备战中考数学(鲁教版五四制)巩固复习平行线的有关证明(含解析)

备战中考数学（鲁教版五四制）巩固复习平行线的有关证明（含解析）
2019备战中考数学（鲁教版五四制）巩固复习-平行线的有关证明（含解析）
一、单选题
1.下列说法中，不正确的是（）
A. 同位角相等，两直线平
行
B. 两直线平行，内错角相等
C. 两直线被第三条直线所截，内错角相
等 D. 同旁内角互补，两直线平行
2.下列命题中错误的是（）
A. 任何一个命题都有逆命
题
B. 一个真命题的逆命题可能是真命题
C. 一个定理不一定有逆定
理
D. 任何一个定理都没有逆定理
3.如图，∠1=∠2，∠3=100°，则∠4的度数是（）
个
C. 3
个
D. 4个
5.如图是一个风景区，A，B，C，D，E，F是这一风景区内的五个主要景点，现观光者聚于A 点．假若你是导游，要带领游客欣赏这五个景点后再回到A点，但又不想多走“冤枉路”（不能走重复的路线和经过同一个景点），你认为可选择行走路线有（）种．
A. 4
B. 5
C. 6
D.
7
6.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内
角,则这个三角形是( ) A. 直角三角
形
B. 锐角三角
形
C. 钝角三角
形
D. 无法确定
7.如图，下列说法错误的是（）
A. 若∠3=∠2，则
b∥c
B. 若∠3+∠5=180°，则
a∥c
C. 若∠1=∠2，则
D. 若a∥b，b∥c，则a∥c
8.下列说法错误的是（）
A. 所有的命题都是定
理．
B. 定理是真命题．
C. 公理是真命
题．
D. “画线段AB＝CD”不是命题．
9.下列命题中，正确的是（）
A. 相等的角是对顶角
B. 等腰三角形都相似
C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
10.（思维拓展）如图所示，①代表0，②代表9，
③代表6，则④代表（）
A. 1
B. 3
C. 5
D.
7
11.若一个三角形的三个内角度数之比为
2∶7∶4，那么这个三角形是( ) A. 直角三角
形
B. 锐角三角
形
C. 钝角三角
形
D. 等边三角形
12.如图，经过直线a外一点O的4条直线中，
与直线a相交的直线至少有（）
A. 4
条
B.
3
条
C. 2
条
D. 1条
二、填空题
13.如图，直线1与1
1， 1
2
相交，形成∠1，
∠2，…，∠8，
请填上你认为适合的一个条件：________使得
1
1∥1
2
．
14.如图，D、E、F分别是△ABC三边延长线上的
点，则∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=________度.
15.如下图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝60°，当∠D＝________时，AD∥BC.
16.垂直于同一条直线的两直线平
行．________ ．（填“对'或'错”）
17.如图，在△ABC中，∠ABO＝20°，∠ACO＝25°，∠A＝65°，则∠BOC的度数________．
18.直线L同侧有A，B，C三点，若过A，B的直
线L
1和过B，C的直线L
2
都与L平行，则A，­B，
C三点________，理论根据是________．
19.命题“两直线平行，内错角相等”的题设是________ ，结论是________
20.一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，最后________将3盏电灯都开亮．（填“能”或“不能”）
21.如果两条直线和第三条直线________，那么这两条直线平行；若a∥b，b∥c，则________．
三、计算题
22.已知如图所示，∠B=60°，∠C=20°，
∠BDC=3∠A，求∠A的度数．
23.如图，在△ABC中，∠B=24°，∠ACB=104°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠DAE的度
数．
四、解答题
24.如图，在△ABC中，∠B=24°，∠ACB=104°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
25.完成下面的证明。

