湖北仙桃中学选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试题(含答案解析)

一、填空题
1．已知A 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点，O 为坐标原点，若直线:2l x c =上存
在点P 使得45APO ∠=︒，则椭圆离心率的最大值为__________.
2．已知双曲线22
:221(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过原点O 作斜率
3的直线交C 的右支于点A ，若1223
F AF π
∠=
，则双曲线的离心率为__________． 3．已知动圆M 过定点()30A -,
，并且内切于定圆()2
2:364B x y -+=，则动圆圆心M 的轨迹方程._______
4．椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭
圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为________.
5．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某
一条渐近线交于P ，Q 两点．若60PAQ ∠=︒，且3PO OQ =（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为_________．
6．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.
7．设12,F F 分别是椭圆22
12516
x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为
()6,4，则1PM PF +的最大值为________．
8．已知1F ，2F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左､右焦点，P 是椭圆上一点(异于左
､右顶点)2
为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是________.
9．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k ⋅的值为______.
10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：210x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______
11．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的
直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222AF F C =，则椭圆的离心率为__________.
12．已知直线y kx m =+与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与
1
y
x k
交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 13．已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点坐标分别为()()0,2,0,2-，且过点
35,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则椭圆的标准方程为____________. 二、解答题
14．已知()()()22
:3400,q :112x y p m a m a a m m
--<>+=--．
（1）若q 表示双曲线，求实数m 的取值范围；
（2）若q 表示焦点在y 轴上的椭圆，且q ⌝是p ⌝中的充分不必要条件，求实数a 的取值
范围．
15．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A ，B 是椭圆C 上的两个动点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，证明：直线AB l 与以原点为圆心的某个定圆相切，并求这个定圆.
16．已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率e =
，原点到过点(),0A a ，
()0,B b -.
（1）求椭圆C 的方程； （2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为
圆心的圆上，求k 的值.
17．（1）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且双曲线经过点)
P .求双曲线
方程.
（2）若直线2x y -=与抛物线2
4y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标；
18．已知点(3,0)M -，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点N 在直线PQ 上，且满足0MP PN ⋅=，1
2
PN PQ =
． （1）当P 点在y 轴上移动时，求动点N 的轨迹C 的方程；
（2）过点()2,0T 作一直线交曲线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOT 的面积是
BOT 面积的2倍，求弦长AB ．
19．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆C 过点
33,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎭
，离心率1
2e =，点P 在椭圆C 上，延长1PF 与椭圆C 交于点Q ，点R 是2PF 的中点．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）若点O 是坐标原点，记1QF O 与1PF R 的面积之和为S ，试求S 的最大值．
20．已知抛物线C 的准线方程为14x =-.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证：t 为常数，并求出此常数.
21．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2
2
，短轴长为22
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2
2
8
9
x y +=
上，直线AM 与椭圆交于另一点B ，且AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程.
22．已知椭圆22
:1126
y x Γ+=，F 是Γ的下焦点，过点()0,6R 的直线l 交Γ于M 、N 两
点，
（1）求F 的坐标和椭圆Γ的焦距；
（2）求MNF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程；
（3）在y 轴上是否存在定点S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立?若存在，求出定点S 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知椭圆222:1(1)x E y a a +=>的离心率为2
2.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线:0l x y m -+=与椭圆交于E F 、两点，且线段EF 的中点在圆22+1x y =，求
m 的值.
24．（1）点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线25
:4
l x =
的距离的比是常数4
5
，求M 的轨迹方程；
（2）经过两点(3,A --，(7)B --，求双曲线标准方程．
25．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点(2,0)，一个焦点为．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求
||
||
AB PQ 的取值范围． 26．已知曲线()()2
22240.a x by b a b R Γ--+-=∈：
，下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，然后对选择的问题进行求解.
①若42a b ==，，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程､顶点坐标､焦点坐标､及x y 、的取值范围；
②若32a b ==，，写出曲线的方程，并求经过点(-1，0)且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；
③若3a =，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论b 如何变化，这两点都不在曲线Γ上.
