主理想环定理

主理想环定理
主理想环定理（Prime Ideal Principle）是一个数论定理，主要
用于证明算术基本定理的推广结果。

定理陈述：设$R$是一个唯一分解环，$N$是其中的非零非可
逆元的集合，如果满足以下两个条件：
1. 每个非零非可逆元在$R$中都有唯一的素因子组成；
2. 对于任意的$r\in R$，如果$r\in N$，则$r$的每个素因子都在$N$中；
那么$R$中的每个非零非可逆元都可以唯一地表示为素因子的
乘积。

主理想环定理的证明思路是通过构造一个方程组来证明。

具体而言，对于任意的$r\in R$，可令$r=p_1p_2\cdots p_k$，其中$p_1,p_2,\cdots,p_k$是$r$的素因子。

则有方程组：
$\begin{cases}
x\equiv a_1 \pmod{p_1}\\
x\equiv a_2 \pmod{p_2}\\
\cdots\\
x\equiv a_k\pmod{p_k}
\end{cases}$
其中$a_1,a_2,\cdots,a_k$是任意给定的数。

根据中国剩余定理，这个方程组必定有解，且解$x$即为$r$的一个可能的唯一分解。

通过对方程组的不同选择，可以得到$r$的所有可能的唯一分
解。

那么根据条件2，$r$的每个素因子都在$N$中，由于$N$中的元素都不能唯一分解，所以$r$也不能唯一分解。

因此，$R$中每个非零非可逆元都可以唯一地表示为素因子的乘积。