2022-2023学年上海市徐汇区西南模范中学九年级上学期期中考试数学试卷及解析

2022学年西南模初三（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16
【答案】B 【解析】
【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答． 【详解】∵两个相似三角形对应边之比是1：4，
又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比， ∴它们的对应中线之比为1：4． 故选B ．
【点睛】本题考查相似三角形的相似比问题，须熟练掌握：①相似三角形的对应高、角平分线、中线的比等于相似比；②相似三角形的周长比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方． 2. 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若5AB =，4BC =，则sin A 的值为（ ） A.
34
B.
35
C.
45
D.
43
【答案】C 【解析】
【分析】根据锐角三角函数的定义，可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：4
sin 5
BC A AB ==； 故选C ．
【点睛】本题主要考查求锐角三角函数值，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3. 如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴
DE AD
BC AB
=， ∵AB=4，AD=2，DE=1.5， ∴BC=3 故选C
4. 已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么a 、b 、c 的符号为（ ）
A. 0a <，0b <，0c >
B. 0a <，0b <，0c <
C. 0a >，0b >，0c >
D. 0a >，0b >，0c <
【答案】A 【解析】
【分析】根据抛物线开口确定0a <，根据抛物线与y 轴的交点，确定0c >，根据对称轴小于零，判定0b <，选择即可．
【详解】因为抛物线开口向下， 所以0a <，
因为抛物线与y 轴的交点位于正半轴， 所以0c >，
因为抛物线对称轴小于零， 所以0b <， 故选A ．
【点睛】本题考查了抛物线图像与系数的符号，准确读懂图像，熟练掌握图像与系数符号之间的关系是解题的关键．
5. 如图，△ABC 中，∠A =70°，AB =4，AC = 6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．
的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D 【解析】
【详解】试题解析：A 、阴影部分
三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D ．
6. 如图，已知菱形ABCD 的边长为4，E 是BC 的中点，AF 平分EAD ∠交CD 于点F ， FG AD ∥ 交
AE 于点G ，若1
cos 4
B =
，则FG 的长是（ ）
A. 3
B.
83
C.
3
D.
52
【答案】B 【解析】
【分析】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，由题干所给条件可知，AG =FG ，EG =GP
，
的
利用∠AGP =∠B 可得到cos ∠AGP =
1
4
，即可得到FG 的长； 【详解】过点A 作AH 垂直BC 于点H ，延长FG 交AB 于点P ，
由题意可知，AB =BC =4，E 是BC 的中点， ∴BE =2， 又∵1cos 4
B =
， ∴BH =1，即H 是BE 的中点， ∴AB =AE =4，
又∵AF 是∠DAE 的角平分线，FG AD ∥， ∴∠F AG =∠AFG ，即AG =FG ， 又∵PF AD ∥，AP DF ∥， ∴PF =AD =4，
设FG =x ，则AG =x ，EG =PG =4-x ， ∵PF BC ∥， ∴∠AGP =∠AEB =∠B ，
∴cos ∠AGP =1
2PG AG =22x x −
=14，
解得x =
8
3
； 故选B ．
【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知4
3x y =，那么x x y
=+______． 【答案】
47
【解析】
【分析】利用比例的性质计算即可．
【详解】因为
4
3 x
y
=,
所以
44
347
x
x y
==
++
．
故答案为：4
7
．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握合比性质是解题的关键．
8. 计算：
1
23
3
a a b
⎛⎫
−+=
⎪
⎝⎭
______．
【答案】3
a b
−##3b a
−+
【解析】
【分析】利用平面向量的加减运算法则直接计算即可．
【详解】
1
23233
3
a a
b a a b a b
⎛⎫
−+=−−=−
⎪
⎝⎭
．
故答案为：3
a b
−．
【点睛】本题考查向量的线性运算．掌握平面向量的加减运算法则是解题关键．
