湖南省郴州市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)能力评测(备考卷)完整试卷

湖南省郴州市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）能力评测(备考卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
直线与圆的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
第(2)题
某产品的标准质量是50克/袋，抽取8袋该产品，称出各袋的质量（单位：克）如下：48，49，50，50，50，50，51，52.这8袋产品中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有（）
A．4袋B．6袋C．7袋D．8袋
第(3)题
已知集合，则（）
A．B．
C．D．
第(4)题
已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于（）
A．2023B．2024C．2025D．2048
第(5)题
在平面直角坐标系xOy中，圆O是圆心为O的单位圆，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角交圆O于A点，绕原点
将x轴的正半轴顺时针旋转角交圆O于B点，若A点的纵坐标为，，则B点到y轴的距离为（）
A．B．C．D．
第(6)题
若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（）
A
．6B．或C．D．或
第(7)题
某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲､乙､丙､丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲､乙两车不停泊在同一排，则不同的停车方案有（）
A．288种B．336种C．384种D．960种
第(8)题
已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是
A．(3，4)B．(4，5)C．(5，6)D．(6．7)
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
已知点在椭圆上，过点分别作斜率为-2，2的直线，与直线，分别交于，两点.若
，则实数的取值可能为（）
A
．B．1C．2D．3
第(2)题
巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由欧拉在1735年解决.由于这个问题难倒了以前许多的数学家，欧拉一解出这个问题，马上就出名了，当时他28岁.这个问题是精确计算所有平方数倒数的和，也就是
以下级数的和.巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，欧拉发现的准确值是.不过遗憾的是：若把
上式中的指数换成其他的数，例如，则的精确值为多少，至今未解决.下列说法正确的是
（）
A
．所有正奇数的平方倒数和为
B
．记，则的值为
C
．的值不超过
D．记，则存在正常数，使得对任意正整数，恒有
第(3)题
在四面体中，，，，，分别是棱，，上的动点，且满足均与面
平行，则（）
A．直线与平面所成的角的余弦值为
B．四面体被平面所截得的截面周长为定值1
C
．三角形的面积的最大值为
D
．四面体的内切球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为_____________.（用数字作答）
第(2)题
设，则________．
第(3)题
函数的图像在点处的切线的斜率为______．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
如图，三棱柱的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心.
(1)证明: 四边形是正方形;
(2)设分别为的中点, 求二面角的正弦值.
第(2)题
已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，记直线的斜率分别为，且满足
.
①求点的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线
于不同的两点和点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.
第(3)题
如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面BDE；
(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
(3)求点D到平面ABE的距离．
第(4)题
在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略
概率
每题耗时（分钟）第11题第12题
A选对选项0.80.53
B部分选对0.60.2
6
全部选对0.30.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
第(5)题
已知抛物线，直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点．
(1)若，求证：直线过定点；
(2)若直线的方程为，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆
的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理
由．。