济南市天桥区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析

济南市天桥区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．一元二次方程x2﹣9=0的根是（）
A．x=3 B．x=4 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=，x2=﹣
2．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）
A．B．C．D．
3．下列函数中，图象经过点（2，﹣3）的反比例函数关系式是（）
A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ABC=35°，则∠AOC的大小是（）
A．80° B．70°C．60°D．50°
5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）
A．B．C．D．
6．下列命题正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
7．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=
9．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（）A．B．C．D．
11．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象
上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
12．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）
A．8 B．12 C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）
13．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是．14．一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则扇形面积=．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为．
16．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围
是．
17．如图，在△BAD中，∠BAD=90°，延长斜边BD到点C，使DC=，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值．
18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④若ax12+bx1=ax22+bx2，
且x1≠x2，则x1+x2=2．其中正确的有．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．完成下列各题：
（1）计算：sin30°+cos45°
（2）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
20．（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：EB=EC．
（2）如图2，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．
21．下列几何体的三视图有没有错误？如果有，请改正．
22．飞飞和欣欣两位同学到某文具专卖店购买文具，恰好赶上“店庆购物送礼”活动，该文具店设置了A、B、C、D四种型号的钢笔作为赠品，购物者可随机抽取一支，抽到每种型号钢笔的可能性相同．
（1）飞飞购物后，获赠A型号钢笔的概率是多少？
（2）飞飞和欣欣购物后，两人获赠的钢笔型号相同的概率是多少？
23．某种衬衫平均每天可销售40件，每件若盈利20元，若每件衬衫降价1元，则每天可多销售10件，若每天要盈利1400元，则每件降价多少元？
24．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A
（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
25．如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；
（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．
26．如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与
△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
届九年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．一元二次方程x2﹣9=0的根是（）
A．x=3 B．x=4 C．x1=3，x2=﹣3 D．x1=，x2=﹣
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【专题】计算题．
【分析】先把方程变形为x2=9，然后利用直接开平方法求解．
【解答】解：x2=9，
x=±3，
所以x1=3，x2=﹣3．
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±．
2．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）
A．B．C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答．
【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；
B、圆锥的左视图是等腰三角形，符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；
D、长方体的左视图是矩形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．3．下列函数中，图象经过点（2，﹣3）的反比例函数关系式是（）
A．y=﹣B．y=C．y=D．y=﹣
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】首先设反比例函数解析式为y=，再把（2，﹣3）代入可得k的值，进而可得反比例函数解析式．
【解答】解：设反比例函数解析式为y=，
∵图象经过点（2，﹣3），
∴﹣3=，
解得：k=﹣6，
∴反比例函数关系式是y=﹣，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ABC=35°，则∠AOC的大小是（）
A．80° B．70°C．60°D．50°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．依此即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=35°，
∴∠AOC=35°×2=70°．
故选：B．
【点评】考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，关键是熟练掌握圆周角定理．
5．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，
∴cos∠B==．
故选B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．
6．下列命题正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【考点】命题与定理．
【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．
【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．
7．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为（）
A．13 B．15 C．18 D．13或18
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【解答】解：解方程x2﹣13x+36=0得，
x=9或4，
即第三边长为9或4．
边长为9，3，6不能构成三角形；
而4，3，6能构成三角形，
所以三角形的周长为3+4+6=13，
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
9．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】二次函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当
x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对
称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，
y=；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数
时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
10．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（）A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】此题可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有9种情况，两辆汽车一辆左转，一辆右转的有2种情况，根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：
∴这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果；
（2）由（1）中“树形图”知，两辆汽车一辆左转，一辆右转的结果有2种，且所有结果的可能性相等，
∴P（两辆汽车一辆左转，一辆右转）=．
故选C．
【点评】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解．
11．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象
上．若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．
【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x 轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：===2，然后用待定系
数法即可．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠DBO+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∵∠BDO=∠ACO=90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴==，
∵OB=2OA，
∴BD=2m，OD=2n，
因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，
∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4．
故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
12．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆
心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）
A．8 B．12 C．D．
【考点】圆的综合题．
【专题】压轴题．
【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB，求出点C到AB的距离，即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
【解答】解：∵直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12=0，
即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，
过C作CM⊥AB于M，连接AC，
则由三角形面积公式得：×AB×CM=×OA×OC+×OA×OB，
∴5×CM=4×1+3×4，
∴CM=，
∴圆C上点到直线y=x﹣3的最大距离是1+=，
∴△PAB面积的最大值是×5×=，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．）
13．已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是6．
【考点】菱形的性质；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】因为菱形的四条边都相等，所以AB=AD，又因为∠A=60°，所以△ABD为等边三角形，所以BD=6．
【解答】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6．
