高二人教B数学选修同步练习导数的实际应用

选修1-1 3.3.3导数的实际应用
一、选择题
1．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A ．(l
6)3π
B ．(l 3)3π
C ．(l
4)3π
D.14(l 4
)3π [答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，
∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3(0<r <l 4
)．
则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l
6，而r >0，
∴r ＝l
6
是其唯一的极值点．
当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为(l 6
)3π.
2．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr
D.12
πr 2 [答案] A
[解析] 设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ，则由组合体的知识得h 2＋(2x )2＝(2r )2，又圆柱的侧面积S ＝2πx ·h ，
∴S 2＝16π2(r 2x 2－x 4)，(S 2)′＝16π2(2r 2x －4x 3)，由(S 2)′＝0，得x ＝2
2
r (x ＝0舍去)，∴S max ＝2πr 2，故选A.
3．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3
V B.32V C.3
4V
D ．23V
[答案] C
[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则
V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V 3x 2，
∴S 表＝2S 底＋3S 侧 ＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝
32x 2＋43V x
， S ′表＝3－
43V
x 2
＝0， ∴x 3＝4V ，即x ＝3
4V .
又当x ∈(0，34V )时y ′<0，x ∈(34V ，V )时，y ′>0，∴当x ＝3
4V 时，表面积最小． 4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 3
900＋400x ，0≤x ≤390，
90090 x >390，则当总利润最大
时，每年生产产品的单位数是( )
A ．150
B ．200
C ．250
D ．300
[答案] D
[解析] ∵总利润P (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－x 3
900＋300x －20000，0≤x ≤390，
90090－100x －20000，x >390，
由P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D. 5．函数y ＝(x －1)4的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1) D ．(4，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵y ′＝4(x －1)3，令y ′>0得x >1， ∴函数y ＝(x －1)4的单调递增区间为(1，＋∞)， 故选B.
6．函数y ＝x 3－3ax ＋6的单调递减区间是( ) A ．(－a ，a ) B ．(－∞，－a ) C ．(a ，＋∞)
D ．以上都不对
[解析] ∵y ′＝3x 2－3a ＝3(x 2－a ) 当a ≤0时y ′≥0恒成立，
∴函数y ＝x 3－3ax ＋6在(－∞，＋∞)上是增函数， 当a >0时，令x 2－a >0得x >a 或x <－a ，
∴函数y ＝x 3－3ax ＋6在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上是增函数， 令x 2－a <0得－a <x <a ，
∴函数y ＝x 3－3ax ＋6在(－a ，a )上是减函数，故应选A.
7．(2008·广东)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1
e
D ．a <－1
e
[答案] A
[解析] ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a 当a ≥0时，y 不可能有极值点，故a <0 由e x ＋a ＝0得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )， ∴x ＝ln(－a )即为函数的极值点， ∴ln(－a )>0，即ln(－a )>ln1.∴a <－1.
8．把长为12 cm 的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A.332cm 2
B ．4 cm 2
C ．32cm 2
D ．23cm 2
[答案] D
[解析] 设一个三角形的边长为x cm ，则另一个三角形的边长为(4－x )cm ，两个三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝3
2
x 2－23x ＋4 3.令S ′＝3x －23＝0则x ＝2，所以S min ＝2 3.
二、填空题
9．有一条长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为________m 2.
[解析] 设矩形场地的长为x m ， 则宽为16－2x 2
＝(8－x )m ，
其面积S ＝x (8－x )＝8x －x 2，S ′＝8－2x ， 令S ′＝0得x ＝4，
∴当x ＝4时，S 取极大值，这个极大值就是最大值， 故当矩形场地的长为4m ，宽为4m 时，面积取最大值16m 2. 10．y ＝x 4－2x 2＋5在[－2,2]上的最大值为________． [答案] 13
[解析] y ′＝4x 3－4x ＝4x (x －1)(x ＋1)， 令y ′＝0得x ＝0，x ＝1，x ＝－1， 列表如下： x －2 (－2，－1)
－1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y ′ －
0 ＋
0 －
0 ＋
y
13
极小值4
极大值5
极小值4
13
4211．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为__________．
[答案] 8cm
[解析] 设截去的正方形的边长为x cm ，则铁盒的底面边长为(48－2x )cm ，铁盒的体积为V ，
由题意，得V ＝x (48－2x )2(0<x <24)， V ′＝12x 2－384x ＋2304＝12(x 2－32x ＋192)， 令V ′＝0得x ＝8或x ＝24(舍去)，
∴当x ＝8时V 取极大值，这个极大值就是最大值． 故当截去的正方形的边长为8cm 时，所做的铁盒容积最大．
12．如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．
[答案] 32米，16米
[解析] 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如下图所示，设场地宽为x 米，则长为512x 米，因此新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x
2.
令L ′＝0，得x ＝±16.∵x >0，∴x ＝16. 当x ＝16时，L 极小值＝L min ＝64， ∴堆料场的长为512
16
＝32米．
13．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
[答案] 115
[解析] 利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6000， S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，这时利润达到最大．
14．把长60cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大．
[答案] 15 15
[解析] 设矩形的长为x cm ，则宽为60－2x
2＝(30－x )cm(0<x <30)，
矩形的面积S ＝x ·(30－x )＝30x －x 2，
S ′＝30－2x ＝2(15－x )，令S ′＝0得x ＝15， 当0<x <15时S ′>0，当15<x <30时S ′<0，
∴当x ＝15时，S 取极大值，这个极大值就是最大值， 故当矩形长为15cm ，宽为15cm 时面积最大． 三、解答题
15．某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入300万元，分别用于广告促销和技术改选．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额为－1
3x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，
使该公司获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)
[解析] (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)， 则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t
＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， 所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)， 由此获得收益是g (x )(百万元)
则g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－1
3x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，
所以g ′(x )＝－x 2＋4.
令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.
又当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0.
所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司获得的收益最大．
16．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？
[解析] 设水箱底边长为x cm ，则水箱高为h ＝60－x
2
(cm)．
水箱容积V ＝V (x )＝x 2
h ＝60x 2
－x 32(0<x <120)(cm 3)．V ′(x )＝120x －3
2
x 2.
令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍)或x ＝80.
当x 在(0,120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：
x (0,80) 80 (80,120) V ′(x )
＋
－
因此在x ＝80cm V (x )的最大值． 将x ＝80代入V (x )，得最大容积 V ＝802×60－
803
2
＝128000. 答：水箱底边长取80cm 时，容积最大．最大容积为128000cm 3.
17．横梁的强度和它的矩形断面的宽成正比，并和高的平方成正比，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，则断面的高和宽各应是多少？
[解析] 如右图所示，设断面的宽为x ，高为y ，则当函数xy 2取得最大值时横梁的强度最大．
又因为y 2＝d 2－x 2，
所以f (x )＝xy 2＝x (d 2－x 2)(0<x <d )， 所以f ′(x )＝d 2－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝
d 3
. 根据实际情况，当x 偏小(接近于0)或偏大(接近d )时，强度很小， 因此f (
d
3
)为强度的极大值且同时为最大值． 所以横梁锯成宽33d ，高6
3
d 时，横梁的强度最大．。