山东省青岛市崂山区第二中学2019届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)

山东省青岛市崂山区第二中学2019届高三数学上学期期末考试试题
理（含解析）
满分：150分时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{x∈N|x≤3}，B＝{x|x2+6x﹣16＜0}，则A∩B＝（）
A. {x|﹣8＜x＜2}
B. {0，1}
C. {1}
D. {0，1，2} 【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合A、B，求出A∩B即可．
【详解】集合A＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，
B＝{x|x2+6x﹣16＜0}＝{x|﹣8＜x＜2}，
A∩B＝{0，1}．
故选B．
【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
2.若复数
2
2i+
1i
z=
+
，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）
A.
2
D. 2 【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．
【详解】复数
2
z2i
1i
=+
+
＝2i+
()
()()
21i
1i1i
-
+-
＝2i+1﹣i＝1+i,
则|z|
故选C．
【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．
3.我国古代数学著作(九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，新本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箱，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤：在细的一端截下一尺，重二斤，问依次每一尺各重几斤？“根据已知条件，若金蕃由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为( ) A. 6斤 B. 9斤
C. 10斤
D. 12斤
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意设出等差数列的首项和第五项，通过公式计算出公差，根据等差数列的性质即可求出中间三项的和.
【详解】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列， 设首项14a =，则52a =， 则51241
5142
a a d --=
==--， 由等差数列性质得24156a a a a +=+=，
3123a a d =+=， ∴中间三尺的重量为9斤．
故选B ．
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化史，考查等差数列的通项公式以及等差数列的性质，属于基础题.等差数列的通项公式求解有很多种方法，一种是将已知条件都转化为1a 和d 的形式，然后列方程组来求解；另一种是利用n m
a a d n m
-=
-，先求出公差，再来求首项.
4.设12F F ，分别是双曲线2
2
y x 19
-=的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且12PF?PF 0=，则
12PF PF += （ ）
B. D. 【答案】B 【解析】
根据题意，F 1、F 2分别是双曲线2
2
19
y x -=的左、右焦点．∵点P 在双曲线上，且12·0PF PF =，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半，∴12PF PF +=2|PO |=12|F F |=210． 故选B ．
5.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )
A.
2
2
B.
12
C.
24
D.
14
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意确定几何体的形状，二面角C BD A --为直二面角，依据数据，求出侧视图面积． 【详解】解：根据这两个视图可以推知折起后二面角C BD A --为直二面角，其侧视图是一个两直角边长为
2
2
的直角三角形，其面积为14．故选D ．
【点睛】本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
6.在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( ) A.
1
3
B.
22
3
C.
32
4
D.
12
【答案】B 【解析】 【分析】
以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得
1
1,1,2
2MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与
1AA 所成角的余弦值．
【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，
∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，
设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 1
1,1,2
2MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）
=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，
则
11
cos 18MB AA MB AA θ
⋅==
=
⋅, ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为3
，故选B ．
【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
7.在区间[﹣2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x+b 与圆x 2+y 2＝a 有交点的概率为1
2
，则a ＝（ ）
A. 14
B.
12
C. 1
D. 2
【答案】B
【解析】 【分析】
由直线y x b =+与圆22x y a +=有交点可得⎡⎣，利用几何概型概率公式列方程
求解即可.
【详解】因为直线y x b =+与圆22
x y a +=有交点，
所以圆心到直线的距离d =
≤b ⎡∴∈⎣， 又因为直线y x b =+与圆22
x y a +=有交点的概率为
1
2
，
11
22
a =⇒=，故选B.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.