已知：如图，BE∥CD，∠A＝∠1，求证：∠C＝∠E。

证明：∵BE∥CD （已知）
∴∠2=∠C（
）
又∵∠A=∠1（已知）
∴
AC∥DE（
）
∴ ∠2＝∠E
（
）
∴∠C=∠E（
）
五、综合题
26.平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行（即每两条直线都相交），也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：
（1）这n条直线共有多少个交点？
（2）这n条直线把平面分割为多少块区域？27.已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且
∠1=∠A．
（1）求证：FE∥OC；
（2）若∠B=40°，∠1=60°，求∠OFE的度数．28.如图所示，在长方体中：
（1）图中和AB平行的线段有哪些？
（2）图中和AB垂直的直线有哪些？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，正确；
B、两直线平行，内错角相等，正确；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，本选项错误；
D、同旁内角互补，两直线平行，正确；
故选C．
【分析】利用平行线的判定方法判定即可得到正确的选项．
2.【答案】D
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、任何一个命题都有逆命题，所以A选项的说法正确； B、一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能为假命题，所以B选项的说法正确；
C、一个定理不一定有逆定理，所以C选项的说法正确；
D、有的定理有逆定理，有的定理不一定有逆定理，所以D选项的说法错误．
故选D．
【分析】根据逆命题与原命题的关系和它们的真假性无联系对各选项进行判断．
3.【答案】B
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠3=100°，
∴∠4=80°．
故选B
【分析】由已知角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，再利用两直线平行同旁内角互补即可求出所求角的度数．
4.【答案】A
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：①等角的余角相等，正确；
②一个角的补角不一定大于这个角，故错误；
③有理数分为正数和负数还有0，故错误；
④零是最小的正数，错误；
⑤过直线外一点能且只能作一条直线与已知直
线平行，故错误，
故选A．
【分析】利用余角的定义、补角的定义、有理数的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．5.【答案】C
【考点】推理与论证
【解析】【解答】解：行走的路径有：
A→E→D→C→F→B→A，
A→B→F→C→D→E→A，
A→E→D→C→B→F→A，
A→B→C→D→E→F→A，
A→F→E→D→C→B→A
A→F→B→C→D→E→A，
故共有6条路径．
故选：C．
【分析】根据题意分别得出符合题意的路径进而得出答案．
6.【答案】C
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质【解析】【分析】由三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角，且根据此外角小于与它相邻的内角，可得此外角为锐角，与它相邻的角为钝角，可得这个三角形为钝角三角形．
【解答】∵三角形的外角与它相邻的内角互补，
且此外角小于与它相邻的内角，
∴此外角为锐角，与它相邻的角为钝角，
则这个三角形为钝角三角形．
故选C
【点评】此题考查了三角形的外角性质，其中得出三角形的外角与它相邻的内角互补是解本题的关键．
7.【答案】A
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A、若∠3=∠2，则d∥e，故此选项错误，符合题意；
B、若∠3+∠5=180°，则a∥c，正确，不合题意；
C、若∠1=∠2，则a∥c，正确，不合题意；
D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，不合题意；故选：A．
【分析】直接利用平行线的判定方法分别进行判断得出答案．
8.【答案】A
【考点】命题与定理
【解析】【解答】A：定理是真命题，但假命题不
是定理，所以错误，B、C、D均正确，所以本题选择A．【分析】辨析命题、定理、公理的关系，明确逻辑意义，是做这类选择题的有效途径．9.【答案】C
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定为对顶角，所以A选项错误；
B、等腰三角形不一定都相似，如等腰直角三角形与的等边三角形不相似，所以B选项错误；
C、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，所以C选项正确；
D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，所以D选项错误．
故选C．
【分析】根据对顶角的定义对A进行判断；
根据等腰三角形的性质和相似的判定方法对B
进行判断；
根据位似的性质对C进行判断；
根据正方形的判定方法对D进行判断．
10.【答案】B
【考点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵如图所示，①代表0，
②代表9，③代表6，
，
∴图①可以代表0点，图②可以代表9点，图③可以代表6点，
∴则④代表3点．
故选：B．
【分析】根据图形得出图①可以代表0点，图②可以代表9点，图③可以代表6点，进而得出答案．
11.【答案】C
【考点】三角形内角和定理
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数不能确定其形状．
【解答】设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x．
∵三角形三个内角度数的比为2：7：4，
∴2x+7x+4x=180°，
∴7x≈97°，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选C．
【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理及三角形形状的判断的综合运用
12.【答案】B
【考点】平行线的判定
【解析】【解答】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a 平行的，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条，故选B．
【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
二、填空题
13.【答案】如∠1=∠5，任写任何一对同位角或内错角相等，一组同旁内角或同旁外角互补【考点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵直线1与1
1， 1
2
相交，
形成∠1，∠2，…，∠8，
∴∠1=∠5，即可使得1
1∥1
2
．
任写任何一对同位角或内错角相等，一组同旁内角或同旁外角互补．
【分析】根据平行线的判定方法，根据同位角相
等或内错角相等或同旁内角互补，两直线才平行，即可得出答案。