9. 上海与杭州实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约___厘米．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意及比例尺可直接进行求解．
【详解】解：∵200千米=20000000厘米，
∴上海与杭州的图上距离约为
1 200000004cm
5000000
⨯=；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握图上距离=实际距离×比例尺是解题的关键．
10. 某滑雪运动员沿着坡比为1
100米，则运动员下降的垂直高度为________米．【答案】50
【解析】
的
【详解】解：设垂直高度下降了x 米．
根据勾股定理可得：x 2+）2=1002．
解得：x =50，即它距离地面的垂直高度下降了50米． 故答案为50．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，此题的关键是用同一未知数表示出下降高度和水平前进距离． 11. 将抛物线()2
21y x =+向下平移，如果平移后的抛物线顶点落在直线31y x 上，那么得到新抛物线
的函数解析式是______． 【答案】224y x x =+ 【解析】
【分析】设向下平移k 个单位，得到解析式为()2
21y x k =+−，故顶点坐标为(1,)k −−，代入31
y x 确定k 值即可．
【详解】设向下平移k 个单位， 所以解析式为()221y x k =+−， 所以顶点坐标为(1,)k −−， 代入31y
x 得31k
，
解得2k =，
所以新抛物线的解析式为()2
212y x =+−224x x =+． 故答案为：224y x x =+．
【点睛】本题考查了抛物线的平移问题和一次函数的综合，熟练掌握抛物线的平移即上加下减原则是解题的关键．
12. 已知二次函数2231y x x =−+，如果y 随x 的增大而增大，那么x 的取值范围是______． 【答案】34
x ≥ 【解析】
【分析】先确定抛物线的对称轴，结合开口方向，y 随x 的增大而增大，应在对称轴的右侧，用不等式表示范围即可．
【详解】因为2231y x x =−+的对称轴为直线33
44
x −==-，且抛物线开口向上，
所以对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， 所以34
x ≥
． 故答案为：34
x ≥
． 【点睛】本题考查了抛物线的开口方向和增减性，熟练掌握增减性，灵活运用不等式表示取值范围是解题的关键．
13. AD 是ABC 的中线，点G 是ABC 的重心，若13AB AC ==，12
tan 5
B =，则DG =______． 【答案】4 【解析】
【分析】根据题意作图图形，然后根据等腰三角形的性质可得AD BC ⊥，则有根据三角函数及勾股定理可得12AD =，进而根据三角形的重心可进行求解． 【详解】解：如图所示：
∵AD 是ABC 的中线，13AB AC ==， ∴AD BC ⊥， ∵12tan 5
B =， ∴5
12
BD AD =
， 在Rt ADB 中，由勾股定理得：222BD AD AB +=， ∴
2169
169144
AD =， ∴12AD =，
∵点G 是ABC 的重心， ∴1
43
DG AD =
=； 故答案为4．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角函数及三角形的重心，熟练掌握等腰三角形的性质、三角
函数及三角形的重心是解题的关键．
14. 在ABC 中，6AC =，9BC =，D 是ABC 的边BC 上的点，且CAD B ∠=∠，则BD =______． 【答案】5 【解析】
【分析】画出图形，证明ABC DAC △△，
得到比例式BC AC
AC DC
=，计算出CD 的长，利用BD BC CD =−计算即可．
【详解】因为,CAD B C C ∠=∠∠=∠， 所以ABC DAC △△，
所以
BC AC
AC DC =， 所以966DC
，
解得=4CD ，
所以=94=5BD BC CD =−−．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．
15. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，A ∠的正切值等于2，直尺的一边与BC 重合，另一边分别交AB ，
AC 于点D ，E ．点B ，C ，D ，E 处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长为______．
【答案】1 【解析】
【分析】根据90ABC ∠=︒，A ∠的正切值等于2，点B ，C ，D ，E 处的读数分别为15，12，0，1，得到
3,1BC DE ，得到13
,22
AD
AB ，结合BD AB AD =−计算即可． 【详解】因为90ABC ∠=︒，A ∠正切值等于2，
所以
2BC
AB
=， 因为直尺的对边平行， 所以90ADE ∠=︒， 所以
2DE
AD
=， 因为点B ，C ，D ，E 处的读数分别为15，12，0，1， 所以3,1BC DE ，
所以13,22AD AB ， 所以3112
2
BD
AB
AD
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角函数的计算，熟练掌握正切的意义是解题的关键．
