2017广东省高中数学联赛选拔赛详解

2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛
一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1.已知数列满足关系式⋯⋯,,,,,210n a a a a ()()∑=-==+-n
i i
n n a a a a 0011
,2,842则且的值是_________. 2.圆锥曲线0310262
2
=+--+-++y x y x y x 的离心率是________.
3. 设()x f 是定义在R 上的奇函数，()()x f x f ,0,21时当>=是增函数，且对任意的R y x ∈,，都有
()()(),y f x f y x f +=+则函数()x f 在[-3,-2]上的最大值是_______.
4. 设m,n 均为正整数，则=+∑∑----10
1
02sin 2cos n k m k n k m k π
π_______.
5. 已知点P 在圆C:()4122
2
=
++y x 上运动，点Q 在曲线()21,02≤≤->=x a ax y 上运动，且PQ 的最大值为2
9，则a=___________.
6. 已知γβα，，是一个三角形的三个内角，如果γβαcos cos cos ++取得最大值，则γβαsin sin sin ++=_________.
7. 从各位数字两两不等且和为10的所有四位数中任取两个数，则2017被取到的可能性为__________.
8. 已知S 是正整数集合的无穷子集，满足对任何S abc S c b a ∈∈,,,，将S 中的元素按照由小到大的顺序排列成的数列记为{}n a ，且已知.______,2,22017406120311===a a a 则
二，解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
9. （本小题满分16分）设直线19
25::12
2=++=y x C b x y 与椭圆不相交。

过直线1上的点P 作椭圆C 的切线PM,PN ，切点分别为M,N ，连结MN
(1)当点P 在直线1上运动时，证明：直线MN 恒过点Q; （2）当MN//1时，定点Q 平分线段MN
10. （本小题满分
20
分）已知函数(),4
47
16++=
x x x f 数列{}{}n n b a ,满足0,011>>b a ，
()()⋯===--3,2,,11n b f b a f a n n n n
（1）讨论数列{}n a 的单调性； （2）求证：⋯=-≤--3,2,1,8
1113
n a b a b n n n
11. （本小题满分20分）（1）求使方程()*
=+⋯+++201732321n nx x x x 有正整数解n
x
x x ，⋯,,21的最大正
整数n
（2）用()()
n n x x x A ，的所有正整数解表示方程⋯*,,21构成的集合，当n 为奇数时，我们称n A 中的每一个元素为方程
()*
的一个奇解；当n 为偶数时，我们称n
A 中的每一个元素方程()*
的一个偶解.
证明：方程()*
中的所有奇解的个数与偶解的个数相等.
参考答案
一，填空题
1，【答案】
()
322112
0--=+=∑n a n n
i i
【解析】
n n n n n n n n b b b b a b a a 2,1,2,2
112121011===+=+=++则令， ()
32211,2
1
212
0--=-=+=∑n a a n n
i i
n n
2,【答案】2 【解析】原式变形为
()()()()2
3
2
13,33132
2
22+-=-++=+-=-++y x y x y x y x 即，
所以动点()y x ,到定点（-3,1）的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2，故此动点轨迹为双曲线，离心率为2 3,【答案】-4
【解析】因为()()∞+，且在，
是奇函数0x f 上是增函数，所以()()0，在∞-x f 上也是增函数，则()()()23-≤≤-f x f f . 又()()()()()422,4112-=-=-=+=f f f f f 所以 故函数()[]23--，
在x f 上的最大值为-4 4, 【答案】1或0 【解析】因为1,,1,0,2sin 2cos ,1,,1,0,2sin 2cos
-⋯=+-⋯=+n k n
k i n k m k m k i m k π
πππ分别是多项式11--n m X X 与的根，因此当m>1,n>1时由根与系数的关系可得：
02sin 2cos ,02sin 2cos 1
01
01
010
=+=+∑∑∑∑--------n k i n k m k i m k n k n k m k m k πππ
π 所以，故：02sin 2cos ,02sin ,
02cos 101
01
01
=+==∑∑∑∑--------n k m k n k m k n k m k n k m k π
πππ
而当12sin 2cos 110
1
0=+=∑∑----n k m k n k m k m π
π时
5, 【答案】
2
13- 【解析】连接QC 并延长交圆于点D ，则PQ QD CD QC CP QC PQ 所以,=+=+<的最大值等于CP 的最大值与圆的半径之和，由于
()()
()21,41422422
222
≤≤-+++=++==x x a x a ax x CP x f
()()CP x f a a a a f ，时因此2,28161645122-=-=++<++=-取得最大值，于是：
2
1
3,0122,421298161622-=
=-+=-=
++a a a a a
6, 【答案】
2
3
3 【解析】若γβα，，中至少有两个不等，不妨设βα≠，则
().
