2019-2020学年山西省长治二中高二(上)期末数学试卷(文科)

2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）椭圆22143
x y +=的离心率为( )
A ．
7 B ．
12
C ．
3 D ．
14
2．（5分）一物体按规律2()2s t t =运动，则在3t =时的瞬时速度是( ) A ．4
B ．12
C ．16
D ．18
3．（5分）双曲线22
14
y x -=的一个焦点到渐近线的距离为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
4．（5分）“1a =”是“直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知a 为函数3()27f x x x =-的极小值点，则(a = ) A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
6．（5分）已知命题:p x R ∀∈，sin 1x …，命题2:q y x x =-在区间[0，)+∞上单调递增．则下列命题中为真命题的是( ) A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∨
C ．p q ∨
D ．p q ∧
7．（5分）某几何体的三视图如图，已知正视图和侧视图均为直角边为3的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是( )
A ．6
B ．9
C ．18
D ．27
8．（5分）已知()f x 在R 上是可导函数，()f x 的图象如图所示，则不等式()0f x '>的解集为( )
A ．(2-，0)(2⋃，)+∞
B ．(-∞，2)(2⋃，)+∞
C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞
D ．(2-，1)(1-⋃，2)
9．（5分）O 为坐标原点，F 为抛物线2:2C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||2PF =，则POF ∆的面积是( ) A 3
B ．4
C 3
D ．2
10．（5分）函数32y ax ax x =-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3]
B ．[0，3)
C ．[0，3]
D ．(0,3)
11．（5分）已知双曲线2222:1x y C a b
-=的左、右焦点分别是1F ，2F ，正三角形12AF F 的一边1
AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF =u u u r u u u r
，则双曲线C 的离心率的值是( )
A 31+
B 131
+C 131+ D 31
+12．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，x R ∀∈，()()f x f x '<恒成立，则( )
A ．f （2）2(0)e f >
B ．f （2）2(0)e f …
C ．f （2）2(0)e f …
D ．f （2）2(0)e f < 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置． 13．（5分）命题“x R ∀∈，20x ex -…”的否定是 ． 14．（5分）曲线x y xe =在点(0,0)处的切线方程为 ．
15．（5分）设1F ，2F 是双曲线22:143
x y C -=的两个焦点，点P 在双曲线上，若线段1PF 的
中点在y 轴上，则12||
||
PF PF 的值是 ．
16．（5分）已知P ，A ，B ，C 是以O 为球心的球面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则球O 的半径为 ；球心O 到平面ABC 的距离为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）设函数32()241f x x x x =+-+． （1）写出函数()f x 的递减区间；
（2）求函数()f x 在区间[3-，3]上的最大值．
18．（12分）设命题p ：实数x 满足()(2)0(0)x a x a a +-<>，命题2
:03
x q x -<+． （1）若p 是q 的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若2a =，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求x 的取值范围．
19．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)，直线l 与C 交于A ，B 两点． （1）求抛物线方程；
（2）若线段AB 中点为(4,1)Q ，求直线l 的方程．
20．（12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 均为边长为4的正方形，CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==． （1）求证：GH ⊥平面EFG ； （2）求三棱锥G ADE -的体积．
21．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1
3
，点P
在椭圆上，且△12PF F 的面积的最大值为22 （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线:2(0)l y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点A ，B 两点，若在x 轴上存在点G ，使得||||GA GB =，求点G 的横坐标的取值范围．
