高三数学 专项精析精炼 考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题
1.（2012·山东高考理科·Ｔ10）已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
的离心率为
3
2.双
曲线
221
x y
-=的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，
则椭圆C的方程为（）
（A）
22
1
82
x y
+=
（B）
22
1
126
x y
+=
（C）
22
1
164
x y
+=
（D）
22
1
205
x y
+=
【解题指南】本题关键利用椭圆的对称性及双曲线
221
x y
-=的渐近线为x
y±
=，得出双
曲线
221
x y
-=的渐近线与椭圆C有四个交点，然后加上条件离心率为
3
2，即可求得椭
圆的方程.
【解析】选D.由于双曲线
221
x y
-=的渐近线为x
y±
=，以及椭圆的对称性可知以渐近线
与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，因为四边形面积为16，所以边长为4，所以椭
圆过点（2,2）.所以所以椭圆C的方程为
22
1 205
x y
+=
.
二、解答题
2.（2012·湖北高考理科·Ｔ21）与（2012·湖北高考文科·Ｔ21）相同
设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.
（2）过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
【解题指南】本题考查求轨迹的方法和直线与圆锥曲线之间的位置关系，解答本题的关键是把点M的坐标设出，用代入法求轨迹，再结合一定的运算能力求解.
【解析】
（1）如图
1.设
00(,),(,)
M x y A x y ，则由得
00001,,,x x y m y x x y y
m ==∴==
①.又A 是单位圆x 2+y 2=1上任意一点,则
22001x y +=②.把①代入②得曲线C 的方程为:2
2
21(0,1)y x m m m +=>≠.
当(0,1)m ∈ 曲线C 为以点22
(1,0),(1,0)m m ---为焦点的椭圆; 当(1,)m ∈+∞ 曲线C 为以点
22
(0,1),(0,1)m m ---为焦点的椭圆.
(2)如图2,3, 对任意的k>0 ,设1122111(,),(,),Q(-x ,-kx ),N(0,kx )
P x kx H x y 则,直线QN 的
方程为:
1
y=2kx+kx 将其代入椭圆方程并整理得:
222222211(m +4k )x +4k x x+k x -m =0
.
依题意设此方程的两根为:
12
-x ,x ,对任意的k>0,都有PQ ⊥PH,
又点H 在直线QN 上,所以
于是.又PQ ⊥PH,则PQ PH=0•u u u r u u u r
,即
222
1224(2-m )k x =0m +4k ,也就是
22-m =0,m>0,2∴Q . 故存在2,使得对任意的k>0，都有PQ ⊥PH. 3.（2012·辽宁高考文科·T20）如图，
动圆222
1:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：22
19x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A
分
别为
2
C 的左，右顶点.
(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积. (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.
【解题指南】（1）由于A,B,C,D 四点的对称性，可设出它们的坐标，利用坐标的某个变量来表示矩形面积，建立函数，求最值.（2）利用点的坐标，据直线方程的点斜式写出直线方程，求交点坐标，用交轨法求轨迹方程. 【解析】（1）由于A,B,C,D 四点的对称性， 设00000000(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ---- 则矩形ABCD 的面积为
0000
224S AB BC y x x y =⨯=⨯=，
由点00(,)A x y 在椭圆2219x y +=上，所以
2222
00001199x x y y +=⇒=-
从而22
2
2
22000
00199(1)()9924x x y x x =-=--+，故220091,22x y ==时，22
00x y 取得最大值9
4.
从而
0000
224S AB BC y x x y =⨯=⨯=取得最大值6.此时
2220055
t x y t =+=⇒（2）由000012(,),(,),(3,0),(3,0)A x y B x y A A --可得
直线1AA 的方程：
0(3)3
y y x x =
++--------------------①
直线2A B 的方程：
0(3)3
y y x x -=
----------------------②
设直线1AA 与直线2A B 的交点(,)M x y
由①②得
22
202
0(9)
9
y y x x -=
------------------------------③
由（1）知
22
00
19x y =-
------------------------------------④
④代入③整理得2
21(3,0)
9x y x y -=<-<， 因此点M 的轨迹方程为2
21(3,0)
9x y x y -=<-<.
4.（2012·辽宁高考理科·T20）如图，椭圆0C ：22
22
1(0
x y a b a b +=>>，a ，b 为常数)，
动圆
222
11:C x y t +=，
1b t a
<<.点
12
,A A 分别为
C 的左，右顶点，
1
C 与
C 相交于A ，B ，
C ，
D 四点.
(1)求直线1
AA 与直线
2A B
交点M 的轨迹方程. (2)设动圆
222
22:C x y t +=与
C 相交于////
,,,A B C D 四点，其中2b t a <<，
12
t t ≠.若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：2212t t +为定值.
【解题指南】（1）由于A,B 点的对称性，可设出它们的坐标，利用点的坐标，据直线方程的点斜式写出直线方程，求交点坐标，进而求轨迹方程（2）利用坐标的变量来表示矩形面积，建立等量关系.
【解析】(1)设000012(,),(,),(,0),(,0)A x y B x y A a A a --，
直线1AA 的方程：
0()y y x a x a
=
++-------------------- ①
直线2A B 的方程：
0()y y x a x a -=
---------------------- ②
设直线1AA 与直线2A B 的交点(,)M x y 由①②得
----------------------------③
由00(,)A x y 在椭圆
2202
2
:
1
x y C a b +
=上，故
220002
2
:
1
x y C a b +
=，
从而
2
2
2
002(1)x y b a =-
，代入③整理得2
2
221(,0)x y x a y a b -=<-<.
（2）设11(,)A x y '
，由矩形ABCD 和矩形A B C D ''''面积相等得0011
44x y x y =，
即
2222
0011x y x y =，-------------------- ④
因为点00(,)A x y ，11(,)A x y '
均在椭圆
2202
2
:
1
x y C a b +=上，
所以
2
2
2
002(1)x y b a =-
，2
2
2
112(1)x y b a =-
，
代入④得
222222
2
2
22
001101012
22
2(1)(1)(1)(1)
x x x x b x b
x x x a a
a a
-
=-⇒-
=
-，进一步得到 222
2
10012
()(1)0
x x x x a
+--=，由于1201t t x x ≠⇒≠，所以
22
222
10102
10x x x x a a
+-
=⇒+=
从而222
2
2
2
2
01012
2
(1)(1)x x y y b b b a
a
+
=-
+-
=，
故 2222
12t t a b +=+为定值.。