8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）()()2f x f x +=；（2）()2f x -为奇函数；（3）当[)0,1x ∈时，
()()
()121212
0f x f x x x x x ->≠-恒成立，则
152f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，()4f ，112f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的大小关系正确的为（ ） A. ()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫
>>-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫
>>-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C. ()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫
->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. ()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫-
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
由条件得出()f x 的单调性、奇偶性、周期性即可比较出题目中几个的大小. 【详解】因为()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数. 又由()2f x -为奇函数，所以有()()()()22f x f x f x f x -+=--⇒-=-， 所以函数()f x 为奇函数， 由当[)0,1x ∈时，
()()
()121212
0f x f x x x x x ->≠-恒成立得()f x 在区间[)0,1内单调递增
结合()f x 为奇函数可得函数()f x 在区间()1,1-内单调递增， 因为11116222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15118222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()()40f f =. 所以()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫
->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：C
【点睛】利用函数单调性比较函数值大小的时候，应将自变量转化到同一个单调区间内. 9.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据给定的程序框图，逐次循环计算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，第一循环：24N =，能被3整除，24
833
N =
=≤不成立， 第二循环：8N =，不能被3整除，817,73N N =-==≤不成立， 第三循环：7N =，不能被3整除，6
716,233
N N =-===≤成立， 终止循环，输出2N =，故选C ．
【点睛】本题主要考查了程序框图的识别与应用，其中解答中根据条件进行模拟循环计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
10.已知函数()12
2log x
f x x =-，且实数0a b c >>>满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数
0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A. 0x c <
B. 0x a >
C. 0x b <
D. 0x a <
【答案】A 【解析】
易知，()12
2log x
f x x =-单调递增，且零点()00,1x ∈，()0
0f x =， 又()()()0f a f b f c <，0a b c >>>，
得()()(),0,0f a f b f c ><或()()(),,0f a f b f c <, 则0x c <是不可能成立的，故选A ．
点睛：零点问题学会利用图象解题．一般来说，只有一个零点的函数图象往往是单调的，本题中，我们可以发现函数()f x 是单调递增的，通过草图，结合题意，我们可以得到两种情况满足条件，从而得到答案．
11.已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，设M 为抛物线上的动点，则
MO
MF
的最大值为( )
B. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
由抛物线方程为：y 2
＝2px （p ＞0），可得：焦点F （2
p
，0），由抛物线的定义可得MO MO MF d =，化简再换元，利用基本不等式求得最大值． 【详解】由抛物线方程为：y 2
＝2px （p ＞0），可得： 焦点F （
2
p
，0）， 设M （m ，n ），则n 2＝2pm ，m ＞0，设M 到准线x 2
p
=-
的距离等于d ，
则
22
MO MO
MF d m m
=====
++
令pm
2
4
p
-=t，t
2
4
p
-
＞，则m
4
t p
p
=+，
∴3
MO
MF
==≤=
（当且仅当
t
2
3
4
p
=时，等号成立）．
故
MO
MF
，
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的定义、基本不等式的应用，考查换元的思想，解题的关键是表达出
MO
MF
，再利用基本不等式，综合性强．
12.将函数sin2
y x
=的图象向右平移ϕ（0
2
π
ϕ
<<）个单位长度得到()
y f x
=的图象．若函数()
f x在区间0,
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
π
上单调递增，且()
f x的最大负零点在区间
5
,
126
ππ
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
上，则ϕ的取值范围是（）
A. ,
64
ππ
⎛⎤
⎥
⎝⎦
B. ,
62
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C. ,
124
ππ
⎛⎤
⎥
⎝⎦
D. ,
122
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数sin()
y A x
ωϕ
=+的图象变换规律，求得()
f x的解析式，再利用正弦函数的性质求得ϕ的取值范围．
【详解】将函数sin2
y x
=的图象向右平移ϕ（0
2
π
ϕ
<<）个单位长度得到()sin(22)
y f x xϕ
==-的图象．
若函数()f x 在区间0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上单调递增，则22πϕ-≤-，且222ππϕ-≤， 求得04
π
ϕ<≤
①．
令22x k ϕπ-=，求得2k x πϕ=
+，Z k ∈，故函数的零点为2
k x π
ϕ=+，k Z ∈． ∵()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上， ∴51226k πππϕ-
<+<-， ∴512262
k k ππππϕ--<<--②． 由①②令1k =-，可得124
ππϕ<≤， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13.二项式9
2
(x
展开式中3x 的系数为__________． 【答案】18 【解析】 【分析】
由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解3x 的系数，得到答案.
