2021高考数学查缺补漏集中营 化归与转化的思想(1)

2021高考数学查缺补漏集中营：化归与转化的思想
一、知识整合
1．解决数学问题时，常碰到一些问题直接求解较为困难，通过观看、分析、类比、联想等思维进程，选择运用适当的数学方式进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来讲，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方式咱们称之为“化归与转化的思想方式”。

2．化归与转化思想的实质是揭露联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每一个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。

从那个意义上讲，解决数学问题确实是从未知向已知转化的进程。

化归与转化的思想是解决数学问题的全然思想，解题的进程事实上确实是一步步转化的进程。

数学中的转化触目皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的表现。

3．转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，因此尽可能使转化具有等价性；在不得已的情形下，进行不等价转化，应附加限制条件，以维持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

4．化归与转化应遵循的大体原那么：
（1）熟悉化原那么：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于咱们运用熟知的知识、体会和问题来解决。

（2）简单化原那么：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或取得某种解题的启发和依据。

（3）和谐化原那么：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或转化命题，使其推演有利于运用某种数学方式或其方式符合人们的思维规律。

（4）直观化原那么：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

（5）正难那么反原那么：当问题正面讨论碰到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

二、例题分析
例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每一个月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每一个月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是 （ ）
A. m>N
B. m<N =N D.无法确信[分析]每一个月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d ＞0，每一个月的投资额组成一个等比数列{bn}，且公比q ＞1。

11a b =，且1212a b =，比较12S 与12T 的大小。

假设直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。

等比数列的通项公式bn=a1qn-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象，直观地能够看出ai ≥bi 则12S ＞12T ，即m ＞N 。

[点评]把一个本来是求和的问题，退化到各项的一一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每一个学生所熟悉的。

在对问题的化归进程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。

例2．若是，三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA ，BC 的公垂线ED=h ．求证
三棱锥P —ABC 的体积216V l h =．
分析：如视P 为极点，△ABC 为底面，那么不管是S △ABC 和高h 都不行求．若是观看图形，换个角度看问题，制造条件去应用三棱锥体积公式，那么可走出窘境．
解：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥
面ECD ．如此，截面ECD 将原三棱锥切割成两个别离以ECD 为底面，以PE 、AE 为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l ，因此
VP －ABC=VP －ECD+VA －ECD=13S △ECD •AE+13S △ECD •PE=13S △ECD •PA=1
3•12BC ·ED ·PA=216V l h =．
评注：辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解．
例3．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为( )．
(A)160 (B)240 (C)360 (D)800
分析与解：此题要求25
(32)x x ++展开式中x 的系数，而咱们只学习过量项式乘法法那么及二项展开式定理，因此，就要把对x 系数的计算用上述两种思路进行转化：
思路1：直接运用多项式乘法法那么和两个大体原理求解，那么25(32)x x ++展开式是一个
关于x 的10次多项式，25(32)x x ++ =(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个当选取一次项3x 并在其余四个
括号中均选 择常数项2相乘取得，故为15C ·(3x)·44C ·24=5×3×16x=240x ，因此应选(B)．
思路2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x2+3x+2=x2+ (3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴这条思路下又有四种不同的化
归与转化方式．①如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)转化，能够发觉只有55C (3x+2)5中会有x 项，
即45C (3x)·24=240x ，应选(B)；②如利用x2+3x+2= (x2+2)+3x 进行转化，那么只
15C (x2+2) 4·3x 中含有x 一次项，即
15C ·3x ·C44·24=240x ；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只有45C ·(x2+3x)·24中会有x 项，即240x ；④如选择x2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，25(32)x x ++=5(1)x +×5(2)x +展开式中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后取得，即为
15C x ·55C 25+15C •24•x •05C •15=160x+80x=240x ，应选(B)．
评注：化归与转化的意识帮咱们把未知转化为已知。

例4．假设不等式243x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立，试求实数的取值范围。

解：
243x px x p +>+- 2(1)430x p x x -+-+>
令
()g p =2(1)43x p x x -+-+，那么要使它对04p ≤≤均有()0g p >，只要有 (0)0(4)0g g >⎧⎨>⎩ 3x ∴>或1x <-。

点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主腹地位，咱们称之为主元，由于思维定势的阻碍，在解决这种问题时，咱们老是牢牢抓住主元不放，这在很多情形下是正确的。

但在某些特定条件下，此路往往不通，这时假设能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能够使问题迎刃而解。

此题中，假设视x 为主元来处置，既繁且易犯错，实行主元的转化，使问题变成关于p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。

三、总结提炼
1．熟练、扎实地把握基础知识、大体技术和大体方式是转化的基础；丰硕的联想、机敏细微的观看、比较、类比是实现转化的桥梁；培育训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法那么有本质上的深刻明白得和对典型习题的总结和提炼，要踊跃主动成心识地去发觉事物之间的本质联系。

“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2．为了实施有效的化归，既能够变更问题的条件，也能够变更问题的结论，既能够变换问题的内部结构，又能够变换问题的外部形式，既能够从代数的角度去熟悉问题，又能够从几何的角度去解决问题。