IIR数字滤波器要点

IIR
低
通
数
字
滤
波
器
设
计
院系：信院电子系
专业：电子信息工程
学号
姓名
目录
摘要 (2)
第1节 IIR数字滤波器的设计 (3)
1.1 IIR数字滤波器的主要技术指标 (4)
1.2 IIR数字滤波器的设计过程 (4)
1.3双线性变换法设计IIR数字滤波器 (5)
第2节 IIR数字滤波器的实现 (6)
2.1切比雪夫数字滤波器的设计 (6)
结论 (12)
致谢 (13)
参考文献 (14)
摘要
数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号等等。

上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。

模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。

数字滤波器技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。

无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。

在所有的电子系统中，使用最多最复杂的要算数字滤波器了。

数字滤波器是数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外，还有灵活性强、稳定性好、滤波精度高等优点。

第1节 IIR 数字滤波器的设计
1.1 IIR 数字滤波器的主要技术指标
在设计IIR 数字滤波器之前，首先了解数字滤波器的技术指标，才能将其转化成满足要求的模拟滤波器技术指标，再将模拟滤波器转化成数字滤波器。

数字滤波器的主要技术指标为：(1) 特征频率参数 滤波器的频率参数主要有：①通带截止频率/2p p f ωπ=：为通带与过渡带的边界点，在该点信号增益到规定的下限。

②阻带截频/2r r f ωπ=：为阻带于过渡带的边界点，在该点信号衰减到规定的下限。

③转折频率/2c c f ωπ=：为 信号功率衰减到1/2(约为3dB )时的频率，但在多数情况下也常以c f 作为通带或阻带截频。

④当电路没有损耗时，固有频率/2f ωπ=，就是其谐振频率。

(2) 增益和衰减 滤波器在通带内的增益并不是常数。

①对低通滤波器来说，通带增益p K 一般指0ω=时的增益；对于高通而言，通带增益p K 指ω→∞时的增益；对于带通而言，通带增益p K 则指中心频率处的增益。

②对带阻滤波器而言，应给出阻带衰减，衰减定义为增益的倒数。

③通带增益变化p K ∆指通带内各点增益的最大变化量，如果p K ∆以dB 为单位，则指增益dB 值的变化量。

(3) 阻尼系数与品质因数 阻尼系数α是表征滤波器对角频率为ω信号的阻尼作用，同时是滤波器中表示能量衰减的一项重要指标，也是与传递函数的极点实部大小相关的一项系数。

阻尼系数的倒数1/α称为品质因数Q ，是评价带通和带阻滤波器频率选择特性的一个重要指标，它可以表示为Q ω
ω=。

其中ω为带通或带阻的3dB 带宽，ω为中心频率，在多数情况
下中心频率等于固有频率。

1.2 IIR 数字滤波器的设计过程
IIR 数字滤波器的设计一般有两种方法：一个是借助模拟滤波器的设计方法
进行。

其设计步骤是，先设计模拟滤波器，再按照某种方法转换成数字滤波器。

这种方法比较容易一些，因为模拟滤波器的设计方法已经非常成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外一种直接在频率或者时域内进行，由于需要解联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。

其设计步骤是：先设计过渡模拟滤波器得到系统函数)(s H a ，然后将)(s H a 按某种方法转换成数字滤波器的系统函数)(z H 。

利用模拟滤波器成熟的理论设计IIR 数字滤波器的过程是：
(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带边界频率p ω、通带最大衰减p α、阻带截止频率s ω、阻带最小衰减s α。

(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。

(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器。

(4)用所选的转换方法，将模拟滤波器)(s H a 转换成数字低通滤波器系统函数)(z H 。

IIR 数字滤波器的设计流程图如下： 图1.1 IIR 数字滤波器的设计步骤流程图
1.3双线性变换法设计IIR 数字滤波器
一 设计原理
脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。

这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用z =e sT 转换到Z 平面上。

也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S 1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z =e s 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。

这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现
⎪⎭
⎫
⎝⎛Ω=
Ω2tan 21T T 式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。

将式（2-6）写成
2
/2
/2/2/111.2T j T j T j T j e e e e T j Ω-ΩΩΩ+-=Ω
将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s 1，则得
T s T s T s T s T s T s i i i i i e e T T s T e e e e T s ----+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+-=11.22tanh 2.21
12/2/2/2/
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面
T s e z 1=
从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：
1
1
112--+-=z z T s s
T s T s T s T z -+=-+
=222121 这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换
式与式的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。

首先,把z =e j ω，可得
Ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=--j T j e e T s j j 2tan 2112ωωω
即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。

其次，将s =σ+j Ω代入式（2-12），得
Ω--Ω++=j T j T z σσ2
2
因此
22
22
22Ω+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
σσT T z
由此看出，当σ<0时，|z |<1；当σ>0时，|z |>1。

也就是说，S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。

因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

第2节 IIR 数字滤波器的实现
2.1切比雪夫（Chebyshev ）数字滤波器的设计
切比雪夫Ⅰ型滤波器在通带内幅度特性是等波纹的，在阻带内是单调的。

切比雪夫Ⅱ滤波器在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的。

切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的幅度平方函数为：
)
(11
)(2
2
2
c N a j j C j H ΩΩ
+=
Ωε
上式结果是一个正实数，式中的ε是一个小于1的正数，它与通带的波纹有关，ε越大，波纹越大，c Ω为通带的截止频率，()N C x 时N 阶切比雪夫多项式，定义为：
{
1))(cos cos(1
))((11)(≤--=
x x N x x Nch ch N x C
切比雪夫滤波器的传递函数参数确定：ε，c Ω，N 。

