新教材高考数学一轮复习第7章立体几何第5节空间向量及其运算课件新人教A版
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A．3 B．4 C．5 D．6
C 解析：因为 α⊥β，所以 u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解 得 t＝5.
3．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点．若
A→B＝a，A→D＝b，AA1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c
B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
D．12a－12b＋c
A 解析：B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)＝c＋12(b－a)＝－12
a＋12b＋c.
4．已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC
的一个法向量的是( )
A．(－1,1,1)
2．空间向量中的有关定理
语言描述
共线向 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ∈R，
量定理 使 a＝λb
共面向 量定理
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa ＋yb
语言描述
空间向量 基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空 间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc
表示空间向量的有向线段所在的 共线向量
直线互相_平__行__或__重__合_的向量
a∥b
共面向量 平行于同一个平__面__的向量
空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质 与平面向量的概念和性质相同或相似．在学习空间向量时，与平面向 量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．
(1)两向量的夹角概念中的两个注意点：①两个向量有相同的起 点．②向量的方向．
(2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即 a·b ＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c 成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．空间向量的坐标表示
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示
第七章 立体几何
第五节 空间向量及其运算
01 必备知识•回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．空间向量的有关概念
名称
概念
零向量
长度(模)为_0的向量
单位向量
长度(模)为_1的向量
相等向量
方向_相__同_且模相__等__的向量
表示 0
a＝b
名称
概念
表示
相反向量
方向相__反__且模_相__等_的向量 a 的相反向量为－a
坐标表示
数量积 共线 垂直
a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0)
_a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3 _ _a_1_＝__λ_b_1，__a_2_＝__λ_b_2，__a_3_＝__λ_b_3 _
_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_＝__0__
(1)空间中任意两个非零向量 a，b 共面．
(√ )
(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．
( ×)
(3)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c．
(×)
(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．
(×)
(5)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．
(×)
2．设 u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面 α，β 的法向量．若 α⊥β，则 t＝( )
5．常用结论 (1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： ①P→A＝λP→B(λ∈R)； ②对空间任一点 O，O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)； ③对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
5．常用结论 (1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： ①P→A＝λP→B(λ∈R)； ②对空间任一点 O，O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)； ③对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应 用的基础．
(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面 问题．
3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝ b，则_∠__A_O_B___叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量 a，b 的数量积： a·b＝_|a_|_|b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__．向量表示 Nhomakorabea模
|a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
坐标表示
a21＋a22＋a23 cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线 定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解 决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角， 一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应 进行转化．
B．(1，－1,1)
C．－
33，－
33，－
3
3
D．
33，
33，－
3
3
C 解析：设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量， 则nn··AA→→BC＝＝00，， 化简得－ －xx＋ ＋yz＝＝00，， 所以 x＝y＝z.故选 C．
(2)证明空间四点共面的方法 对空间四点 P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证 明下列结论成立来证明共面： ①M→P＝xM→A＋yM→B； ②对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B； ③P→M∥A→B(或P→A∥M→B或P→B∥A→M)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝ b，则_∠__A_O_B___叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量 a，b 的数量积： a·b＝_|a_|_|b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__．
C 解析：因为 α⊥β，所以 u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解 得 t＝5.
3．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，M 为 A1C1与 B1D1的交点．若
A→B＝a，A→D＝b，AA1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c
B．12a＋12b＋c
C．－12a－12b＋c
D．12a－12b＋c
A 解析：B→M＝B→B1＋B→1M＝A→A1＋12(A→D－A→B)＝c＋12(b－a)＝－12
a＋12b＋c.
4．已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面 ABC
的一个法向量的是( )
A．(－1,1,1)
2．空间向量中的有关定理
语言描述
共线向 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ∈R，
量定理 使 a＝λb
共面向 量定理
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝xa ＋yb
语言描述
空间向量 基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空 间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc
表示空间向量的有向线段所在的 共线向量
直线互相_平__行__或__重__合_的向量
a∥b
共面向量 平行于同一个平__面__的向量
空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质 与平面向量的概念和性质相同或相似．在学习空间向量时，与平面向 量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果．
(1)两向量的夹角概念中的两个注意点：①两个向量有相同的起 点．②向量的方向．
(2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即 a·b ＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c 成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
4．空间向量的坐标表示
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示
第七章 立体几何
第五节 空间向量及其运算
01 必备知识•回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现
1．空间向量的有关概念
名称
概念
零向量
长度(模)为_0的向量
单位向量
长度(模)为_1的向量
相等向量
方向_相__同_且模相__等__的向量
表示 0
a＝b
名称
概念
表示
相反向量
方向相__反__且模_相__等_的向量 a 的相反向量为－a
坐标表示
数量积 共线 垂直
a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0)
_a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3 _ _a_1_＝__λ_b_1，__a_2_＝__λ_b_2，__a_3_＝__λ_b_3 _
_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_＝__0__
(1)空间中任意两个非零向量 a，b 共面．
(√ )
(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．
( ×)
(3)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c．
(×)
(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．
(×)
(5)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角．
(×)
2．设 u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面 α，β 的法向量．若 α⊥β，则 t＝( )
5．常用结论 (1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： ①P→A＝λP→B(λ∈R)； ②对空间任一点 O，O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)； ③对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
5．常用结论 (1)证明空间任意三点共线的方法 对空间三点 P，A，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线： ①P→A＝λP→B(λ∈R)； ②对空间任一点 O，O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)； ③对空间任一点 O，O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．
(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应 用的基础．
(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面 问题．
3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝ b，则_∠__A_O_B___叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量 a，b 的数量积： a·b＝_|a_|_|b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__．向量表示 Nhomakorabea模
|a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
坐标表示
a21＋a22＋a23 cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23
用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线 定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解 决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角， 一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应 进行转化．
B．(1，－1,1)
C．－
33，－
33，－
3
3
D．
33，
33，－
3
3
C 解析：设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量， 则nn··AA→→BC＝＝00，， 化简得－ －xx＋ ＋yz＝＝00，， 所以 x＝y＝z.故选 C．
(2)证明空间四点共面的方法 对空间四点 P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证 明下列结论成立来证明共面： ①M→P＝xM→A＋yM→B； ②对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B； ③P→M∥A→B(或P→A∥M→B或P→B∥A→M)．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝ b，则_∠__A_O_B___叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量 a，b 的数量积： a·b＝_|a_|_|b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉__．