14.【答案】180
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵∠D+∠3=∠CAB，
∠E+∠1=∠ABC，∠F+∠2=∠ACB，
∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠A CB=180°．
故答案是：180
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，和三角形内角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3=∠CAB+∠ABC+∠ACB 的度数.
15.【答案】60°
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】
要使
故答案为：
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；得到∠D的度数. 16.【答案】错
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：垂直于同一条直线的两条直线一定平行，说法错误，前提必须是在同一平面内；
故答案为：错．
【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线一定平行；如果不在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线可能相交或异面；进而判断即可．
17.【答案】110°
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵∠ABO=20°,∠ACO=25°，
∴∠OBC+∠OCB=115°−45°=70°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）= 110°.故答案为：110°
【分析】根据三角形的内角和，由∠A=65°，得
出∠ABC+∠ACB=115°，根据角的和差得出
∠OBC+∠OCB=115°−45°=70°，根据三角形的内角和得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB） = 110°.
18.【答案】在一条直线上；经直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【考点】平行公理及推论
和过B，【解析】【解答】由已知过A，B的直线L
1
C的直线L
都与L平行，AB与BC又有一个公共
2
点B,因此A，­B，C三点共线。

【分析】直线L
和过同侧有A，B，C三点，若过A，B的直线L
1
B，C的直线L
都与L平行，则A，­B，C三点在
2
同一直线上，理论根据是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

19.【答案】如果两条平行线被第三条直线所截；那么内错角相等
【考点】命题与定理
【解析】【解答】解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截；结论：那么内错角相等．
【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后
面接题设，而那么后面接结论．
20.【答案】不能
【考点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵一个黑暗的房间里有3盏关着的电灯，每次都按下其中的2个开关，∴第一次按下后有两盏电灯亮着，有一盏电灯不亮，
这样再继续按两个开关，不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，故最后不能将3盏电灯都开亮．故答案为：不能．
【分析】根据按灯开关的要求，可得出不论怎样一定会至少有一盏电灯不亮，进而得出答案．21.【答案】平行；a∥c
【考点】平行公理及推论
【解析】【解答】在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，若a∥b，b∥c，则a∥c .【分析】利用平行公理的推论直接作答。