2
32312cos 22112
cos
22
cos
2cos 2
cos
2
cos 2cos cos cos 2
≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++-+<
+--+=++βαβ
αβ
αβαβ
αβ
αγβα
因此当且仅当2
3
3sin sin sin cos cos cos 3
=
++++===γβαγβαπ
γβα取得最大值，故：，时 7,【答案】
48
1 【解析】方程90,1043214321≤<<<≤=+++x x x x x x x x 的整数解有且仅有
()()()()()(),4,3,2,1,5,3,2,0,5,4,1,0,6,3,1,0,7,2,1,04,3,2,1=x x x x 因此符合条件的四位数恰有：
96!4!3413
=+⨯⨯C （个）
，故所求概率为48
1
296195=C C 8，【答案】4033
2
【解析】由题意对任何S abc S c b a ∈∈,,,可知：
20311,242121≤≤=⨯--n n n
都是数列{}n a 中的项，所以403320162017242=⨯=a 二．解答题
9.【证明】：（1）设()()(),,,,,,221100y x N y x M y x P 则椭圆过点M,N 的切线方程分别为
19
25,19252211=+=+y
y x x y y x x 因为两切线都过点P ，则有
19
25,192502220101=+=+y y x
x y y x x 这表明M,N 均在直线19
2500=+y
y x x ①上.由两点决定一条直线知，式①都是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线1
的方程.
当点P 在直线1上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为
b x y +=00
代入①消去019
25000=-++y b x x x y 得
② 对一切R x ∈0恒成立，变形可得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∈=⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+019
0925,019
92500y b y
x R x y b y x x 故有，恒成立对一切
由此解得直线MN 恒过定点Q ⎪⎭
⎫
⎝⎛-b b 9,25， （2）当MN//1时，由式②知b b x x ≠+=-
92500 解得b x 34
250-= 代入②，得此时MN 的方程为b
x y 34
+= ③
将此方程与椭圆方程联立，消去y 得
013468253422
2=-++b
x b x 由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫
⎝
⎛-
b b Q 9,25的横坐标，即 ()b
b x x x 2525
3468
212121-=-=+=
代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭
⎫
⎝⎛-
b b Q 9,25的纵坐标，即 b
b b y 93425=+-
= 这就是说，点⎪⎭⎫
⎝
⎛-
b b Q 9,25的平分线段MN 10.【解】（1）()()()则,1
1
494149116+⋅-=+-+=
x x x x f
()()
()()()()()()()()()
()1211111
49111149111
49114941149412
2211
2122
12
1111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -++⋯++⋅
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⋯=-+++⋅⎪⎭⎫
⎝⎛==++⋅
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=----------+
所以111214
47
116,
..,a a a e i a a a a n n >++>⇔>+。

解得
2
701<
<a
所以当2701<<a 时，数列{}；时，数列单调上述；所以当⋯===,3,2,1,2
7
271n a a a n n 所以当2
7
1>
a 时，数列{}n a 单调下降 证明：（2）因为()x f 单调上升，计算得()184
637
1135,113547,4
7
0=
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f f f 由（1）知
()()
()1111111
49-----++=
-n n n n n n b a b a b a
所以：（i ）,当()()时故当，时4,184
637
014270,2703311≥=>=<<<
<n f a f a b a 2
7
184637,2718463744<<=<<=n n b b a a ，同理。