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一、填空题
1．【分析】设则利用直线倾斜角及两角差的正切可得在上有解该分式方程可转化为一元二次方程利用判别式可得的不等式从而可求离心率的最大值【详解】设右焦点为则故因为直线上存在点P 使得故在上有解即在上有解所以即故
【分析】
设()2,P c t ，则利用直线,AP OP 倾斜角及两角差的正切可得()
2
122at
t c c a =++在R 上有解，该分式方程可转化为一元二次方程，利用判别式可得,a c 的不等式，从而可求离心率的最大值. 【详解】
设()2,P c t ，右焦点为F ， 则tan 2t PAO c a ∠=
+，tan 2t
POF c
∠=， 故
()
()2222tan 22122t t
at c c a APO t t c c a c c a -
+∠==+++
+，
因为直线:2l x c =上存在点P 使得45APO ∠=︒，
故()
2
122at
t c c a =++在R 上有解即()2220t at c c a -++=在R 上有解， 所以()2
820a c c a -+≥即216810e e +-≤
，故1
04
e <≤
.
.
. 【点睛】
方法点睛：离心率的取值范围的计算，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组，有时也可以根据题设条件构建关于,,a b c 的等量关系，可根据方程有解得到基本量的不等式．
2．【分析】由题意知结合已知条件可证明利用可计算在中利用余弦定理可计算出由即可求得离心率【详解】由题意知直线的斜率为所以所以又因为所以所以即可得在中由余弦定理可得解得：故双曲线的离心率为故答案为：【点睛
【分析】
由题意知1
23
FOA π∠=，结合已知条件可证明112FOA F AF ，利用
11112
F O F A
F A F F =可计
算1F A =，在12F AF
中，利用余弦定理可计算出22
AF c =，由 1212
22F F c e a AF AF =
=-即可求得离心率. 【详解】
由题意知直线OA
23
AOF π
∠=
，
所以1
23
FOA π∠=，又因为1223F AF π
∠=，1
21AFO F F A ∠=∠，
所以112FOA F AF ，所以
11112
F O F A F A F F =，即
112F c
c A F A =
可得1F A =， 在12F AF 中，由余弦定理可得222
12121222cos
3
F F AF AF AF AF π=+-⋅，
解得：2AF =
，
故双曲线的离心率为
1212
222F F c e a AF AF =
===
-，
故答案为：2
. 【点睛】
1
23
FOA π
∠=，结合1223
F AF π
∠=
可得112FOA F AF
，即可求出1F A =，在12F AF 中，再利用余弦
定理，可求出2AF ，由双曲线的定义可计算122a AF AF =-，1212
22F F c e a AF AF =
=-即可. 3．【分析】由圆的标准方程有圆心为半径为8根据圆内切于定圆且过定点即有即知轨迹为椭圆写出轨迹方程即可【详解】由圆方程知：圆的圆心为半径为8∵圆过定点且内切于圆若设圆的圆心为∴由题意知：而故可知在以为焦点
解析：22
1167
x y +
= 【分析】
由圆的标准方程有圆心为(3,0)B ，半径为8，根据圆M 内切于定圆B 且过定点
()30A -,，即有||||8AM BM +=，||6AB =即知M 轨迹为椭圆，写出轨迹方程即可.
【详解】
由圆方程知：圆B 的圆心为(3,0)B ，半径为8，
∵圆M 过定点()30A -,
且内切于圆B ，若设圆M 的圆心为(,)M x y ， ∴由题意知：||||8AM BM +=，而||6AB =，故可知M 在以,A B 为焦点的椭圆上，
∴2
2
2
4,c 3,b 7a a c ===-=，即圆心M 的轨迹方程：221167
x y +=.
【点睛】
关键点点睛：根据动圆过定点且与另一圆内切，即两圆圆心的距离加上动圆到定点的距离为定值，又两圆心距离为定值，即可知动圆圆心轨迹.
4．【分析】由题意画出图形利用等面积法可得关于的等式结合隐含条件即可求得椭圆的离心率【详解】解：如图所示过点作则由题意可得即又由可得整理可
得因为所以解得因为所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质考 解析：
51
- 【分析】
由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率. 【详解】
解：如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，
由题意可得，222211
22
OB OA A B OM ⋅=⋅，即22a b a b c ⋅=+，又由222a b c =+可得，
()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，
因为c e a =
，所以42310e e -+=，解得235e -=， 因为01e <<，所以51
e -=. 51
-. 【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
5．【分析】设由已知得由双曲线的渐近线的斜率可求得ab 的关系从而求得双曲线的离心率【详解】取PQ 的中点为B 因为所以为正三角形设则所以故答案为：【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时将提供的双曲线的几 13【分析】
设OQ m =，由已知得2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，由双曲线的渐近线的斜率可求得a ,b 的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】
取PQ 的中点为B ，因为060PAQ ∠=，3PO OQ =，所以PAQ △为正三角形，设
OQ m =,则2,2BQ m PQ m ==，23,AB m OB m ==，
所以23231313PQ m b
k c a e a
=
==⇒=⇒=. 故答案为：13.
