2008顺德区高三数学(文科)质量检测题(3)

2008顺德区高三质量检测题（三）
文科数学试卷
命题人：王常斌
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

不能答在试题卷上。

一、选择题：(本大题共 10小题；每小题 5 分，满分 50 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

请将答案填入答题卡中。

)
1. 已知全集U=Z ，A={-2，-1，0，1，2}，B=}02|{2=+x x x ,则B C A U ⋂=（ ） A. {-2，0} B.{2，0} C.{-1，1，2} D. {-2，0，2}
2．已知α是第三象限角，13
5
cos -=α，则sin2α=（ ）
A ．13
12-
B ．1312
C ．16960-
D ．169
60
3．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么几何体的体积为（ ）
A ． 1
B ．
2
1 C ． 31 D ．6
1 4．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若58215a a a -=+,则9S 等于（ ）
A 、18
B 、36
C 、45
D 、60
5．已知直线βα平面直线平面⊂⊥m ，l ，有下面四个命题，其中正确命题是( ) （1）m l ⊥⇒βα// （2）m l //⇒⊥βα （3）βα⊥⇒m l // （4）βα//⇒⊥m l
A ．（1）与（2）
B . (1)与(3)
C . (2)与(4)
D . (3)与(4)
正视图（或主视图） 侧视图（或左视图）
俯视图
6．若双曲线122
22=-b
y a x 的一条渐近线方程为03=+y x ，则此双曲线的离心率为（ ）
A ．
10
103 B ．
3
10 C ．22 D ．10
7．如图，当输出S=1023时，（1）中应填的条件是（ ）
A ．8<i
B ．9<i
C
8．已知向量p 、q 满足条件：3||,22||==q p ， 、的夹角为
4
π
,如图，若25+=， 3-=，且D 为BC 的中点，则的长度为（ ）
A ．
2
15 B ．
2
15 C ．7 D ．8
9．设p ：52)(23+++-=mx x x x f 在（+∞∞-,）内单减，q ：3
4
-
≤m ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10.在平面直角坐标系x0y 中，已知平面区域A=}0,0,1|),{(≥≥≤+y x y x y x 且，则平面区域B=}),(|),{(A y x y x y x ∈-+的面积为 ( )
A . 2
B . 1
C .
21 D . 4
1
第7题
2008顺德区高三质量检测题（一）
文科数学试卷
第Ⅱ卷（非选择题 100分）
二．填空题(共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 11． 设复数Z 满足
i z
z
=+-11，则=+|1|z 。

12．如图是三种化合物的结构式及分子式，按其规律，写出后一种化合物的分子式为 。

13．由直线1-=x y 上的一点向圆1)2(2
2=-+y x 引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的
最小值为
选做题：
从下列14~15二小题中任选做一小题，如果二小题都做的，则只按前一小题记分
14.参数方程⎩⎨⎧==θ
θ
sin 2cos x y 化为普通方程为 ，它表示的图形为 。

15.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是圆的直径，两条对角线AC 与BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点，BP=2PD ，直线MN 切⊙O 于A ，若∠MAB=300，BC=8，则∠ADC= ，对角线BD 长为 。

……
M
三．解答题(共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知
)cos ,(sin ),cos ,(sin B B n A A m -==，且的夹角为3
π。

（Ⅰ）求内角C 的大小； （Ⅱ）已知27=c ，三角形的面积2
33=S ，求b a +的值。

17．（本小题满分12分）把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b 。

已知直线1l ：22=+y x ，直线2l ：4=+by ax ，试求：
（Ⅰ）直线1l 、2l 相交的概率； （Ⅱ）直线1l 、2l 平行的概率；
18．（本小题满分14分）如图，三角形ABC 中，AC=BC=
AB 2
2
，ABED 是边长为a 的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，且，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点， （Ⅰ）求证：GF//底面ABC ；
（Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面ACD ； （Ⅲ）求几何体ADEBC 的体积V 。

A
C
19（本题满分14分）已知n n S n a 项和为的前}{，若2
5
32++=
+n n a S n n ， （Ⅰ）试证明：数列}{n a n -为等比数列； （Ⅱ）设25251
-+=+n n n S b ，∑==n
i i
n b T 11
，求证：2<n T
20. （本题满分14分）设函数))(1()(a x x x x f --=，其中1>a ， （Ⅰ）求导函数)(x f ',并证明)(x f 有一个极大值点和一个极小值点；
（Ⅱ）设)(x f 的极值点为21x x 和，若不等式0)()(21≤+x f x f 成立，求a 的取值范围。

21．（本题14分）如图所示，已知圆C ：8)1(22=++y x ，定点A （1，0），M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足2=，0=∙，点N 的轨迹为曲线E 。

（Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足
FH FG λ=，求λ的取值范围。

2008顺德区高三质量检测题（三）
文科数学试卷参考答案
11、2 12、C 4H 10 13、
2
14
14、]1,1[,212-∈-=x x y （3分），抛物线的一部分（2分） 15、1200（2分），63（3分） 三、解答题：
16．解：（Ⅰ）3
cos 3cos
11||||π
π=⨯⨯=⋅=∙………………2分 又C B A B A B A n m cos )cos(cos cos sin sin =+-=-=∙ ……………………4分
3
cos
cos π
=∴C 又π<<C 0 ， 3
π
=
∴C ……………………6分
（Ⅱ）由余弦定理及三角形面积公式得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=23
2132
34
49sin 21
cos 22
2222ab ab b a C ab S C ab b a c ………………………………9分 21104121)(2=+⇒⎪⎭⎪
⎬
⎫
>+=
+⇒b a b a b a ………………………………12分
…………………………………………………2分
有而相交与a b a b l l 2,221=≠⇔（1，2）、（2，4）、（3，6）三种
故P 12
11
3631)(21=-=相交、l l …………………………………………………6分 （Ⅱ）共有平行与,2224
2121⎩
⎨⎧≠=⇔≠=⇔
a a
b b a l l （1，2）
、（3，6）两种……10分 18
1
362)//(21==
∴l l P …………………………………………………12分 18、（Ⅰ）
证法一：取BE 的中点H ，连结HF 、GH ，（如图1） ∵G 、F 分别是EC 和BD 的中点
∴HG//BC ，HF//DE ，……………………………2分 又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB ，从而HF//AB ∴HF//平面ABC ，HG//平面ABC ∴平面HGF//平面ABC
∴GF//平面ABC ……………………………………5分
证法二：取BC 的中点M ，AB 的中点N 连结GM 、FN 、MN （如
图2）
∵G 、F 分别是EC 和BD 的中点
∴DA
NF DA ，NF BE ，
GM BE GM 2
1
//2
1
,//==且且…………………2分
又∵ADEB 为正方形 ∴BE//AD ，BE=AD ∴GM//NF 且GM=NF ∴MNFG 为平行四边形
∴GF//MN ，又ABC MN 平面⊂，
∴GF//平面ABC ……………………………………5分 （Ⅱ）∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB
又∵平面ABED ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC …………7分 ∴BE ⊥AC 又∵CA 2+CB 2=AB 2 ∴AC ⊥BC ∴AC ⊥平面BCE
从而平面EBC ⊥平面ACD ……………………………………9分 （Ⅲ）连结CN ，因为AC=BC ，所以CN ⊥AB ，且a AB CN 2
121== 又平面ABED ⊥平面ABC ， 所以CN ⊥平面ABED 。

∵C —ABED 是四棱锥 ∴V C —ABED ==∙CN S ABED 31326
1
2131a a a =∙……………………14分
A
C 图1
图2
A
C
19、 （Ⅰ）证明：2
9
253121111=++=+==a S a ，
n 时 ∴4
5
1,4911=-=
a a 从而 ……………………………………………………2分 2
5
322++=+≥n n a ，S
n n n
时 ①
2
5)1(3)1(21
1+-+-=+--n n a S n n ②
① －②得：2
3
12)(11+-=-+---n a a S S n n n n …………………………………4分
)
1()(21211--=-∴++=--n a n a n a a n n n n
即)]1([21
1--=
--n a n a n n ∴{n a n -}是首项为45，公比为2
1
的等比数列。

………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1)21(45-∙=-n n n a ∴n a n n +=+12
5
……………………9分
∴2252
52
5
253252532
11
212n
n S b n n n n n S n n n n n n +=
-+=-++=--++=+++ ………………………………11分 从而
)1
1
1(2212+-=+=n n n n b n ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-<+-
=+-+⋯⋯+-+-==∑
=111102)111(2)1
1
13121211(211
n n n n b T n
i i n 从而…………………………………15分
20解：（Ⅰ）ax x a x a x ax x x x f ++-=+--=2
3
2
)1()()(
a x a x x f ++-=')1(23)(2 …………………………………………2分
03)2
1
(444412)1(4222>+-=+-=-+=∆a a a a a
故0)(='x f 有两个不等的实数根21x x 和，不妨设21x x <, …………4分 可列表：
由上表可知1x 为)(x f 的极大值点，2x 为)(x f 的极小值点 ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知21x x 和是方程0)1(232=++-a x a x 的两个根，由韦达定理得： 3
,3)1(22121a
x x a x x =+=+， ① …………………………9分 因此有
)(]2))[(1(]3))[(()
())(1()()1()1()()(21212212122121212221323122
23
21213
121≤++-++--++=++++-+=++-+++-=+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x ax x a x ax x a x x f x f
将①代入上式化简可得：0)252)(1(2≥+-+a a a ………………………………………12分
∵1>a ∴02522
≥+-a a
∴2
1
2≤
≥a a 或(舍去)，故a 的取值范围是[)+∞,2……………………………14分
21、解：（Ⅰ）0,2=∙= ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|MN|
又∵|CN|+|MN|=22，∴|CN|+|AN|=22>2……2分 ∴动点N 的轨迹是以点C （-1，0），A （1，0）为 焦点的椭圆，且长轴长222=a ，焦距2c=2 ∴1,1,22===
b c a ，
∴曲线E 的方程为12
22
=+y x ……………………………………5分 （Ⅱ）当直线GH 斜率存在时，
设直线GH 的方程为12
22
2=++=y x kx y 代入椭圆方程，
得034)21(
22=+++kx x k ，由2
3
02>>∆k 得……………………7分
设G （11,y x ）,H(22,y x )，则2212212
13
,214k x x k k x x +=
+-=
+…………8分 又∵λ=，∴)2,()2,(2211-=-y x y x λ ∴λ
λλλλ212
22212
22122121)1(
,,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴= ∴λλ2
2
2223
)1()24(
k k k +=++-，整理得λλ2
2)1()121(316+=+k
…………………10分
∵316214,316323164,232
2
<++<∴<+<∴>
λλk k
解得
3113
1
<<<<λλ或 又13
1
,10<<∴<<λλ ……………………………………………………12分
又当直线GH 斜率不存在时，方程为3
1
,31,0===λx ，
∴131<≤λ，即所求的λ取值范围是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,31………………………………14分。