故 11322343344441
1118
1147147149498111135111351
4981818
1
11846371184637149b a b a b a b a b a b a b a n n n n n n n n n n -<-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<-<⋯<-<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛+=
---------
（ii ），）得：时，由（当12
7
,27011b a <<< n n b b <<+127
所以
2
,81
8181
127111351491123331
111≥∀-<-<⋯<-<-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
-------n n n n n n n n n b a b a b a b a b a （iii ）,最后，当时，我们有2
7
,2711>>
b a n n n n b b a a <<<<++112
7
,27 所以
111-n 1
1118
1
81
127127149b a b a b a b a n n n n n n -<
⋯<-<-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
----- 11. 【解析】
解：（1）因为()2
121322017321+=
+⋯++≥+⋯+++=n n n nx x x x n
所以1,263.6363321==⋯====≤x x x x n n 时，当为方程
()*
的一组正整数解，故所求最大值为n=63
证明：（2）()()n n n a a a a n A x x x x ，令，⋯=≤≤∈⋯=∀,,,631,,,2121与之对应，其中
,,2,1,1n i x x x a n i i i ，⋯=+⋯++=+
则令且2017,12121=+⋯++≥>⋯>>n n a a a a a a
(){}2017
,1,,212121=+⋯++≥>⋯>>⋯=n n n n a a a a a a a a a a B 丨， 那么()
中所含元素的个数表示集合的双射，所以：到是x x B A B a a x n n n n =
()()1,,,,,,12121-+=⋯=∈⋯=∀s a a a a a s a B a a a a s n n n 中使得表示我们用，σ成立的最小下标，即： 2,1,,2,1,111≥--⋯==-++s s i i a a s i a a
因为1111-+=a a ，所以满足条件的正整数s 存在且()n a a n s =≤≤τ并记,1
()()()()()n a a a n n a a a n ≤≤=<--≤≤σττστ11,，否则我们断言若
()于是我们有：
,n a a n ==σ ()()()2
131********-=
-+⋯+++=+⋯++=n n n n n an a a ，
此不可能，所以()()()
11121,,,1,1,1--+∈⋯+⋯++=n n a a B a a a a a b ττ，是唯一确定的元素且
()()b a a b n n στ=>=-1
若()()()()否则时，我们断言且.1a a n a a a n σσστ>-=>
()()n n a a a n a =<=≤-τσ1
因此()1+==n a a n τ，于是我们有：
()()()2
132********+=
+⋯++++=+⋯++=n n n n n a a a n ，
此不可能.所以()()()()
1121,,,,1,1,1++∈⋯-⋯--=n n a a B a a a a a a c σσσ，是唯一确定的元素且()()()c a c σστ≤=
由此我们证明了()()
()()
n n n n B B B B a a a c a a b a f 631
631,,,:====∈∀⎩⎨⎧≤≤ 是若若στστ到自身的映射且
1232
12311231112321,-===-=⊂⎪⎭⎫ ⎝⎛⊂⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n n n n B B f B B f ，如果我们能够证明f 是满射，则f 也单射，因而是双射，从而：n n n n n n n n A B B A 231
1
231
1
1232
1
1232
1
==-=-====
即：方程
()*
中所有奇解的个数与偶解的个数相等
事实上，()()()v v B B v v v v n n n στ≤=∈⋯=∀=如果，,,,63
1
21 ， 则存在
()()()()v a f B B v v v v v a n n n v v ==∈⋯+⋯++==-+使得：，，,,,1,1,163
1
1121 ττ
如果()()则存在,v v στ>
()()()()()v a f B B v v v v v a n n vn v v ==∈⋯-⋯--==+使得：，,,,,,1,1,163
1
121 σσσ.
故f 是满射，结论成立。