【点睛】
方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量
,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和c
e a
=
转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．
6．【分析】根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍即所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程【详解】解：设抛物线焦
解析：22
143
x y +
=(0)y ≠ 【分析】
根据题意可知：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和；而距离之和为
A 和
B 的中点O 到准线的距离的二倍，即24r =，所以焦点的轨迹方程
C 是以A 和B 为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点F 的轨迹方程. 【详解】
解：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线1AA ，1BB ，1OO ， 则|有11124AA BB OO +==； 由抛物线定义得11AA BB FA FB +=+，
4FA FB ∴+=，
故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，
∴ 抛物线的焦点轨迹方程22143
x y +=(0)y ≠.
故答案为：22
143
x y +=(0)y ≠.
【点睛】
关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点F 的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．
7．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思
解析：15 【分析】
利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】
由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，
()
1222||||210||101015
PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=，
则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8．【分析】根据三角形等面积公式得到再转化为关于的齐次不等式求离心率的取值范围【详解】的面积关系可得：即即整理为：两边同时除以得且解得：故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心
解析：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
【分析】
根据三角形等面积公式得到
()11
222222
P a c c c y bc +⋅=⋅⋅≤，再转化为关于,a c 的齐次不等式，求离心率的取值范围. 【详解】
12PF F △的面积关系可得：
()11
222222
P a c c y bc +⋅=⋅⋅≤，
即
))22
a c c bc a c
b +≤⇒+≤，
即()(
)2
2
2
2
22a c b a c
+≤=-，
整理为：22320c ac a +-≤ ，两边同时除以2a ， 得23210e e +-≤且01e <<， 解得：103
e <≤
. 故答案为：10,3⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【点睛】
方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到
,,a b c 的等量关系求解.
9．－2【分析】可先设由斜率的定义表示出结合抛物线方程进行坐标代换全部代换成关于纵坐标的表达式通过即可求解【详解】设则同理∵∴得∴又∴故答案为－2【点睛】本题考查抛物线的几何性质设而不求方法的具体应用运
解析：－2 【分析】
可先设()11,A x y ，()22,B x y ，由斜率的定义表示出AB k ，PA k ，PB k ，结合抛物线方程进行坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过0PA PB k k +=即可求解 【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，
则2121222121124
44
AB y y y y k y y x x y y --=
==
-+-.
112111224
121
4
PA y y k y x y --===
-+-，同理242PB k y =
+. ∵0PA PB k k +=，∴
1244
022y y +=++，得124y y +=-. ∴4
14AB k =
=--. 又2
21
OP k ==，∴122AB OP k k ⋅=-⨯=-.
故答案为－2 【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题
10．【分析】先求出再求出和最后建立方程求即可【详解】解：由题意联立方程组解得或因为P 在x 轴上方所以因为抛物线C 的方程为所以所以因为所以解
得：故答案为：【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系抛物线的几何性
解析：5+【分析】
先求出(5P +
、(5
26,Q -、(1,0)F
，再求出
(4PF =
---
和(4FQ =-
，最后建立方程求λ即可.
【详解】
解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩
，解得5
x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩因为P 在x
轴上方，所以(5P +
、
(5Q -, 因为抛物线C 的方程为2
4y x =，所以(1,0)F ，
所以
(426,
PF =-
--，(4FQ =-
因为PF
FQ λ=
，所以(4
(4λ---=-，
解得：5λ=
=+，
故答案为：5+【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题
11．【分析】过点作轴垂直为由三角形相似得到点的坐标代入椭圆方程变形求椭圆的离心率【详解】设过点作轴垂直为代入椭圆方程得解得：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的性质重点考查数形结合分析问题的能力本题的关键是 【分析】
过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，由三角形相似得到点C 的坐标，代入椭圆方程，变形求椭圆的离心率. 【详解】
()1,0F c -，()2,0F c 设2,b A c a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，
过点C 作CD x ⊥轴，垂直为D ，12
2Rt AF F Rt CDF ,
2211221
2
DF F C CD AF F F AF ∴
===， 22,2b C c a ⎛⎫∴- ⎪⎝
⎭，代入椭圆方程得22222
2222
441144c b c a c a a a a -+=⇒+=，
解得：
5
5
c e a =
=
.