22．（12分）设函数()x f x e ax b =++在点(0，(0))f 处的切线方程为10x y ++=． （Ⅰ）求a ，b 值，并求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0x …时，2()4f x x >-．
2019-2020学年山西省长治二中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（5分）椭圆22143
x y +=的离心率为( )
A B ．
12
C D ．
14
【解答】解：椭圆22143x y +=，
可得2a =，b =1c =，所以椭圆的离心率是：1
2
c e a ==． 故选：B ．
2．（5分）一物体按规律2()2s t t =运动，则在3t =时的瞬时速度是( ) A ．4
B ．12
C ．16
D ．18
【解答】解：Q 按照规律2()2s t t =运动，
()4s t t ∴'=， 当3t =时，
∴在3t =时的瞬时速度为s '（3）4312=⨯=；
故选：B ．
3．（5分）双曲线2
2
14
y x -=的一个焦点到渐近线的距离为( )
A ．1
B ．2
C D 【解答】解：根据题意，由双曲线2
2
14
y x -=，
可得焦点坐标为(，0)，渐近线的方程为2y x =±； 结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，
故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为2d ==，
故选：B ．
4．（5分）“1a =”是“直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：当1a =时，直线210a x y -+=， 即为10x y -+=，斜率为11k =， 直线0x y +=，斜率为21k =-， 所以121k k =-，
所以直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直，
所以“1a =”是“直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直”的充分条件， 若直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直，、 则212(1)1k k a =⨯-=-， 解得21a =，1a =±，
所以“1a =”是“直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直”的不必要条件， 所以“1a =”是“直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直”的充分不必要条件． 故选：A ．
5．（5分）已知a 为函数3()27f x x x =-的极小值点，则(a = ) A ．3-
B ．3
C ．9-
D ．9
【解答】解：2()3273(3)(3)f x x x x '=-=-+，
当3x >或3x <-时，()0f x '>，函数单调递增，当33x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 故当3x =时，函数取得极小值． 故选：B ．
6．（5分）已知命题:p x R ∀∈，sin 1x …，命题2:q y x x =-在区间[0，)+∞上单调递增．则下列命题中为真命题的是( ) A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∨
C ．p q ∨
D ．p q ∧
【解答】解：根据题意，命题:p x R ∀∈，sin 1x …，为真命题，
命题2211
:()24q y x x x =-=--，在1(0,)2上为减函数，则q 为假命题；
则p q ∨为真命题，()()p q ⌝∧⌝、()p q ⌝∨、p q ∧为假命题； 故选：C ．
7．（5分）某几何体的三视图如图，已知正视图和侧视图均为直角边为3的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是( )
A ．6
B ．9
C ．18
D ．27
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为四棱锥体： 如图所示：
所以：1
33393V =⨯⨯⨯=，
故选：B ．
8．（5分）已知()f x 在R 上是可导函数，()f x 的图象如图所示，则不等式()0f x '>的解集为( )
A ．(2-，0)(2⋃，)+∞
B ．(-∞，2)(2⋃，)+∞
C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞
D ．(2-，1)(1-⋃，2)
【解答】解：由图可知()f x 的增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞， ∴不等式()0f x '>的解集为(-∞，1)(1-⋃，)+∞，
故选：C ．
9．（5分）O 为坐标原点，F 为抛物线2:2C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||2PF =，则POF ∆的面积是( )
A
B．4C
D．2
【解答】解：Q抛物线2
:2
C y x
=，
1
(
2
F
∴，0)，准线方程为
1
2
x=-，
||2
PF=
Q，∴
13
2
22
P
x=-=，
∴2
3
23
2
P
y=⨯=，
∴||
P
y=，
∴
11
22
POF
S
∆
=⨯=
故选：A．
10．（5分）函数32
y ax ax x
=-+在R上单调递增，则实数a的取值范围是() A．(0，3]B．[0，3)C．[0，3]D．(0,3)
【解答】解：由题意可得，2
()3210
f x ax ax
'=-+…恒成立，
当0
a=时，10
…恒成立，满足题意；
当0
a≠时，有
2
4120
a
a a
>
⎧
⎨
-
