>，得33m -<<，设1122(,),(,)P x y Q x y ，那么
21212426
,33m m x x x x -+==………………8分
22
16(9)||9
m PQ -∴=………………9分
设原点O 到直线PQ 的距离为d ，那么22
2
m d =……………10分
22222
12(9)9||492OPQ m m S PQ d ∆-∴==≤，
即当2m =±时，OPQ ∆面积的最大值为9
2
.………………12分
〔Ⅲ〕由〔2〕知，*
2211ln
1()n N n n
≤-∈ 222222111111
ln ln ln 1212n n n ∴+++≤+++-
又21111
(2)(1)1n n n n n n <
=-≥-- 222111111112121223(1)n n n n
∴+++<+++=-⨯⨯- 即2
1(1)2ln !2,2ln !,n n n n n n
--≤--∴≥
当1n =时取等号。

……………………/12 22、〔本小题总分值10分〕【选修4—1：几何证明选讲】
解：〔Ⅰ〕连接,,,,OA OB OC OD OE ，那么
A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠
1
()2COD DOE EOA AOB BOC =∠+∠+∠+∠+∠ 1
3601802
=⨯︒=︒.………………5分 〔Ⅱ〕连接OM CD 和，因为AC 为⊙O 的直径，
因此90ADC ∠=︒，又E 、D 为AC 的三等分点，因此
111
18030223
A C EOA ∠
=∠=∠=⨯⨯︒=︒
.………7分
因此O M A C ⊥.因为⊙O 的半径为
2，即2
OA =
，因此
1c o s c o s 30
O A O A
AM A ===︒.
在Rt ADC ∆
中，3cos 22
AD AC A ===.
那么1
2
MD AD AM =-=
.………………10分 分
24.〔本小题总分值10分〕【选修4-5:不等式选讲】
解：72,3
()|3||4|1
,3427,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪
=-+-=<<⎨⎪-≥⎩
，…………2分 〔Ⅰ〕画出函数()f x 的图像如图，()2f x =的解
为52x =或92
x =。

………………4分 ()2f x ∴≤的解集为5{|2x x ≤或9
}2
x ≥……………5分
〔Ⅱ〕[5,9]x ∈，()1f x ax ∴≤-即271x ax -≤-，………………7分
664
2,2.93
a a x ∴≥-∴≥-=………………10分。