5
【点睛】
本题考查椭圆的性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是利用三角形相似求得点C 的坐标，属于中档题型.
12．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和 2
【分析】
由题意联立方程组可得A am x ka b -=
+、B am
x b ka
=-、2
1N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用2
21b e a
=+即可得解. 【详解】
由题意双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a
=±，
则A y kx m
am x b ka b y x a =+⎧-⎪
⇒=⎨+=-⎪⎩
，同理B
am x b ka =-， 联立211N y kx m
km x k y x k =+
⎧⎪
⇒=⎨-=⎪⎩
， N 为AB 的中点，
∴2A B N x x x +=，即
2
21am am mk
b ka b ka k
-+=+--，
整理得221b a =，∴e ==
. 【点睛】
本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.
13．【分析】由题意可设椭圆方程为且利用椭圆定义及两点间的距离公式求得结合隐含条件求得则可求出椭圆方程【详解】解：由题意可设椭圆方程为且由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点距离之和等于得则则椭圆方程为：故答案为
解析：22
1106
y x +=
【分析】
由题意可设椭圆方程为22
221,(0)x y a b b a
+=>>，且2c =，利用椭圆定义及两点间的距离公
式求得a ，结合隐含条件求得b ，则可求出椭圆方程． 【详解】
解：由题意可设椭圆方程为22
221,(0)x y a b b a
+=>>，且2c =，
由椭圆的定义，椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于2a ．
2a ∴==
得a =b ==
则椭圆方程为：22
1106y x +=．
故答案为：22
1106
y x +=.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查了利用椭圆定义求椭圆的标准方程，属于基础题．
二、解答题
14．（1）()()–,12,∞+∞；（2）13
,38⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
.
【分析】
（1）根据曲线方程，列式()()120m m --<，求m 的取值范围；（2）分别求两个命题为真命题时，m 的取值范围，根据命题的等价性转化为p 是q 的充分不必要条件，转化为真子集关系，求实数a 的取值范围. 【详解】
（1）由()()120m m --<，
得1m <或2m >，即()()–,12,m ∈∞⋃+∞
（2）命题p ∶由()()()3400m a m a a --<>，得34a m a <<．
命题q ∶
22
112x y m m
+=--表示焦点在y 轴上的椭圆， 则102021
m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩
，解得312m <<，
因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，
则31
342a a ≥⎧⎪
⎨≤⎪⎩
，解得1338a ≤≤，
故实数a 的取值范围为：13,38⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
15．（1）22143
x y +=；（2）证明见解析；22
127x y +=.
【分析】
（1）根据条件得出
221914a b +=且12
c a =，解出,a b 即可得出方程； （2）设出直线方程，联立直线与椭圆，由OA OB ⊥得0OA OB ⋅=
，由此可得
=
. 【详解】
（1）由椭圆经过点31,
2P ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，离心率12e =得： 221914a b +=且1
2
c a =. 解得2a =，1c =
，b =
所以椭圆C ：22143
x y +=.
（2）当直线AB l 的斜率不存在时，设直线为x m =，
则由OA OB ⊥可得(),A m m ±，代入椭圆得22143
m m +=，解得2
127m =，
则与直线AB l
相切且圆心为原点的圆的半径为m =， 即圆的方程为2
2
127
x y +=
； 当斜率存在时，设直线AB l 的方程为：y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程2214
3y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得到：()()222
348430k x kbx b +++-=.
所以122834kb
x x k +=-+，()
21224334b x x k
-=+. 因为OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=， 又因为11y kx b =+，22y kx b =+，
故()()12121212x x y y x x kx b kx b +=+++()
()2
2
121210k x x kb x x b =++++=，
将122834km x x k +=-+，()21224334b x x k -=+代入上式，得到： ()()2222
22
2413803434k b k b b k k
+--+=++， 去掉分母得：()(
)
()2
2
222
2
4138340k b k b b k +--++=，
去括号得：22712120b k --=，
=
又因为与直线AB l
相切且圆心为原点的圆的半径r ==
=
所以该圆方程为2
2
127x y +=
， 综上，定圆方程为2
2
127
x y +=. 【点睛】
方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.
