福建省莆田市第二十五中学高三上学期第二次月考——数

福建省莆田市第二十五中学 2017届高三上学期第二次月考
数学（理）试题
一、选择题
1．已知集合{}
220M x x x =-≤， {}21N x x =-<<，则M
N =（ ）
A ．(2,1)-
B ．[0,1)
C ．(1,2]
D ．(2,2]- 2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．1
y x
= B ．2y x = C ．3y x = D ．sin y x =
3. 有关命题的说法错误的是( )
A. 命题“若x 2-3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”
B.“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件
C. 对于命题p:,使得x 2+x+1<0,则,均有x 2+x+1≥0
D. 若p ∧q 为假命题,则p 、q 均为假命题
4．程序框图如下图所示，则输出S 的值为（ ）
A ．15
B ．21
C ．22
D ．28
5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运
附：
2
2
()()()()()n ad bc a b c d a c b d κ-=
++++
”。

A. B. C. D.
6、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）
A ． 7
B ． 9
C ． 10
D ． 15
7．设，则是成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 8．设，，，则a , b , c 的大小顺序是 （ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
9．已知函数(2),2()1(),23
x f x x f x x +<⎧⎪
=⎨≥⎪⎩，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．15
D ．
10．函数的图象大致是（ ）
11.设是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是 （ ）
.A {|20,2}x x x -<<>或 .B {|20,2}x x x -<<<<或0 .C {|22}x x -<< .D {|2,02}x x x <-<<或
12．已知函数(
)11
,11
x f x x x x -≤≤=-<->⎪⎩或，且函数()()2g x f x kx k =-+有三个不同的零
点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．或 C ． D ．或k=0 二、填空。

13．为虚数单位，若，则
= 14．已知随机变量X 服从正态分布且则 ．
15
、8(2x 的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则实数x 的值为 . 16、国庆节前夕，甲、乙两同学相约10月1日上午8:00到8:30之间在7路公交赤峰二中站点乘车去红山公园游玩，先到者若等了10分钟还没有等到后到者，则需发短信联系．假设两人的出发时间是独立的，在8:00到8:30之间到达7路公交赤峰二中站点是等可能的，则两人不需要发短信联系就能见面的概率是 三解答
17.已知集合，，，。

（1）求；
（2）若，求实数的取值范围。

18.已知是奇函数，当时，。

（1）求时，函数的解析式；
（2）写出函数的单调递增区间（不要求证明）。

19.为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是:
[)[)[)[)[]45,40,40,35,35,30,30,25,25,20.
（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人. 记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望.
20、某工厂有120名工人，其年龄都在20
60岁之间，各年龄段人数按[)20,30，[)30,40，
[)40,50，[]50,60分成四组，其频率分布直方图如下图所示．工厂为了开发新产品，引进了新
的生产设备，要求每个工人都要参加A 、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．
（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；
（3）随机从年龄段[)20,30和[)40,50中各抽取1人，设这两人中A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 21. 已知定义域为的函数是奇函数。

（1）求函数的解析式；（2）试判断函数的单调性，并加以证明；
（3）若对于任意实数，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数的取值范围。

22、在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕsin 15cos 5y x （ϕ为参数），直线l 的参数方程为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
+=-=t y t x 23321（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为)2
,3(π
.
（1）求点P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；
（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为B A ,，求||||PB PA +的值.
理科数学月考一答案
选择。

BCDB CBBC AABC
填空，1， 0.1 ， 1 ，
59
19. 解: （Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率,∴除外的频率和为0.70,
06.0570
.01=-=
∴x ............2分
500名志愿者中,年龄在岁的人数为 (人). ............4分
（Ⅱ）用分层抽样的方法,从中选取10名,则其中年龄“低于35岁”的人有6名,
“年龄不低于35岁”的人有4名. 故的可能取值为0,1,2,3, ............5分
,
()12643103
110C C P X C ===
,
()21643101
22C C P X C ===
, , ............9分
故的分布列为
............10分
所以
1311901233010265EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= ............12分
20，【答案】（1）应抽取的人数分别为12，14，8，6；（2）均年龄约为37岁；（3）分布列见解析，期望()7
12
E X =
试题分析：（1）先求出各组的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15，再求出各组应抽取的人数分别为12，14，8，6；（2）根据平均数的估值公式可得
250.3350.35450.2550.1537x =⨯+⨯+⨯+⨯=；
（3）先计算从这两组中各抽取一人A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率分别1
3和14
，又随机变量X 的可能取值为0，1，2，再求出相应概率，就可以求出分布列和数学期望.
试题解析：（1）由频率分布直方图可知，年龄段[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60的人数的频率分别为0.3， 0.35，0.2，0.15
因为400.312⨯=，400.3514⨯=，400.28⨯=，400.156⨯=，所以年龄段[)20,30，[)30,40，
[)40,50，[]50,60应抽取的人数分别为12，14，8，6
（2）因为各年龄组的中点值分别为25，35，45，55，对应的频率分别为0.3，0.35，0.2，0.15， 则250.3350.35450.2550.1537x =⨯+⨯+⨯+⨯=．由此估计全厂工人的平均年龄约为37岁 （3）因为年龄段[)20,30的工人数为1200.336⨯=，从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结业考试成绩优秀的概率为
273364=，B 项培训结业考试成绩优秀的概率为164
369
=，所以A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为341
493
⨯=
因为年龄段[)40,50的工人数为1200.224⨯=，从该年龄段任取1人，由表知，此人A 项培训结
业考试成绩优秀的概率为
162243=，B 项培训结业考试成绩优秀的概率为93248
=，所以A 、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为231
384
⨯=
由题设，X 的可能取值为0，1，2．其中()111011342
⎛⎫⎛⎫P X ==-⨯-
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()11115111343412
⎛⎫⎛⎫P X ==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()111
23412P X ==⨯=
所以X 的分布列是
期望()17
01212121212
E X =⨯+⨯+⨯=
考点：1、频率分布直方图；2、分布列；3、数学期望.
22、【答案】（1）)3,0(P ，曲线C 的普通方程为：115
52
2=+y x ；（2）||||PB PA +=6.
试题分析：对问题（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，即可求得点P 的直角坐标，再根据曲
线C 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ϕ
ϕ
sin 15cos 5y x （ϕ为参数），并消去参数ϕ，进而可得到曲线C 的普通方程；
对问题（2），根据（1）的结论知点P 在直线l 上，再利用参数t 的几何意义即可求出||||PB PA +的值.
试题解析：（1）由极坐标互化公式知，点P 的横坐标02
cos
3==π
x ，点P 的纵坐标
32
sin 3==π
y ，所以)3,0(P ，消去参数ϕ的曲线C 的普通方程为：11552
2=+
y x . （2）点P 在直线l 上，将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程得：0822=-+t t ，设其两个根为21,t t ，所以221=+t t ，821-=t t ，由参数t 的几何意义知：
64)(||||||2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA .
考点：极坐标与参数方程．。