∴菱形较短的对角线长是6．
故答案为6．
【点评】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．
14．一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则扇形面积=π．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：根据扇形的面积公式可得：扇形的面积==π．
故答案为π．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的计算，正确理解公式是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为2．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，
∴=，
∴CE=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．
16．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣4．
【考点】根的判别式．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，
∴△=16﹣4（﹣m）＜0，
∴m＜﹣4，
故答案为m＜﹣4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
17．如图，在△BAD中，∠BAD=90°，延长斜边BD到点C，使DC=，连接AC，若
tanB=，则tan∠CAD的值．
【考点】解直角三角形．
【分析】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，设AD=5x，则AB=3x，再证出
△CDE∽△BDA，得出===，设CE=x，DE=x，求出AE=x，最后根据
tan∠CAD=代入计算即可．
【解答】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵tanB=，
∴=，
∴设AD=5x，则AB=3x，
∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴===，
∴CE=x，DE=x，
∴AE=x，
∴tan∠CAD==，
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．
18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：
①abc＜0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④若ax12+bx1=ax22+bx2，
且x1≠x2，则x1+x2=2．其中正确的有①②③④．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据二次函数的图象开口向下推出a＜0，根据二次函数的图形与y轴的交点在y 轴的正半轴上推出c＞0，根据二次函数的图象的对称轴是直线x=1得出﹣=1，求出b=﹣2a＞0，即可判断①②；根据抛物线的最大值y=a+b+c，得到a+b+c＞am+bm+c
（m≠1），即可判断③；根据对称点求得对称轴为x==1，即可求得x1+x2=2，即可
判断④．
【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，
∵二次函数的图形与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，
∴﹣=1，
b=﹣2a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵二次函数的图象的对称轴是直线x=1，开口向下，
∴函数的最大值y=a+b+c，
∴a+b+c＞am+bm+c（m≠1），
∴a+b＞am+bm，故③正确；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，
∴对称轴为x==1，
∴x1+x2=2，故④正确．
故答案为①②③④．
【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意用了数形结合思想，二次函数的图象开口方向决定a的符号，抛物线有最大值，二次函数的图形与y轴的交点位置决定c的符号，根据二次函数的图象的对称轴是
直线x=1得出﹣=1．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．完成下列各题：
（1）计算：sin30°+cos45°
（2）解方程：x2﹣6x﹣4=0．
【考点】实数的运算；解一元二次方程-公式法；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）找出a，b，c的值，代入求根公式法求出解即可．
【解答】解：（1）原式=+×=+1=；
（2）这里a=1，b=﹣6，c=﹣4，
∵△=36+16=52，
∴x==3±，
解得：x1=3+，x2=3﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，以及解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）如图1，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点，求证：EB=EC．
（2）如图2，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．
【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）证明△ABE≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）连接OC，根据三线合一定理即可求得AC的长，然后在直角△OAC中，利用勾股定理即可求得OA的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC；
（2）解：连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
又∵∠A=∠B，
∴OA=OB，
∴AC=AB=×16=8，
在直角△AOC中，
OA===10．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
21．下列几何体的三视图有没有错误？如果有，请改正．
【考点】作图-三视图．
【分析】分别得出大长方体和小正方体的主视图、左视图、俯视图，再由两者的位置关系即可画出图形的三视图．主视图是一个长方形的上方有一个小正方形；左视图是一个长方形，中间有一条横的实线；俯视图应看到一个长方形内有2条竖的实线．依此即可求解．【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
22．飞飞和欣欣两位同学到某文具专卖店购买文具，恰好赶上“店庆购物送礼”活动，该文具店设置了A、B、C、D四种型号的钢笔作为赠品，购物者可随机抽取一支，抽到每种型号钢笔的可能性相同．
（1）飞飞购物后，获赠A型号钢笔的概率是多少？
（2）飞飞和欣欣购物后，两人获赠的钢笔型号相同的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【专题】应用题．
【分析】（1）由于文具店设置了A、B、C、D四种型号的钢笔作为赠品，购物者可随机抽取一支，抽到每种型号钢笔的可能性相同，由此即可求出获赠A型号钢笔的概率；（2）首先利用树状图可以求出所有可能的情况和获赠的钢笔型号相同的情况，然后利用概率的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）依题意得
飞飞获获赠A型号钢笔的概率为；
（2）依题意列树状图如下：
从树状图可以知道所有可能的结果有16种，符合条件的有4种，
P（钢笔型号相同）==．
【点评】此题主要考查了利用树状图求概率，解题的关键是会根据题意列出树状图或表格求出所以可能的结果和符合要求的情况，然后利用概率的定义即可解决问题．
23．某种衬衫平均每天可销售40件，每件若盈利20元，若每件衬衫降价1元，则每天可多销售10件，若每天要盈利1400元，则每件降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可以售出（40+10x），所以此时商场平均每天要盈利：×（40+10x）元，根据商场平均每天要盈利=1400元为等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：设降价x元．
（40+10x）=1400，
解得x=6或x=10．
答：降价6或10元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，是常见题型，难度不大．
24．如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A
（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反
比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时
PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1=1，x2=3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时
PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，
令y=0，得x=，
∴点P坐标（，0），
S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
25．如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；
（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由CA=CB，E，F分别是CA，CB边的三等分点，得CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，证明△AMC≌△BNC即可；
（2）当MA∥CN时，∠ACN=∠CAM，由∠ACN+∠ACM=90°，得到
∠CAM+∠ACM=90°，所以cosα==．
【解答】解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，
∴CE=CF，
根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，
在△AMC和△BNC中，
，
∴△AMC≌△BNC，
∴AM=BN；
（2）∵MA∥CN，
∴∠ACN=∠CAM，
∵∠ACN+∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠AMC=90°，
∴cosα===．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质以及锐角三角函数的综合运用，难度适中，掌握旋转的性质是关键．
26．如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与
△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y 轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC2与DE2，然后解方程求出m的值，即可得到点D 的坐标；
（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与
CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，
解得，
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，
∵DC=DE，
∴m2+9=m2+8m+16+1，
解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；
（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD===，
在△COD和△DFE中，
∵，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴=，
即=，
解得DP=，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则==，
即==，
解得DG=1，PG=，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，
所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（，﹣2）；
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴=，
即=，
解得DP=3，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则==，
即==，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形对应边成比例的性质，（3）题稍微复杂，一定要注意分相似三角形的对应边的不同，点P在点D的左右两边的情况讨论求解．。