【详解】由题意，二项式9
2x ⎛ ⎝展开式的通项为
(()939
92
199
212
r
r
r r
r r
r r T C C x
x ---+⎛⎫
=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎪
⎝⎭
令
3932
r -=，解得8r =，所以()81833191218r T C x x +=-⋅⋅⋅=，即中3x 的系数为18. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解，其中熟记二项展开式的通项，利用通项求解指定项的系数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14.设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，已知24316,28a a S ==，则
12n a a a 最大时，n 的值为__________．
【答案】4或5 【解析】
由等比数列的性质可得：2
24316a a a ==，解得：34a =，
则：3322
111111128,17,230S a q q q q q q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 由数列的
公比为正数可得：
112,2
q q ==， 数列的通项公式为：33
52n n n a a q
--==， 据此：()943
52
12
222
2
n n
n
n a a
a --=⨯⨯
⨯=，
12n a a a 最大时，
()92
n n -有最大值，据此可得 n 的值为4或5.
点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 15.已知扇形OAB 的圆心角为090AOB ∠=，半径为2，C 是其弧上一点，若
OC OA OB λμ=+，则λμ的最大值为__________．
【答案】
1
2
【解析】 【分析】
以,OA OB 为基底，表示OC
，这是一个正交的基底，故
()()
2
2
2
2
2
444OA OB OC λμλμ+=+==，再由基本不等式求得λμ⋅的最大值.
【详解】以O 为坐标原点，,OB OA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，画出图像如下图所示.由于,OA OB 相互垂直，以,OA OB 为基底，这是一个正交基底，表示OC ，根据图像可知
()()
2
2
2
22
444OA OB OC λμλμ+=+==，即22
1λμ+=，故22
1
2
2
λμλμ+⋅≤
=
，当
且仅当2
λμ==时，等号成立.故λμ⋅的最大值为12.
【点睛】本小题考查平面向量的基本定理，考查正交基底的应用，考查利用基本不等式求乘积的最大值.平面内不共线的两个向量可以作为基底表示其它任何的向量，当这两个不共线的向量相互垂直时，为正交基.基本不等式不但要记得2a b ab +≥这个基本的形式，还要注意
它的变形2
2222a b a b ab ++⎛⎫
≤≤
⎪⎝⎭
. 16.()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x .若()()'2f x f x >，
()403820192019f e =，则不等式()22019x f x e >（其中e 为自然对数的底数）的解集为
______.
【答案】{}|2019x x > 【解析】 【分析】
构造函数()()
2x
f x
g x e
=
，由导数得出()g x 在R 上单调递增，当2019x >时，()()()4038
201920192019f g x g e
>=
=，即()22019x
f x e >，即可得出解集. 【详解】构造函数()()
2x
f x
g x e
=
则()()()()
()()
222
2222x x
x
x f x e f x e f x f x g x e e ''--'=
=
因为()()'2f x f x >，所以0g x ，所以()g x 在R 上单调递增
所以当2019x >时，()()()4038
201920192019
f g x g e >=
=，即()22019x
f x e > 所以不等式()22019x
f x e >的解集为{}|2019x x > 故答案为：{}|2019x x >
【点睛】解答本题的关键是要利用条件构造出函数()()
2x
f x
g x e =
. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：60分.
17.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C
的对边，且满足sin cos 0a B A -=，
4a =.
（1）求A ∠；
（2）若D 是BC 中点，3AD =，求ABC ∆面积. 【答案】（1）3
A π
=；（2
. 【解析】 【分析】
（1
）由正弦定理化简sin cos 0a B A =即可求得tan A ，从而可求A 的值．
（2）在ABC 中由余弦定理列方程，在ABD 中利用余弦定理列方程，在ACD 中利用余弦定理列方程，联立可得10bc =的值，根据三角形面积公式即可计算得解．
【详解】： （1）sin cos 0a B A = ，
2sin sin 2sin cos 0R A B R B A =
则sin 0A A = ，tan A =
3
A π
∴=
（2）方法一：在ABC 中，222222cos a b c bc BAC b c bc =+-∠=+-
即2216b c bc +=+ .