16．（1）221164
x y +=；（2
）4k =±
. 【分析】 （1
）由离心率e =
2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=
，从而得
5
d =
=
，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程； （2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线
()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得
2234214M x x k x k +-=
=+，2
1
114M M
y kx k =+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值 【详解】 解：（1
）因为
2
c a =
，222a c b -=，所以2a b =. 因为原点到直线1:
B x a A y b -=
的距离5d ==，解得4a =，2b =.
故所求椭圆C 的方程为22
1164
x y +=.
（2）由题意2211164
y kx x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y ，整理得()22
148120k x kx ++-=.可知0∆>.
设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则22
34214M x x k
x k +-=
=+，2
1
114M M y kx k =+=
+，
因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，
所以
2
1M M
y k x +⋅=-， 所以20M M x ky k ++=.即22
4201414k k
k k k
-++=++. 又因为0k ≠，所以2
18k =.
所以4
k =±. 【点睛】
关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将
EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M 的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题
17．（1）22
31143
y x -=；（2）()4,2. 【分析】
（1）由渐近线方程设双曲线方程为()22
094
x y λλ-=≠，代入点P 的坐标可得双曲线方
程；
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入双曲线方程，应用韦达定理和中点坐标公式可得． 【详解】
（1）由双曲线的渐近线方程23y x =±，可设双曲线方程为()22
094
x y λλ-=≠.
∵
双曲线过点)
P ，∴
6494λ-=，1
3λ=-，故所求双曲线方程为2231143
y x -=.
（2）由2
2
4x y y x
-=⎧⎨
=⎩得2840x x -+=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x +=，121244y y x x +=+-=， 故线段AB 的中点坐标为()4,2. 【点睛】
方法点睛：本题考查求双曲线方程，考查弦中点坐标．已知双曲线的渐近线方程为
0mx ny ±=，则双曲线方程可设为2222
m x n y λ-=，代入其他条件求得λ即可得，这种
方法不需要考虑双曲线的焦点所在轴． 18．（1）()2
302y x x =>；（2
）2
. 【分析】
（1）设(),N x y ，由已知向量的数量关系及位置关系得()()3,2,0y x y ⋅-=，即可知N 的轨迹C 的方程；
（2）由直线与抛物线相交关系，令直线AB 的方程为：2x my =+，()11,A x y ，
()22,B x y ，联立方程，应用根与系数关系有12120
323
y y m y y ∆>⎧⎪⎪
+=⎨⎪
=-⎪⎩，结合已知条件、弦长公式即
可求AB .
【详解】
（1）设点(),N x y ，由1
2
PN PQ =
，得()0,2P y ，(2,0)Q x ， 由0MP PN ⋅=得()()3,2,0y x y ⋅-=， 所以2
3
2
y x =．又因为点Q 在x 轴的正半轴上， ∴()2
3
02
y x x =
>． （2）设直线AB 的方程为：2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立2232x my y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去x 得：2
2360y my --=，故12120
323
y y m y y ∆>⎧⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，
又AOT 的面积是BOT 面积的2倍，得122y y =-，联立方程解得2
23
m =
，
由弦长公式可得：12AB y y =-=． 【点睛】 关键点点睛：
（1）由向量的数量关系，应用向量的坐标表示求动点轨迹方程.
（2）根据直线与抛物线相交，设直线方程2x my =+并联立抛物线方程，得到12y y +、
12y y 结合已知求参数m ，根据弦长公式求弦长.
19．（1）22
1
43
x y +=；（2）32． 【分析】
（1）由椭圆上的点、离心率和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,,a b c ，进而得到椭圆方
程；
（2）根据平行关系进行转化可知PQO
S S
=，在直线斜率不存在时易求得结果；当直线斜
率存在时，利用弦长公式和点到直线距离公式分别求得三角形的底和高，进而得到
S =，利用函数值域求解方法可求得S 的取值范围；综合两种情况可得结果.
