阻尼振动和受迫振动

2-2 谐振子的阻尼振动
0
K
实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和 阻力共同作用的振动叫阻尼振动振动系统受介质 的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反。
f cv
f cv2
以弹簧一维振动为例
F F弹 fr ma
dx fr v dt
v F弹 , f
x ox
弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
22 2 22 2 2 22
4 (cos2 cos2 sin2 sin2 )
22 2
22
4 [1 (1 cos) 1 (1 cos ) 1 (1 cos) 1 (1 cos )]
22
2
2
2
cos cos
合成振动表达式：
x(t) Acos(1t ) Acos(2t )
阻尼振动和受迫振动
1.5 简谐振动的能量 • 简谐振动的动能：
km X
ox
x(t) Acos(0t 0 )
以水平的弹簧振子为例
0 k / m
Ek
1 2
mV
2
1 2
mA 2 02
sin2 (0t
0 )
1 2
kA2
sin 2 (0t
0)
• 简谐振动的势能：
f弹性力
kx
dE p dx
Ep
1 2
kx2
刚刚不能作准周期振动，而很快回到
平衡位置的情况，应用在天平调衡中。
是从有周期性因子 02到无 2周期性的临界点。
x
欠阻尼 过阻尼
临界阻尼
o
t
三种阻尼振动比较
§3 谐振子的受迫振动 共振 3-1 谐振子的受迫振动
CAIUPS
阻尼力： fr v x
设强迫力 f H cos pt
d2x dt 2
陆果一书讨论阻尼弹簧振子的相图。p168
通常称 Ap与p 的关系曲线为频率响应曲线。
当 Ap max(Ap ) / 2 时，即相对振幅为 0.707 (即相对强度为1/2) 处曲线宽度，定义为共振 峰的宽度 或共振带宽。可证明在弱阻尼的情
况下，共振带宽为： p p 2
Ap
Ap / 2
频率响应曲线
Ek
1 2
mV
2
1 2
k 2 A2
sin2 (0t
0 )
Ep
1 2
kx 2
1 2
kA2
cos2 (0t
0 );
V
E 1 mV 2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
o
x
简谐振动在相空间中的轨迹为椭圆。 V 2 x2
a2 b2 1
§2 谐振子的阻尼振动
2-1 无阻尼的自由振动T 2 2 m
2 0
2
2
共振的角频率。
代入
0
arctg
2p
2 0
p2
共振时的初相位 0r arctg
2 0
2
当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的 位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，
简称共振（resonance)。
当 0 弱阻尼时
共振发生在固有频率处，称为尖锐共振。
pr 0 , Ar , 0r 2
仍然是同频率 的简谐振动。
x1(t ) A1 cos(t 1) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
x(t) x1(t) x2 (t)
( A1 cos1 A2 cos2 ) cost ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) sin t
合振幅 A cos cost Asin sin t
受迫振动相位落后于强迫力相位 2，即振动速度
与强迫力同相位，即外力始终对系统作正功，对 速度的增大有最大的效率。这正是振动振幅急剧 增大的原因。
但是，随着振幅的增大，阻力的功率也不 断增大，最后与强迫力的功的能量，也叫共振 吸收。
2T0 0
4
结论：
* 即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且 等于总机械能的一半
* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
* 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还 反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。
这些结论同样适用于任何简谐振动。
1.6 相图
坐标和速度组成的坐标系，称为相空间。
在相空间中，用每一点表示运动状态，可得出相图。
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
显然，拍频是振动 cos( 即拍频为：
2
2
1
t
)的频率的两倍。
2
1
2
(2
1 )
2
2
1
Wave
x(t)
t
2 (2 1 )
2
4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互
垂直的同频率简谐振动，即
x A1 cos(t 10 ); y A2 cos(t 20 )
p p p
定义振动系统的品质因数： Q 0 2
Ap Ap / 2
频率响应曲线 为了简单起见，先讨论两个振幅相同，
2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 受迫振动可以看成是两个振动合成的。
p p
其中
是积分
1 同方向、同频率的简谐振动的合成
第二项为策动力产生的周期振动。
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
( 2
2 02 )t
两项都衰减，不是周期振动。
其中C1，C 2是积分 常数，由初始条件
x(t)
来决定，这种情况 称为过阻尼。
t
无振动发生。
过阻尼
（3）如果
2
2 0
方程的解：
x(t) (C1 C2t)e t
x(t)
C1 , C2 是由初始条件 决定的积分常数。
t
临界阻尼
2
2 0
称之为临界阻尼情况。它是振动系统
讨论：
p 0 ,
H /m h Ap p2 p2
较小
p 0 ,
Ap
H /m
2 0
H k
p 0,
H /m
Ap 20
若 很小，Ap很大。
3-2 共振
求振幅 Ap 得出
h
对频率的极值，
(
2 0
p2 )2
4
2
p2
振幅有极大值：
h
Ar
2
2 0
2
pr
2 0
2
2
共振的振幅。 共振的角频率。
pr
•第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。
开始时运动比较复杂，当第一项衰减为 0 后， 只作 受迫振动，振动频率为策动力的频率。
经过足够长的时间，称为定态解：
x(t) Ap cos( pt 0 )
该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；
稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：