⎩…
，解可得03
a
<…．
综上，a的范围[0，3]
故选：C．
11．（5分）已知双曲线
22
22
:1
x y
C
a b
-=的左、右焦点分别是
1
F，
2
F，正三角形
12
AF F的一边
1
AF
与双曲线左支交于点B，且
11
4
AF BF
=
u u u r u u u r
，则双曲线C的离心率的值是() A
1
+B
C
1
+D
【解答】解：由题意，
1
(,0)
F c-
，)
A，
设(,)
B x y，则Q
11
4
AF BF
=
u u u r u u u r
，
(c
∴-
，)4(c x
=--，)y
-，
3
4
x c
∴=-
，y=，
代入双曲线方程可得
22
222
93
16161
c c
a c a
-=
-
，
42928160e e ∴-+=，
e ∴=
故选：B ．
12．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，x R ∀∈，()()f x f x '<恒成立，则( )
A ．f （2）2(0)e f >
B ．f （2）2(0)e f …
C ．f （2）2(0)e f …
D ．f （2）2(0)e f < 【解答】解：令()
()x
f x
g x e =， 因为()()f x f x '<， 则()()
()0x
f x f x
g x e
'-'=
<恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 由g （2）(0)g <可得，20
(2)(0)f f e e <
，即f （2）2
(0)e f <， 故选：D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置．
13．（5分）命题“x R ∀∈，20x ex -…”的否定是 0x R ∃∈，2
010x ex --< ． 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：0x R ∃∈，2
010x ex --<， 故答案为：0x R ∃∈，2
010x ex --<． 14．（5分）曲线x y xe =在点(0,0)处的切线方程为 y x = ． 【解答】解：依题解：依题意得x x y e xe '=+， 因此曲线x y xe =在0x =处的切线的斜率等于1， 所以函数x y xe =在点(0,0)处的切线方程为y x = 故答案为：y x =．
15．（5分）设1F ，2F 是双曲线22
:143
x y C -=的两个焦点，点P 在双曲线上，若线段1PF 的
中点在y 轴上，则12||||PF PF 的值是 11
3
．
【解答】解：由题意，2a =
，b
c =
不妨设1(F 0)
，则P 3
)2
，
211
||2
PF ∴=，13||2PF =，
∴12||11||3PF PF =． 故答案为：
113
． 16．（5分）已知P ，A ，B ，C 是以O 为球心的球面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且2PA PB PC ===，则球O
球心O 到平面ABC 的距离为 ． 【解答】解：空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且
PA PB PC a ===，则PA
、PB 、PC 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P 、
A 、
B 、
C 的球面即为棱长为2的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为
O 到平面ABC 的距离为体对角线的
1
6
，即球心O 到平面ABC
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数32()241f x x x x =+-+． （1）写出函数()f x 的递减区间；
（2）求函数()f x 在区间[3-，3]上的最大值． 【解答】解：（1）2()344f x x x '=+-， 令()2
0,23
f x x x '==-=
得或， 当2x <-时，()0f x '>，()f x 单调递增；()()2
2,0,3x f x f x -<<'<当时单调递减，
()()2
,0,3x f x f x >'>时单调递增
因此，函数()f x 的递减区间为2
(2,)3
-，
（2）由（1）知，函数()f x 在[3-，3]上的最大值有可能在2x =-或者3x =处取到，(2)9f -=，
f （3）34=，
因此函数()f x 在[3-，3]上的最大值为f （3）34=．
18．（12分）设命题p ：实数x 满足()(2)0(0)x a x a a +-<>，命题2
:03
x q x -<+． （1）若p 是q 的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围；
（2）若2a =，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求x 的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意，命题p ：实数x 满足()(2)0x a x a +-<， 又由0a >，则不等式的解集为(,2)a a -，则(,2)A a a =-； 又由命题2
:
03
x q x -<+，解可得32x -<<，则(3,2)B =-； 若p 是q 的充分而不必要条件，则A B ⊆，必有3
22a a --⎧⎨⎩
……，
解可得：1a …；
（2）当2a =时，集合(2,4)A =-，
p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，则命题p 和q 一真一假，
若p 真q 假，则24
32x x x -<<⎧⎨-⎩或剠，解得24x <…；
若p 假q 真，则32
24x x x -<<⎧⎨-⎩
或剠，解得32x -<-…；