【详解】
（1）由
22 222 33
1
4
1
2
a b
a b c
c
e
a
⎧
+=
⎪
⎪
=+
⎨
⎪
⎪==
⎩
得：2
a=，3
b=，1
c=，
∴椭圆C的方程为
22
1
43
x y
+=．
（2）连接OR，PO，
,O R分别为
122
,
F F PF的中点，
1
//
OR PF
∴，
1
PF R
∴与
1
PF O同底等高，
11
PF R PF O
S S
∴=，
11
QF O PF E PQO
S S S S
∴=+=．
①当直线PQ的斜率不存在时，其方程为1
x=-，
此时
1333
1
2222
PQO
S
⎡⎤
⎛⎫
=⨯⨯--=
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
；
②当直线PQ的斜率存在时，设其方程为：()1
y k x
=+，
设()
11
,
P x y，()
22
,
Q x y，显然直线PQ不与x轴重合，即0
k≠；
联立
()
22
1
1
43
y k x
x y
⎧=+
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
得：()222
2
3484120
k x k x k
+++-=，()
2
14410
k
∆=+>，则
2
122
8
34
k
x x
k
+=-
+
，
2
122
412
34
k
x x
k
-
=
+
，
()
()2
22
1212122
121
114
34
k
PQ k x k x x x x
k
+
∴=+-=++-=
+
，
又点O到直线PQ的距离
2
1
k
d
k
=
+
12S PQ d ⋅∴==()2
343,a k =+∈+∞，
则
S == ()3,a ∈+∞，110,3a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()23210,1a a ∴--+∈，30,2S ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
；
综上所述：30,2
S ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦，则S 的最大值为32
． 【点睛】
思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中与三角形面积有关的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出三角形面积，将面积转化为关于变量的函数的形式； ④利用函数值域的求解方法可求得所求面积的取值范围或最值. 20．（1）2y x =；（2）证明见解析，1,0t t ==. 【分析】
（1）由准线方程为1
4x =- 求得12
p =，得解抛物线C 的方程
（2）设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），联解后，利用原点O 落在以AB 为直径的圆上得0OA OB ⋅= 得到12120x x y y +=得解 【详解】
（1）由准线方程为14x =-可设抛物线C 的方程2
2(0)y px p =>
求得12
p =
故所求的抛物线C 的方程为：2y x =
（2）依题意可设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈）， 设1122(,),(,)A x y B x y
由2x my t y x
=+⎧⎨=⎩得：2y my t =+ 依题意可知0∆>，且12y y t =-
原点O 落在以AB 为直径的圆上令0OA OB ⋅=
即()2
22
12121212t 0x x y y y y y y t +=+=--=
解得：1,0t t ==即t 为常数，∴ 原题得证 【点睛】
本题利用0OA OB ⋅=得到12120x x y y +=是解题关键.
21．（1）22
142
x y +=；（2）220x y ±+=.
【分析】
（1
）根据条件得到22
c b a ==222a b c =+计算出22,a b 的值，由此求解出椭圆的标准方程；
（2）根据条件分析出M 点位置，设出M 点坐标并根据位置关系表示出B 点坐标，结合圆的方程和椭圆方程求解出M 点坐标，则直线AB 的方程可求. 【详解】
（1
）根据条件可知：222
2c a b a b c ⎧=
⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为：
22
142
x y +=； （2）因为AOB 的面积是AOM 的面积的2倍，所以M 为AB 的中点， 设()00,M x y ，又()2,0A -，所以()0022,2B x y +，因为M 在圆上且B 在椭圆上，
所以有()()22
022
00892221
42x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩
，所以2
00918160x x --=
且0x ≤≤ 解得：023x =-
，所以02
3
y =±，所以()20132223AB k -==---或()2
132223
AB k --==----，
所以()1
:22
AB l y x =±+，即220x y ±+=. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是能通过面积关系分析出M 点的位置（此处涉及转化思想），然后利用坐标运算求解出点M 的坐标，从而求解出直线方程.