Ap
h
(
2 0
p2
由初始条件决定A和初相位 0 ,设
t 0, x (0) x0 ,
即有：x0 Acos 0
dx dt t0 V0
V0 A sin 0 A cos 0
x(t)
A
x02
(V0
x0 2
)2
,
t
tg0
V0 x0 x0
欠阻尼
（2）阻尼较大时，
2
2 0
方程的解：
x(t) C1e(
C e 2 02 )t
2Acos (2 1）t cos[(2 1)t ]
2
2
当1与2 都很大，且相差甚微时，可将
| 2Acos(2 1)t / 2 |视为振幅变化部分，
合成振动是以 (2 1) / 2 为角频率的谐振动。
其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种
合振动忽强忽弱的现象称为拍。
mx kx x
令：
2 0
k m
;
2m
mx kx x
称 0为振动系统的固有角频率，称 为阻尼系数
d2x dt 2
2
dx dt
02
x
0
为二阶常系数齐次微分方程。
x c e c e 通解
( 2 02 )t 1
( 2 02 )t 2
（1）阻尼较小时， 2 02 x e t (c1e it c2e it )
0
)dt
kA2 2 0 sin2 x dx 1kA2
2T0 0
4
求出势能的时间平均值:
EP
1 T
T 0
1 2
kA2
cos2 (0t
0 )dt
kA2 2 0 cos2 x dx 1kA2
2T0 0
4
求出势能的时间平均值:
E p
1 T
T 0
1 2
kA2
cos2
(0t
0
)dt
kA2 2 0 cos2 x dx 1kA2
利用三角函数关系式：
cos cos 2 cos cos
2
2
合成振动表达式：
x(t ) Acos(1t ) Acos(2t )
附录：三角函数关系式的证明
4 cos cos
22
2
4 (cos cos sin sin )(cos cos sin sin )
)2
4
2
p2
0
arctg
2p
2 0
p2
在受迫振动中，振子因外力对它作功而获得能量， 同时又因有阻尼而损耗能量。受迫振动开始时，前者 大于后者，从而振动逐渐加强，随着振动加强，损耗 能量增多，直到获得能量恰好补偿损耗的能量时，达 到稳定状态。
强调：无阻尼的线性振子的振动与受迫稳态振动，从 运动学角度看，都是简谐振动。但从动力学角度看二 者有本质的区别：线性振子是保守的孤立系统，系统 机械能守恒，有其自身的固有频率；而受迫稳态振动 是开放的耗散系统，它不断从策动力源吸收能量，同 时又由于阻尼而耗散能量，它只按外力的频率振动。 并且受迫振动的振幅、初位相只由振动系统和外力性 质决定，而与初始条件无关。
A1 cos1 A2 cos2
讨论一：
2 1 2k k 0,1,2,
A A1 A2 合振幅最大。
当 A1 A2 称为干涉相长。
A A2
A 2 A1
A1
讨论二：
2 1 (2k 1)
k 0,1,2,
A2
A | A1 A2 |
A A1
当 A1 A2时，A 0 称为干涉相消。
则系统的阻尼损耗越大，能量衰减越快。
本讲提纲 §4 简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成
4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成
§4 简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成
结论：
•• 代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位
1 2
kA2
cos2 (0t
0 );
• 简谐振动的总能量：
E Ek Ep
1 2
kA2 [sin 2
(0t
0
)
cos2
(0t
0
)]
1 2
kA2
E 1 kA2
Ek
Ep
2
A o
A
弹性力是保守力总机械能守恒， 即总能量不随时间变化。
求出动能的时间平均值:
Ek
1 T
T 0
1 2
kA2
sin
2
(0t
2
dx dt
2 0
x
h cos
pt
令
2 0
k ;
m
；h
2m
H m
是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。
由微分方程理论： 非齐次微分方程的通解=
齐次微分方程的解+非齐次的一个特解。
2
2 0
，则其通解为：
x(t) Ae t cos(
2 0
2
t
0
)
Ap
cos(
pt
0
)
受迫振动可以看成是两个振动合成的。
x A1
cost cos10
sint sin10
y A2
cost cos 20
sint sin 20
x A1
cos 20
y A2
cos 10
sin t
sin( 20
10 )
x A1
cos 20
y A2
cos10
求出势能的时间平均值:
定义振动系统的品质因数： Q 值的意义，不仅表征了受迫阻尼振动系统
2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。
0
当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的
p
2
Q值的意义，不仅表征了受迫阻尼振动系统 频率选择性能的好坏，而且系统 Q 值越低，
讨论三： 一般情况：
A2
2 1 k
A A1
| A1 A2 | A | A1 A2 |
4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成
为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为：
x1(t ) Acos(1t )
x2 (t ) Acos(2t )
Acos(t )
式中： A A12 A22 2 A1A2 cos( 2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos 2
可见：
2 1 2k
A A1 A2
合振幅最大。
k 0,1,2,
A A2 A1
•• 几何方法 Y
A
A2
A2 sin 2
02 2
x(t ) Aet cos(t 0 )
x Ae t cos(t )
振幅项 Aet 随时间周期性衰减。 x
•周期因子 cos(t )
Ae t
振动周期
T 2
o
02 2
t
T 2
2 0
2
无阻尼时
T0
2 0
T T0 有阻尼时，周期慢长。
阻力使周期增大 这种情况称为欠阻尼
2
A1
1
A1 sin 1
A1 cos1 A2 cos2
X
A A12 A22 2 A1A2 cos( 2 1)
arctg A1 sin1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos 2
上面得到：
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1) arctg A1 sin 1 A2 sin 2