在ABD 中22222
9413cos 223212AD BD AB c c ADB AD BD +-+--∠===
⋅⨯⨯， 同理ACD 中22222
9413cos 223212
AD CD AC b b ADC AD CD +-+--∠===
⋅⨯⨯， 而ADB ADC π∠+∠=，有cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，
即22
2213130261212
b c b c --+=⇒+=.
联立得162610bc bc +=⇒=，
11=sin 1022ABC
S
bc BAC ∠=⨯=. 方法二：又222221
cos 1622
b c a A b c bc bc +-==⇒+-=①
2
AB AC AD +=
2
2
2
294
AB AC AB AC AD ++⋅==
22222cos 9364
c b bc A
b c bc ++=⇒++=②
②-①得10bc =
11=sin 1022ABC
S
bc A =⨯= 方法三：（极化式）
()()
cos 945AB AC AB AC A AD DB AD DB ⋅==+⋅-=-= 5
10cos AB AC A
∴== 153
=
sin 22
ABC S
AB AC A ∴=
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，
ED PA ，且22PA ED ==.
（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；
（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角P CE D --的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）6
4
- 【解析】
【详解】试题分析：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得BD EF ∥，再证明BD ⊥平面PAC ，从而可得EF ⊥平面PAC ，进而可得平面PAC ⊥平面PCE ；（2）以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -，分别求出平面PCE 与平面CDE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果 试题解析：（1）证明：连接
，交
于点O ，设PC 中点为F ，连接OF ，EF ．
因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ∥，且1
2OF PA =， 因为DE PA ∥，且1
2
DE PA =， 所以OF
DE ，且OF DE =．
所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ∥．
因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA
AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．
因为BD EF ∥，所以EF ⊥平面PAC ．
因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． （2）解法：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，
所以45PCA ∠=，所以2AC PA ==．
所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．
设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．
以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -（如图）．
则()0,02P ，
，(
)
3,10C ，，()0,21E ，，()0,20D ，
， ，()
3,11CE =-
，，．
设平面PCE 的法向量为()111,,n x y z =，
则·0,·0,n PC n CE ⎧=⎨=⎩即111111320,
30.
x y z x y z +-=-++=⎪⎩
11,y =令则113,2.
x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以(
)
3,1,2n =
．
设平面CDE 的法向量为()
222,,m x y z =，
则0,0,m DE m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22220,30.z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令21,x =则223,
0.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以()
1,3,0m =．
设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角， 所以236cos cos<,4222
n m n m n m
θ⋅=->=-
=-
=-⋅⋅．
所以二面角P CE D --的余弦值为6
【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19.随着经济的发展和个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率依法进行调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表： 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后） 免征额3500元 免征额5000元
级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1
不超过1500元的部分
3
1
不超过3000元的部分
3
（1）假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？
（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：
先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[)3000,5000元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[)5000,7000元的人数，随机变量Z a b =-，求Z 的分布列与数学期望.
【答案】（1）220元；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据税率表直接算出之后作比较即可
（2）由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中抽取7人，其中[)3000,5000中占3人，[)5000,7000的人中占4人，再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0，2，4，然后分别算出每种情况的概率即可.
【详解】（1）由于小李的工资、薪金等收入为7500元， 按调整前起征点应纳个税为15003%250010%295⨯+⨯=元；
按调整后起征点应纳个税为25003%75⨯=元，
比较两个纳税方案可知，按调整后起征点应纳个税少交220元， 即个人的实际收入增加了220元，所以小李的实际收入增加了220元.
（2）①由频数分布表可知从[)3000,5000及[)5000,7000的人群中抽取7人， 其中[)3000,5000中占3人，[)5000,7000的人中占4人， 再从这7人中选4人，所以Z 的取值可能为0，2，4，
()()22
344
718
02,235
C C P Z P a b C ======， ()()()21,33,1P Z P a b P a b ====+==1333
34344
716
35C C C C C +==， ()()04
344
71
40,435
P Z P a C C b C ======， 所以其分布列为
所以()181613602435353535
E Z
=⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列和期望，解答的关键是把Z 的取值情况和对应的概率算正确.