综上所述，x 的取值范围是(3-，2][2-U ，4)．
19．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)，直线l 与C 交于A ，B 两点． （1）求抛物线方程；
（2）若线段AB 中点为(4,1)Q ，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）将点(1,2)代入22y px =，得2p =， 因此，抛物线方程为24y x =；
（2）设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则211222
44y x y x ⎧=⎪
⎨=⎪⎩，
两式相减得，121212()()4()y y y y x x +-=-①
由121282x x AB Q y y +=⎧⎨+=⎩的中点为知，代入①得12
12
2y y k x x -==-，
因此直线l 的方程为12(4)y x -=-，整理得270x y --=．
20．（12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 均为边长为4的正方形，CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==． （1）求证：GH ⊥平面EFG ；
（2）求三棱锥G ADE -的体积．
【解答】证明：()I 连结FH ，
CD CF ⊥Q ，CD BC ⊥，CD ∴⊥平面BCFG ， 又GH ⊂平面BCFG ，
CD GH ∴⊥，又//CD EF ，
EF GH ∴⊥，
4AB =Q ，1BH ∴=，2BG =，4CF =，3CH =， 5GH ∴=，25FG =，5FH =，
222GH FG FH ∴+=，GH FG ∴⊥．
又EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF FG F =I ， GH ∴⊥平面EFG ．
（2）Q 四边形ABCD 与CDEF 均为边长为4的正方形， CD DE ∴⊥，CD AD ⊥，//CD AB ．
又AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，AD DE D =I ， CD ∴⊥平面ADE ，又//AB CD ，
AB ∴⊥平面ADE ．
111324443323
G ADE B ADE ADE V V S AB --∆∴===⨯⨯⨯⨯=g ．
21．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为13
，点P 在椭圆上，且△12PF F 的面积的最大值为22
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线:2(0)l y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点A ，B 两点，若在x 轴上存在点G ，使得||||GA GB =，求点G 的横坐标的取值范围．
【解答】解：（1
）由已知得222
13122
c a c b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
g g
解得222981a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
，
因此，椭圆C 的方程为22
198
x y +=； （2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，MN 的中点为0(E x ，0)y ，(,0)G m ，||||GM GN =Q ，GE MN ∴⊥， 由()2222
2893636019
8y kx k x kx x y =+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩得， 由△0>，得k R ∈，1223698k x x k +=-+，∴000221816,29898k x y kx k k -==+=++， GE MN ⊥Q ，∴221601981898
GE k k k k m k -+==---+， ∴2228
989k m k k k
--==++，
Q 80,9k k k
>+=
所以0m <． 22．（12分）设函数()x f x e ax b =++在点(0，(0))f 处的切线方程为10x y ++=． （Ⅰ）求a ，b 值，并求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）证明：当0x …时，2()4f x x >-．
【解答】解：（Ⅰ）()x f x e a '=+，
由已知，(0)1f '=-，(0)1f =-，
故2a =-，2b =-，
()2x f x e '=-，
当(,2)x ln ∈-∞时，()0f x '<，当(2,)x ln ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在(,2)ln -∞单调递减，在(2,)ln +∞单调递增；⋯（6分） （Ⅱ）设22()()(4)22x g x f x x e x x =--=--+， ()22()x g x e x f x '=--=在(2,)ln +∞单调递增，在(,2)ln -∞单调递减， 因为(0)10g '=-<，g '（2）260e =->，022ln <<， 所以()g x '在[0，)+∞只有一个零点0x ，且0(0,2)x ∈，0022x e x =+， 当[0x ∈，0)x 时，()0g x '<，
当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，
即()g x 在[0，0)x 调递减，在0(x ，)+∞时，单调递增，
当0x …时，0220000()()2240x g x g x e x x x =--+=->…
， 即2()4f x x >-，⋯（12分）。