22．（1
）(0,F
，焦距为2c =2）MNF
直线l
的方程为6y =+；（3）存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立． 【分析】
（1）利用椭圆方程求出a ，b ，然后求解c ，即可得到结果．
（2）设直线:6l y kx =+，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．
（3）由（2）得122122k
x x k -+=+，12
2242
x x k =+，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线l 的斜率不存在时，直线l 也过定点(0,2)S ，即可．
【详解】
（1）椭圆22
:1126
y x Γ+=
，可得a =
b
，所以c =
(0,F
，焦距为2c =；
（2）由题意得直线l 的斜率存在，设直线:6l y kx =+，
由22
11266y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()22212240k x kx +++=， 所以(
)(
)
2
2
2
1449624840k k k ∆=-+=->，故240k ->， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122122k
x x k -+=+，122
242
x x k =+，
所以
12MN x =-==
===
(
或用MN = 点F 到直线l
的距离d =
所以
162MNF
S MN d =⋅==△
， 令0t =
>
，则
)
)
2
16
6
66
MNF t
S t t t
==++△，
所以
6
MNF S ≤=
△，当且仅当k =时取等号，
所以
MNF
l 的方程为6y =+；
（3）当直线l 的斜率存在时，由（2）得122122k
x x k -+=+，12
2242
x x k =+， 因为RSM RSN π∠+∠=，所以0MS NS k k +=，
即1212
0y t y t
x x --+=，所以()()21120x y t x y t -+-=， 所以()()2112660x kx t x kx t +-++-=， 所以()()1212260kx x t x x +-+=， 所以()()222
2412122620222
k k
k
t t k k k -+-=-=+++， 因为0k ≠，所以2t =，所以()0,2S ，
当直线l 的斜率不存在时，直线l 也过定点()0,2S ，
故y 轴上存在定点()0,2S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立． 【点睛】
关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将RSM RSN π∠+∠=恒成立转化为0MS NS k k +=，利用两点连线斜率的坐标公式以及根与系数的关系，求出定点，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．
23．（1）2212x y +=；（2
）5
±.
【分析】
（1）根据条件解关于,a c 的方程组即可得结果；
（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理，可求得中点坐标，代入圆方程解得m 的值. 【详解】
（1
）由题意，得22
2
1c a a c ⎧=
⎪⎨⎪=+⎩
，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆的标准方程为2
212
x y +=．
（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，线段EF 的中点为()00,M x y ．
联立22
12
y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，2234220x mx m ++-= 120223x x m x +=
=-，003m y x m =+=，即2,33m m M ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，()(
)
2
2443220m m m ∆=-⨯⨯->⇒<．
又因为点M 在圆2
2
1x y +=上，所以22
2133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得m =，满足题意． 【点睛】
关键点睛：本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程，解题的关键是熟悉中点坐标公式，本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12x x +，求出中点坐标，再将其代入圆中求解，考查了学生的基本分析转化求解能力，属中档题.
24．（1）221259x y +=；（2）22
12575
y x -=
【分析】
（1
4
5||
4
x =-，化简即可求得其方程； （2）设双曲线的方程为22
1(0)mx ny mn -=>，代入A ，B 的坐标，解方程即可得到所
求双曲线的方程； 【详解】
（1）因为点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线25:4
l x =
的距离的比是常数45
4
5||
4
x =-．
将上式两边平方，并化简，得2
2
925225x y +=．
即221259
x y +=． （2设双曲线的方程为22
1(0)mx ny mn -=>，
将点A ，B 坐标代入可得9281m n -=，且72491m n -=， 求得175m =-
，125
n =-． ∴双曲线的标准方程为22
12575
y x -=．
【点睛】
求轨迹方程的常见方法：定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等，解题时应根据题设条件灵活应用.
25．（Ⅰ）2
214
x y +=；（Ⅱ
）(4,．
【分析】
（Ⅰ）依题意2a =
，c =
222a c b -=求解b 的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A ，B 横纵坐标的和与积，进一步求得AB 的垂直平分线方程，求得Q 的坐标，由两点间的距离公式求得||PQ ，由弦长公式求得||AB ，作比后求得||
||
AB PQ 的取值范围． 【详解】
解：（Ⅰ）由题意得2a =
，c =
因为222a c b -=
，即2
222b -=
，所以1b =．
所以椭圆C 的方程是2
214
x y +=．
（Ⅱ）由22
(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222
(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122
814k x x k +=+，212244
14k x x k -=+， 12122
2(2)14k
y y k x x k -+=+-=
+．
所以线段AB 的中点坐标为222
4(,)1414k k
k k
-++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为2
22
14()1414k k y x k k k --
=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 2
2
3(,0)14k
k
+，又点(1,0)P ， 所以22
223111414k k PQ k k
+=-=++．
又AB =
=．
于是，22
||141||14AB k k PQ k +===++ 因为0k ≠，所以2
2
1331k <-
<+． 所以||||
AB PQ
的取值范围为(4,．
【点睛】
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情。