16. 如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个大小相同的小正方形，小正方形的顶点B 、G 、E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则BFG ∠的正切值是______．
【答案】
53##2
13
【解析】
【分析】如图，过点G 作GP AD ⊥，垂足为P ，可以得到BGF PGE ∽，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE 和
AP ，根据勾股定理可求EG 的长，进而求出每个小正方形的边长． 【详解】解：如图所示：
的
∵正方形ABCD 边长为10， ∴90A B ∠=∠=︒，10AB =，
过点G 作GP AD ⊥，垂足为P ，则4590∠=∠=︒， ∴四边形APGB 是矩形，
∴2390∠+∠=︒，10PG AB ==，
∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中， ∴1290∠+∠=︒， ∴1FGB ∠=∠， ∴BGF PGE ∽， ∴
BG FG
PG EG
=， ∴
1
5
10BG =， ∴2GB =， ∴2AP =， 同理2DE =，
∴6PE AD AP DE =−−=，
∴EG =
=，
∴小正方形的边长为
5
，
∴65BF ==， ∴
25
tan 635
BG BFG BF ∠=
==
．
故答案为：
53
． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和相似三角形的性质和勾股定理，三角函数的定义，综合性较强，正确的作出辅助线是解题的关键．
17. 如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ⊥BC ，∠ABC ＝45°，AC 与BD 交于点E ，若AB ＝，CD ＝2，则△ABE 的面积为_________．
【答案】60
7
【解析】
【分析】过点D 作DF ⊥AC 于点F ，解Rt △ABC 求出AC 、BC ，再由勾股定理求得AD ，根据三角形的面积公式求得DF ，由勾股定理求得AF ，再证明△DEF ∽△BEC ，求得EF ，进而求得AE ，最后由三角形面积公式求得结果．
【详解】解：过点D 作DF ⊥AC 于点F ，
∵AC ⊥BC ，∠ABC ＝45°， ∴△ABC 为等腰直角三角形，
∴2
AC BC AB ==
=， ∵∠ADC ＝90°，CD =2，
∴4AD ==，
∵11
22
ACD S AC DF AD CD ∆=⋅=⋅，
∴DF =
∴AF =
=
，
∴CF =
∵DF ∥BC ， ∴△DEF ∽△BEC ，
∴EF DF
EC BC =
，即2EF EF =，
解得：35
EF =，
∴AE =
，
∴1160
227ABE S AE BC ∆=⋅==．
故答案为：607
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键是作辅助线构造相似三角形与直角三角形．
18. 定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知12l l ∥，1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC 的“等底”BC 在直线1l 上，点A 在直线2l 上，ABC 有一边的长是BC
倍．将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45︒得到A B C ''△，A C '所在直线交2l 于点D ，则CD =______．
或2 【解析】
【分析】分别过点A 作AE BC ⊥于点E ，点D 作DF AC ⊥于点F ，由题意易得2,45BC AE ACA ，
然后可得AEC DFA ∽△△
，进而可分当AB =
=
AC ==
时，最后根据勾
股定理可进行求解
【详解】解：分别过点A 作AE BC ⊥于点E ，点D 作DF AC ⊥于点F ，如图所示：
由题意可得：2,45BC AE ACA ，
∴DFC △是等腰直角三角形， ∵12l l ∥，
∴DAF ACE ∠=∠， ∵AE BC ⊥，DF AC ⊥， ∴90AEC
DFA DFC ，
∴AEC DFA ∽△△，
①当AB =
=Rt ABE △中，由勾股定理得：2BE ==，
∴4EC BC BE =+=，
∴在Rt AEC △中，由勾股定理得：AC ==
∵AEC DFA ∽△△， ∴
AE EC
DF AF
=，即
12DF AE AF EC ==， ∵DFC △是等腰直角三角形，
∴1
2
FC
DF
AF ，CD =， ∴325AF
FC
FC
AC
，
∴253CF
，
∴252102
3
3
CD
；
②当AC ==时，则在Rt AEC △
中，由勾股定理得：2EC BC ===，
∴点B 、E 重合，即ABC 是等腰直角三角形， ∵45ACA '∠=︒， ∴90BCD ∠=︒， ∵12l l ∥， ∴2CD AE ==； 综上所述：2103
CD
或2；
故答案为
3
或2； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键。

三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19.