当N 大于或等于1时，切比雪夫多项式递推公式为：
)()()(11x C x NC x C N N N -+-=
切比雪夫滤波器的阶数N 等于通带内等幅波动的次数，即最大值和最小值的总数，可由下式确定
0.10.5(10
1)p
A ε=-，0.10.5(10
1)s
A λ=-
其中,ελ均为与衰减有关的参数，A p 为通带内的最大衰减，As 为阻带内的容许衰减，它们的单位为dB 。

因为滤波器的幅度平方函数为：
2
2
22
11
)
(11
)(λε+=ΩΩ+=Ωc
N a j j C j H
进而化简得到：(
)N c j C j λ
ε
Ω=Ω，又因为(/)1c ΩΩ>，由式(4-7)得到： ελ
=
ΩΩ=ΩΩ-))/((/j 1
c
c N j j Nch ch j C ）（
故滤波器的阶数N 为：
)
(
)(11e ch ch N ΩΩ≥
--ε
λ
若要求阻带截止频率上的衰减越大，或过渡带内幅度特性越陡，则所需的阶数N 越高。

从式中可知切比雪夫滤波器的幅度平方函数也只有极点没有零点，且只需求出左半平面的极点，所以一旦求出ε，c Ω，N ，就能确定()a H s 。

利用MATLAB 设计切比雪夫滤波器的实例。

A 、现在以MATLA
B 的函数cheblap(语法：［z,p,k ］=cheblap(n ，rp)，其中n 为阶数，rp 为通带的幅度差，z,p,k 分别代表零点，极点，增益)为工具设计切比雪夫Ⅰ滤波器。

设计技术指标为：通带截止频率410/c rad s Ω=，通带的最大衰减3p A dB =，阻带截止频率4410/s rad s Ω=⨯，阻带的最小衰减35s A dB =。

程序如下：
a=10000;b=40000;AP=3;AS=35; %技术指标 T1=sqrt(10^(0.1*AP)-1); T2=sqrt(10^(0.1*AS)-1);
N=ceil(acosh(T2/T1)/acosh(b/a)); %求阶数
[Z,P,K]=cheb1ap(N,AP); %求零、极点，增益 syms rad; %定义基本符号对象 hs1=K/(i*rad-P(1))/(i*rad-P(2))/(i*rad-P(3)); hs2=10*log10((abs(hs1))^2);
ezplot(hs2,[-15,15]); %绘制符号表达式的二维曲线 grid on; %画坐标网格线 仿真图形如图1.2所示：
图1.2切比雪夫Ⅰ型带通滤波器响应曲线
B、实际上利用MATLAB的cheby1 函数设计出切比雪夫I型低通的模拟滤波器，然后采用变换的方法得到数字的高通、低通、带通和带阻滤波器。

利用[b,a]=cheby1(n,Rp,Wn,‘ftype’)方式设计出阶数为n、截止频率为Wn、带通波纹最大衰减为Rp 的数字低通滤波器。

其中参数ftype 的形式决定了滤波器的形式，当它为‘high’时得到滤波器为n 阶的、截止频率为Wn 的高通滤波器。

若Wn 是一个含有两个元素向量[w1 w2]，则cheby1 函数返回值是阶数为2n 的带通滤波器，滤波器的系统函数有理多项式的系数，通带范围是w1<W<w2。

利用MATLAB 中的cheby2 设计各种形式的滤波器的方法和利用cheby1 设计滤波器的方法相同，只是cheby2 设计出的滤波器在带阻是等波纹的，在带通是单调的；而cheby1 则恰好相反。

对于采样频率为1000 Hz 的采样信号，设计一个阶数为9 阶、截止频率为300 Hz 的低通chebyshevII 数字滤波器，其中滤波器在带阻的波纹为20 db，其设计程序如下，频率响应如图1.3
程序如下：
[b,a]=cheby2(9,20,300/500);
freqz(b,a,512,1000);
仿真图形如图1.3所示：
Frequency (Hz)
P h a s e (d e g r e e s )
Frequency (Hz)
M a g n i t u d e (d B )
图1.3 切比雪夫低通II 数字滤波器
对于采样频率为1000 Hz 的采样信号，设计一个阶数为9 阶、截止频率为300 Hz 的低通cheby1 数字滤波器，其中滤波器在带通的波纹为20db ，其设计程序如下，频率响应如图1.3
程序如下：
[b,a]=cheby1(9,20,300/500); freqz(b,a,512,1000); 仿真图形如图1.4所示：
050100150
200250300350400450500
-1000
-500
Frequency (Hz)
P h a s e (d e g r e e s )
050100150
200250300350400450500
-400
-300-200-100
Frequency (Hz)
M a g n i t u d e (d B )
图1.4切比雪夫低通I 数字滤波器
从仿真图像可以看出，所设计的滤波器技术指标都基本达到要求，滤波器的设计是成功的。

结论
通过对数字滤波器的设计，熟悉了MATLAB的运行环境，初步掌握了MATLAB 语言在数字信号处理中一些基本库函数的调用和编写基本程序等应用；熟悉了滤波器设计的一般原理，对滤波器有了一个感性的认识；学会了数字滤波器设计的一般步骤；加深了对滤波器设计中产生误差的原因以及双线性变换法优缺点的理解和认识。

总之，使理论联系了实际，巩固并深化了对课本基本知识的认识和理解，使理论得以升华。

致谢
本论文是在赵春雨老师的支持悉心指导下完成的。

她严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。

从课题的选择到项目的最终完成，令老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。

在此谨向赵老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意。

我还要感谢在一起讨论的室友，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，各位可敬的师长、同学、朋友给了我太多精神的鼓舞和学术上的帮助，再次表示衷心感谢!
参考文献
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