20.设椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>，12F ,F 为左、右焦点，B 为短轴端点，且12
4BF F S ∆=，,O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程，
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M ,N ,且满足OM ON OM ON +=-？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
【答案】（1）22
184
x y +=；
（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意可得方程12
12BF F S
=
•2c •b ＝4，e 2
c a ==，且a 2＝b 2+c 2；从而联立解出椭圆C 的方程为22
84
x y +=1；
（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、
N ，则可得OM •ON =0；再设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），当切线斜率存在时，设该圆的切线
的方程为y ＝kx +m ，与椭圆联立，利用韦达定理及条件可得3m 2﹣8k 2﹣8＝0，代入△从而可解得m 的范围，进而解出所求圆的方程，再验证当切线的斜率不存在时也成立即可．
【详解】（1））∵椭圆C ：22
22x y a b
+=1（a ＞b ＞0），
由题意可得，
12
12BF F S
=
•2c •b ＝4，e 2
c a ==，且a 2＝b 2+c 2； 联立解得，228
4a b ⎧=⎨=⎩
；
故椭圆C 的方程为22
84
x y +=1；
（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，
使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ， ∵|OM ON +|＝|OM ON -|， ∴OM •ON =0；
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y ＝kx +m ，
解方程组2218
4y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩得，
（1+2k 2
）x 2
+4kmx +2m 2
﹣8＝0，
则△＝（4km ）2
﹣4（1+2k 2
）（2m 2
﹣8）＝8（8k 2
﹣m 2
+4）＞0； 即8k 2﹣m 2+4＞0；
∴x 1+x 22412km k =-+，x 1x 222
28
12m k
-=+； y 1y 2＝（kx 1+m ）（kx 2+m ）＝k 2
x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2
22
2
812m k k
-=+； 要使OM •ON =0， 故x 1x 2+y 1y 2＝0；
即22222
2881212m m k k k
--+=++0； 所以3m 2﹣8k 2﹣8＝0，
所以3m 2
﹣8≥0且8k 2
﹣m 2
+4＞0； 解得
m ≥
或
m ≤ 因为直线y ＝kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为
r =，r 2
()
2
2
228183113
k
m k k +===++； 故
r =
即所求圆的方程为x 2+y 2
83
=
； 此时圆的切线y ＝kx +m 都满足
m ≥
m ≤ 而当切线的斜率不存在时切线为x
＝±3与椭圆2284x y +=1
的两个交点为（
3
，
），
（
）； 满足OM •ON =0，
综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 283
=满足条件． 【点睛】本题考查了圆锥曲线的应用，考查了根与系数的关系及化简运算，属于难题．
21.已知函数21()(,)2
x f x a e x b a b R =⋅--∈. （1）若函数()f x 在0x =处的切线方程为1y x =-，求实数a ，b 的值；
（2）若函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若21
2x x ≥，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1,2a b ==；（2）10a e
<<
；（3）ln 2(0,]2 【解析】
【分析】
（1）由题意得：()'01f =，()01f =-，解得a ，b .
（2）由题意知：()'0x f x ae x =-=有两个零点1x ，2x ， 令()x g x ae x =-，而()'1x
g x ae =-. 对0a ≤时和0a >时分类讨论，解得：10a e
<<.经检验，合题； （3）由题意得，121200x x ae x ae x ⎧-=⎨-=⎩，即121122
(0)x x ae x x x ae x ⎧=<<⎨=⎩. 所以21
21x x x e x -=，令212x t x =≥，即12ln 1ln 1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， 令()ln 1
t h t t =-，求导，得()h t 在[)2,+∞上单调递减，即(]10,ln2x ∈. 11x x a e =，(]10,ln2x ∈.令()x x x e
ϕ=，求导得()x ϕ在(]0,ln2上单调递减，得a 的取值范围. 【详解】（1）()'x f x ae x =-，
由题意得：()'01f =，即1a =，
()01f =-即2b =，所以1a =，2b =.
（2）由题意知：()'0x
f x ae x =-=有两个零点1x ，2x ， 令()x
g x ae x =-，而()'1x
g x ae =-. ①当0a ≤时，()'0g x <恒成立
所以()g x 单调递减，此时()g x 至多1个零点（舍）.