tan 60tan 3045cos30tan 45tan 60tan 30−+−
+⋅°°
°°°°°
．
【答案】
6
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
tan 60tan 3045cos30tan 45tan 60tan 30−+−+⋅°°
°
°°°°
22+−
=1
=
6
． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20. 已知抛物线y=x 2+bx+3经过点A(﹣1，8)，顶点M ；
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点B ，连接AB 、AM ，求△ABM 的面积． 【答案】（1）y=x 2﹣4x+3；（2）3
2
. 【解析】
【分析】(1)把点A 的坐标代入函数解析式，列出关于系数b 的方程，通过解方程求得b 的值即可； (2)由(1)中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：(1)∵抛物线y=x 2+bx+3经过点A(﹣1，8)， ∴8=(-1)2﹣b+3， 解得b=﹣4，
∴所求抛物线的表达式为y=x 2﹣4x+3； (2)作AH ⊥BM 于点H ，
∵由抛物线y=x 2﹣4x+3解析式可得，
点M 的坐标为(2，﹣1)，点B 的坐标为(2，0)， ∴BM=1，
∵对称轴为直线x=2， ∴AH=3，
∴△ABM 的面积13S 1322
=
⨯⨯=.
故答案为：(1)y=x 2﹣4x+3；(2)
3
2
. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点问题. 21. 如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，1
tan 2
A =
，点D 在边AB 上，:3:1AD DB =．
（1）求cot DCB ∠的值．
（2）在图中求作向量：AC 在AB 、CD 方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【答案】（1）3
2
（2）见解析 【解析】
【分析】（1）过点D 作DE BC ⊥于点E ．易证BDE BAC ∽△△，即得出BDE A ∠=∠，结合题意又可
得出
14BE BD BC AB ==．设BE x =，则4BC x =，从而可求出3CE x =．根据tan tan 12BE
A BDE DE
∠===，可求出2DE x =，最后根据cot CE
DCB DE
∠=求解即可；
（2）过点C 作CE AB ⊥于点E ，过点A 作AF CD ⊥交CD 的延长线于点F ．再根据分向量的概念即可得解． 【小问1详解】
解：如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ．
∵90ACB ∠=︒，B B ∠=∠， ∴BDE BAC ∽△△， ∴
BE BD
BC AB
=，BDE A ∠=∠． ∵:3:1AD DB =， ∴
1
4
BE BD BC AB ==．
设BE x =，则4BC x =， ∴3CE x =． ∵1tan 2
A =
， ∴1
tan tan 2BE BDE A DE ==∠=， ∴2DE x =， ∴33
cot 22
CE x DCB DE x ∠=
==； 【小问2详解】
如图，过点C 作CE AB ⊥于点E ，过点A 作AF CD ⊥交CD 的延长线于点F ．
∴AC 在AB 、CD 方向上的分向量分别为AE 、FC ．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，解直角三角形，平面向量的相关知识．利用数形结合的思想是解题关键．
22. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB 可伸缩（最长可伸至20m ），且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2m ，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到EF 的距离BD 为9m ．
（1）若∠ABD =53°，求此时云梯AB 的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E 的正上方19m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】（1）15m （2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析 【解析】
【分析】（1）在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE =BC =2m ，从而求出AD =17m ，然后在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，进行比较即可解答． 【小问1详解】
解：在Rt △ABD 中，∠ABD =53°，BD =9m ， ∴AB =
9
cos530.6