三、计算题
22.【答案】解：如图，延长CD交AB于
E．
∵∠BEC=∠A+∠C，∠BDC=∠B+∠BED，
∴∠BDC=∠B+∠A+∠C，
∴3∠A=60°+∠A+20°，
∴∠A=40°．
【考点】三角形内角和定理
【解析】【分析】如图，延长CD交AB于E．由∠BEC=∠A+∠C，∠BDC=∠B+∠BED，推出
∠BDC=∠B+∠A+∠C，推出3∠A=60°+∠A+20°，求出∠A即可．
23.【答案】解：在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠B=24°，
∠ACB=104°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣24°﹣104°=52°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= 52°=26°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=104°，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣104°=76°，∴∠CAD=14°，
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=40°
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠EAC 的度数，由∠DAE=∠EAC+∠CAD即可得出结论．
四、解答题
24.【答案】解：在△ABC中，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∠B=24°，
∠ACB=104°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣24°﹣104°=52°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC=x52°=26°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=104°，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣104°=76°，∴∠CAD=14°，
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=40°．
【考点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠EAC 的度数，由∠DAE=∠EAC+∠CAD即可得出结论．25.【答案】证明：∵BE∥CD （已知）
∴∠2=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵∠A=∠1（已知）
∴ AC∥DE（内错角相等，两直线平行）∴ ∠2＝∠E（两直线平行，内错角相等）∴∠C=∠E（等量代
换）
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由BE//CD 得∠2=∠C，根据是两直线平行，同位角相等；而∠1=∠A得AC∥DE，根据是内错角相等，两直线平行；再根据两直线平行，内错角相等得∠2=∠E，由等量代换即可得到结论.
五、综合题
26.【答案】（1）1条直线，0个交点
2条直线，1个交点
3条直线，1+2个交点
4条直线，1+2+3个交点
5条直线，1+2+3+4个交点
故n条直线，1+2+3+4+…+（n﹣1）个交点
∴n条直线，共有个交点；
（2）1条直线，将平面分成2个区域
2条直线，将平面分成2+2个区域
3条直线，将平面分成2+2+3个区域
4条直线，将平面分成2+2+3+4个区域
5条直线，将平面分成2+2+3+4+5个区域
故n条直线，将平面分成2+2+3+4+5+…+n个区域
∴n条直线，将平面分成+1个区域．
【考点】平行公理及推论
【解析】【分析】（1）1条直线，0个交点，2条直线，1个交点，3条直线，1+2个交点，4条直线，1+2+3个交点，故n条直线，1+2+3+4+…+（n﹣1）个交点；
（2）1条直线，将平面分成2个区域，2条直线，将平面分成2+2个区域，3条直线，将平面分成2+2+3个区域，4条直线，将平面分成2+2+3+4个区域，故n条直线，将平面分成
2+2+3+4+5+…+n个区域．
27.【答案】（1）证明：∵AB∥DC(已知),∴∠A=∠C （两直线平行,内错角相等）,
∵∠1=∠A(已知),
∴∠1=∠C(等量代换),
∴FE∥OC(同位角相等,两直线平行).
（2）解：∵AB∥DC,∴∠D=∠B,
∵∠B=40°,
∴∠D=40°,
∵∠OFE是△DEF的外角,
∴∠OFE=∠D+∠1,
∵∠1=60°,
∴∠OFE=40°+60°=100°.
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）已知AB∥DC，根据两直线平行,内错角相等得出∠A=∠C，又知∠1=∠A，运用等量代换则∠1=∠C，再根据同位角相等,两直线平行证明FE∥OC；（2）已知AB∥DC，根据两直线平行,内错角相等得出∠D=∠B=40°，∠OFE是△DEF的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的2个内角和，则
∠OFE=∠D+∠1=100°.
28.【答案】（1）解：AB∥A
1B
1
∥C
1
D
1
∥CD ，即
和AB平行的线段有A
1B
1
、C
1
D
1
、CD ．
（2）解：AB⊥BB
1，AB⊥BC，AB⊥AA
1
，
AB⊥AD，AB⊥C
1C，AB⊥B
1
C
1
，AB⊥A
1
D
1
，
AB⊥D
1
D，
即和AB垂直的直线有BB
1、BC、AA
1
、AD、C
1
C、
B
1C
1
、A
1
D
1
、D
1
D．
【考点】平行公理及推论
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定结合图
形得出AB∥A
1B
1
∥C
1
D
1
∥CD，即可得出答案；
（2）根据垂直定义和平行线性质结合图形推出
AB⊥BB
1，AB⊥BC，AB⊥AA
1
，AB⊥AD，
AB⊥C
1C，AB⊥B
1
C
1
，AB⊥A
1
D
1
，AB⊥D
1
D，
即可得出答案．。