②当0a >时，令()'0g x <，解得：1,ln x a ⎛
⎫∈-∞ ⎪⎝⎭
， ()g x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 11ln 1ln g x g a a
⎛
⎫==- ⎪⎝⎭， 因为()g x 有两个零点，所以11ln
0a -<， 解得：10a e
<<. 因为()00g a =>，1ln
0g a ⎛
⎫< ⎪⎝⎭，且1ln 0a >， 而()g x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
上单调递减， 所以()g x 在10,ln
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有1个零点； 又因为()()21x g x ae x ax x x ax =->-=-（易证2x e x >）， 则220g a a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭且1ln 0g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭
， 而()g x 在1ln ,a ⎛
⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， 所以()g x 在11ln ,a a ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭上有1个零点.
综上：10a e
<<. （3）由题意得，121200x x ae x ae x ⎧-=⎨-=⎩，即121122
(0)x x ae x x x ae x ⎧=<<⎨=⎩. 所以21
21x x x e x -=，令212x t x =≥，即12ln 1ln 1t x t t t x t ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， 令()ln 1t h t t =-，()()
211ln '1t t h t t --=-，
令()1
1ln u t t t =--，而()2
1'0t u t t -=<， 所以()u t 在[)2,+∞上单调递减，即()()12ln202u t u ≤=
-<， 所以()h t 在[)2,+∞上单调递减，即(]10,ln2x ∈. 因为1
1x x a e =，(]10,ln2x ∈. 令()x x x e ϕ=，而()1'0x
x e x e
ϕ-=<恒成立， 所以()x ϕ在(]
0,ln2上单调递减，又0a >， 所以ln20,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
. 【点睛】根据函数的极值情况求参数的要领：1.列式，根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；2.验证，求解后验证根的合理性，含参数时，要讨论参数的大小
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1的参数方程为22cos 2sin x t y t =+⎧⎨=⎩
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（1）写出圆C 1的极坐标方程，并求圆C 1与圆C 2的公共弦的长度d ；
（2）设射线θ=π12
与圆C 1异于极点的交点为A ，与圆C 2异于极点的交点为B ，求|AB|．
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程进行转换，可得到圆C 1的极坐标方程，圆C 1与圆C 2的直角坐标方程相减可得到公共弦所在直线的方程，再利用几何关系可得到公共弦的长度d ；（2）将θ=
π12
分别代入两圆的极坐标方程中，可得到A 、B 两点的极坐标，进而可求出|AB|. 【详解】（1）已知圆C 1的参数方程为222x cost y sint =+⎧⎨=⎩
（t 为参数）． 转换为直角坐标方程为：()2
224x y -+=，
转换为极坐标方程为：4cos ρθ=，
圆C 2的极坐标方程为4sin ρθ=．
转换为直角坐标方程为：()2224y x -+=，
所以：()()22222424x y y x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 整理得：0x y -=，
所以圆心（2，0）到直线0x y -=
的距离d ==
所以两圆所截得的弦长
d == （2）射线θ=π12
与圆C 1异于极点的交点为A ，与圆C 2异于极点的交点为B ， 所以|AB|=|ρ1﹣ρ2
|=πππππ4412124126cos sin ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系的恒等变换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23.已知函数()2f x x a a =--++，()124g x x x =-++.
（1）解不等式()6g x <；
（2）若存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()3,1-；（2）[
)1,+∞.
【解析】
【分析】
（1）分三种情况讨论即可
（2）条件“存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立”等价于()f x 与()g x 的值域有交集，然后分别求出它们的值域即可. 【详解】（1）因为()33,11245,2133,2x x g x x x x x x x +≥⎧⎪=-++=+-≤<⎨⎪--<-⎩
，
故由()6g x <得：3361x x +<⎧⎨≥⎩或5621x x +<⎧⎨-≤<⎩或3362x x --<⎧⎨<-⎩
， 解得原不等式解集为：()3,1-.
（2）由（1）可知()g x 的值域为[)3,+∞，显然()f x 的值域为(],2a -∞+. 依题意得：[)(]3,,2a +∞-∞+≠∅，
所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.
【点睛】1.解含有绝对值不等式时一般要分类讨论.
2. “存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立”等价于()f x 与()g x 的值域有交集.。