BD ≈︒=15（m ），
∴此时云梯AB 的长为15m ； 【小问2详解】
解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处， 理由：由题意得： DE =BC =2m ， ∵AE =19m ，
∴AD =AE -DE =19-2=17（m ）， 在Rt △ABD 中，BD =9m ，
∴AB =
==m ）
，
＜20m ，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 上的点，AP BE ⊥于点P ． （1）如图1，如果点F 是AB 的中点，求证：2BP BE PF BC ⋅=⋅；
（2）如图2，如果AE AF =，连接CP ，求证：CP FP ⊥．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】
【分析】（1）先根据正方形的性质可得,90AB BC BAE =∠=︒，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得90,2BPA AB PF ∠=︒=，然后根据相似三角形的判定证出ABE PBA ，最后根据相似三
角形的性质即可得证； （2）先根据ABE
PBA 可得
AE AB
AP BP =，从而可得AF BC AP BP
=，再根据相似三角形的判定证出PAF PBC ，根据相似三角形的性质可得APF BPC ∠=∠，从而可得90CPF ∠=︒，由此即可得证．
【小问1详解】
证明：四边形ABCD 是正方形，
,90AB BC BAE ∴=∠=︒，
AP BE ⊥，点F 是AB 的中点，
90,2BPA AB PF ∴∠=︒=，
在ABE 和PBA △中，90ABE PBA
BAE BPA ∠=∠⎧⎨
∠=∠=︒⎩
，
ABE PBA ∴，
AB BE
BP AB ∴
=， 2PF BE BP BC
∴=，
2BP BE PF BC ∴⋅=⋅．
【小问2详解】
证明：四边形ABCD 是正方形，
,90AB BC ABC ∴=∠=︒， 90PBC ABE ∴∠+∠=︒，
AP BE ⊥，
90PAF ABE ∴∠+∠=︒， PAF PBC ∴∠=∠，
由（1）已证：ABE
PBA ，
AE AB
AP BP
∴
=， =AE AF ，
AF BC
AP BP
∴
=， 在PAF △和PBC 中，AF BC
AP BP PAF PBC ⎧=⎪
⎨⎪∠=∠⎩，
PAF
PBC ∴，
APF BPC ∴∠=∠，
又
AP BE ⊥，
90APF BPF ∴∠+∠=︒，
90BPC BPF ∴∠+∠=︒，即90CPF ∠=︒， CP FP ∴⊥．
【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
24. 如图，二次函数223y mx mx =−++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，连接AC ，BD ，已知cot 3ACO ∠=．
（1）求m 的值；
（2）求CBD ∠的正切值；
（3）若点P 在线段BD 上，且FPB CAB ∠=∠，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）1m = （2）1
tan 3
CBD ∠= （3）74,33P ⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
【分析】（1）由题意易得点()0,3C ，则有1
13
OA OC ==，即()1,0A −，然后代入函数解析式进行求解即可；
（2）连接CD ，由（1）可知二次函数解析式为223y x x =−++，则有()()3,0,1,4B D ，然后可得
BC CD BD ===
（3）分别过点P 作PG OB ⊥于点G ，过点F 作
FH PB ⊥于点H ，由（1）
（2）可知
4,2,DF BF BD ===，
tan 3OC
CAB OA
∠=
=，
然
后
可
得
sin tan 25DF DF
FBD FBD BD BF ∠=
=∠==，5
BF DF FH BD ⋅=
=，进而根据解直角三角形可进行求解．
【小问1详解】
解：由题意可令0x =，代入二次函数223y mx mx =−++得：3y =， ∴()0,3C ，
∵cot 3ACO ∠=，即cot 3OC
ACO OA
∠=
=， ∴1
13
OA OC =
=， ∴()1,0A −， ∴230m m −−+=， 解得：1m =， 小问2详解】
解：连接CD ，如图所示：
由（1）可知二次函数解析式为()2
22314y x x x =−++=−−+， ∴顶点()1,4D ，
当0y =时，则2230x x −++=， 解得：121,3x x =−=， ∴()3,0B ， ∵()0,3C ，
∴BC =
=BD =
=，
CD ==，
∴22220BC CD BD +==，
∴BCD △是直角三角形，即90BCD ∠=︒， ∴1
tan 3
CD CBD BC ∠=
=； 【小问3详解】
解：分别过点P 作PG OB ⊥于点G ，过点F 作FH
PB ⊥于点H ，如图所示：
由（1）（2）可知4,2,DF BF BD ===，tan 3OC
CAB OA
∠=
=，
∴sin ,tan 25DF DF FBD FBD BD BF ∠=
=∠==，5
BF DF FH BD ⋅==
，
∵FPB CAB ∠=∠，
∴tan tan 3FPB CAB ∠=∠=，
∴,tan 15tan 5
FH FH PH BH FPB FBP =
===
∠∠，
∴3
BP BH PH =+=
，
∴42sin ,3tan 3
PG PG BP FBD BG FBD =⋅∠=
==∠， ∴73
OG OB BG =−=
， ∴74,33P ⎛⎫
⎪⎝⎭
． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合及解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．
25. （1）如图1，在ABC 中，2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，交AB 于点D ，∥DE AC ，交BC 于点E ．
①若1DE =，3
2
BD =
，求BC 的长； ②如果ACD 是等腰三角形，请直接写出
AD
AC
的值； （2）如图2，CBD ∠和BCF ∠是ABC 的2个外角，2BCF CBD ∠=∠，CD 平分BCF ∠，交AB 的延长线于点D ，∥DE AC ，交BC 的延长线于点E ．记ACD 的面积为1S ，CDE 的面积为2S ，BDE △的面积为3S ，若2
132916
S S S ⋅=
，求cos CBD ∠的值．
【答案】(1)①94
②12
或
2
(2) 38 【解析】
【分析】(1)①根据2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，∥DE AC ，得到ACD BCD EDC B ∠=∠=∠=∠，得证CE DE CD DB CDE CBD ==，，，得到比例式
CD DE CB BD =，结合1DE =，3
2
BD =，代入计算即可． ②分,,AC
AD AC CD CD AD 三种情况计算．
(2)根据∥DE AC ，得到平行线间的距离处处相等，
21=AC BC DE E S S B =，32=S S BE CE
， 从而得到2132
9
=16
BC C S E S S =，设=9BC x ，则=16CE x ，根据CDE CBD ，可确定=12CD x ，过点D
作DM BC ⊥，根据等腰三角形的三线合一性质，得到92x BM =
，根据cos BM
CBD BD
∠=计算即可． 【详解】①因为2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，∥DE AC ， 所以ACD BCD EDC B ∠=∠=∠=∠， 所以CE DE CD DB CDE CBD ==，，，
所以
CD DE
CB BD
=， 因为1DE =，32
BD =
， 所以3
1
23
2CB =，
解得9
4
BC =．
②当AC CD =时，
因为2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，∥DE AC ，AC CD =，
所以ACD BCD EDC B ∠=∠=∠=∠，CDA CAD ACB BDE BED ∠=∠=∠=∠=∠， 所以,,AB CB BD BE CE DE CD DB AC CDE CBD =====，，，
所以ADC ACB ，
所以
CD DE CE CB BD BE ==，AD CD BD
AC CB AB ==， 所以BD AD
AB BD
=， 所以2()BD AB AD AB AB BD ==−， 整理，得220BD AB BD AB +−=，
所以,BD AB BD AB =
=（舍去）
，
所以
12
BD AB =
，
所以
1
2
AD AC =
； 当AC AD =时，∥CB AB ，不存在； 当AD CD =时，
因为2ACB B ∠=∠，CD 平分ACB ∠，∥DE AC ，AD CD =，
所以45ACD BCD EDC B A ∠=∠=∠=∠=∠=，
所以Rt ACD △是等腰直角三角形，
所以
2
AD AC =
，
综上所述，
AD AC 或2
．
（2）因为∥DE AC ，
所以平行线间的距离处处相等， 所以
21=AC BC DE E S S B =，32=S S BE
CE
， 所以2
213=S S E
S BC
C ， 因为2
132916
S S S ⋅=
， 所以
9
16
BC CE =， 设=9BC x ，则=16CE x ，
因为2BCF CBD ∠=∠，CD 平分BCF ∠，∥DE AC ， 所以FCD BCD CBD EDC ∠=∠=∠=∠， 所以CE DE CD DB CDE CBD ==，，，
所以
CD DE
CB BD
=，
所以2916CD CB DE x x ==， 所以=12CD x BD =， 过点D 作DM BC ⊥，
根据等腰三角形的三线合一性质，
所以
9
2
x BM=，
所以
9
3
2
cos
128
x
BM
CBD
BD x
∠===．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．。