广东省茂名市高州市四校联考2023-2024学年八年级下册月考数学试题(含解析)

2023-2024学年度第二学期第六周素养展评八年级数学试卷（说明：范围：第一、二章，时间：120分钟，满分：120分）一、单项选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分 ）
1．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．
B ．C
．D ．2．等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（ ）
A ．
B ．
C ．或
D ．不能确定3．如图，中，平分交于点D ，过点D 作交于点
E ，若，，则的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ． B ． C ． D ．
5．如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（ ）
a b <22a b +<+ac bc <a b d d <22a b +>+100︒100︒40︒100︒40︒ABC BD ABC ∠AC DE BC ∥AB 12AB =7DE =AE 3010x x -≥⎧⎨+>⎩
ABC A C 12
AC M N MN BC D AD 75B ∠=︒35C ∠=︒BAD ∠
A ．
B ．
C ．
D ．6．若不等式组的解集是，则的值是（ ）A ．4B ． C ．2D ．
7．如图，是等边的中线，作，交的延长线于点．若，则长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
8．如图，一次函数与的图象相交于点，则下列说法错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．关于x 的方程的解是
D ．关于x 的不等式的解集是9．满足不等式的所有正整数解有几个（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
10．如图，已知的周长是18，和的平分线交于点 O ，
于点
30︒35︒40︒45︒
231x m x +>⎧⎨-<⎩
24-<<x m 4-2-BE ABD △BC AB ⊥AD C 6CE =AB y kx b =+21y x =-+(),3P a 0
k >0b >3kx b +==1x -21kx b x +<-+3x <()3212x -<ABC ABC ∠ACB ∠OD BC ⊥
D ，若，则的面积是（ ）
A ．21
B ．54
C ．18
D ．27
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11
有意义，则的取值范围为 ．
12．一个直角三角形，有一个锐角是，另一个锐角是
°．
13．如图．根据图象问题：当 时，．14．如图，在数轴上点、分别表示数2，，则的取值范围是 ．15．如图，在中，于E ，于F ，为的平分线，的面积是，， ．
三、解答题（一）本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．解不等式：．
17．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．18．已知：是中点，是的垂直平分线，
3OD =ABC a 65︒x 1y <-M N 21x -+x ABC DE AB ⊥DF AC ⊥AD BAC ∠ABC 228cm 20cm 8cm AB AC ==，DF =cm 345x x -≤311442x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩
D AB D
E BC
(1)求证：；(2)在上找一点到、的距离相等．（尺规作图，保留痕迹）
19．已知关于的方程组的解，则m 的取值范围是多少？四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
20．如图，与相交于点O ，．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分．
21．为了实现县域教育均衡发展，某县计划对，两类学校分批进行改进，根据预算，改造一所类学校和两所类学校共需资金万元，改造两所类学校和一所类学校共需资金万元．
(1)改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元？
(2)该县计划今年对、两类学校共所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过万元，地方财政投入的改造资金不少于万元，其中地方财政投入到、两类学校的改造资金分别为每所万元和万元，请你
通过计算求出改造方案？
12
CD AB =AB F D E x y ，32421x y x y m +=⎧⎨+=-⎩
0x y +>AD BC OA OC A C BE DE =∠=∠=，，OB OD =OE BD A B A B 242A B 220A B A B 638070A B 1015
22．如图，在中，．过点A 作的平行线交的角平分线于点D ，连接．
(1)求证：为等腰三角形．
(2)若，求的度数．
五、解答题（三）本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23．虹吸现象是液态分子间引力与高度差所造成的，即利用水柱压力差，使水上升后再流到低处．由于管口处承受不同的压力，水由压力大的一边流向压力小的一边，直到管口处压力相等，即相对水平面，两个容器内的水面平齐，水就会停止流动（如图1）．
如图2，有甲、乙两个圆柱形容器，甲容器底面积是乙容器底面积的2倍，高度均为，甲容器下方垫有一高度为的长方体木块：未发生虹吸现象前，甲容器内水位高度为 30cm ，乙容器内无水．若发生虹吸现象，甲容器中的水不断流入乙容器中．（导管与导管内的液体体积忽略不计，圆柱体的体积=底面积×高）
(1)①当甲容器内水位下降，则乙容器内水位上升______；
② 当 h =28 时，试判断虹吸现象过程中乙容器内的水是否会溢出？
(2)当虹吸现象结束时，若乙容器内水位深度是甲容器内水位深度的3倍，请求出此时长方体木块高度h 的值；
(3)如图3，若乙容器内放入高度为的圆柱体铁块丙，其中乙容器底面积是铁块丙底面积的2倍．若发生虹吸现象的过程中无水溢出，请求写出长方体木块高度h 的最大值．24．如图1，在平而直角坐标系中，的顶点、、，E 是线上一点，且
．
ABC AB AC =BC ABC ∠CD ACD 140BAD ∠=︒BDC ∠40cm cm h 10cm cm 10cm ABC ()3,0A -()0,3B ()1,0C OB AE BC =
(1)求点E 的坐标；
(2)延长交于 D ．
①如图2，判断和的位置关系并说明理由；
②连接，如图3 ， 求证：平分
．
AE BC AE BC OD DO ADC
参考答案与解析
1．A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．根据不等式的基本性质，即可判断答案．
【解答】将两边同时加2，得， 所以A 选项正确，符合题意；
当时，，所以B 选项错误，不符合题意；
当时，，所以C 选项错误，不符合题意；将两边同时加2，得，所以D 选项错误，不符合题意；
故选：A ．
2．B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的底角必为锐角．由等腰三角形的两底角相等可得，内角为的角只能是顶角求解即可；
【解答】解：根据等腰三角形的性质得，
底角度数为：；
故选：B ．
3．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【解答】解：平分，
，
，
，
，
，
，，
，
故选A ．
4．C
a b <22a b +<+0c <ac bc >0d <a b d d
>a b <22a b +<+100︒()180100240︒-︒÷=︒EDB ABD ∠=∠ED BE =AE AB BE AB DE =-=- BD ABC ∠ABD CBD ∴∠=∠DE BC ∥EDB CBD ∴∠=∠EDB ABD ∴∠=∠ED BE ∴=12AB = 7DE =1275AE AB BE AB DE ∴=-=-=-=
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可．
【解答】解：由，得：；
由，得：，
∴不等式组的解集为：；
数轴上表示如图：
故选C ．
【点拨】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键．
5．B
【分析】首先根据三角形内角和定理解得的值，再作图的过程可知是线段的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，进而可得，然后由求解即可．
【解答】解：∵，，
∴，
由题意可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：B ．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理、尺规作图—作垂线、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键．
6．A
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解．根据不等式组的解集得出故的元一次方程，进而解答即可．
【解答】解：，解不等式①，得，
解不等式②，得
，
30x -≥3x ≤10x +>1x >-13x -<≤BAC ∠MN AC AD CD =35DAC C ∠=∠=︒BAD BAC DAC ∠=∠-∠75B ∠=︒35C ∠=︒18070BAC B C ∠=-∠-∠=︒︒MN AC AD CD =35DAC C ∠=∠=︒703535BAD BAC DAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒m 231x m x +>⎧⎨-<⎩
①②2x m >-4x <
不等式组的解集是，，
解得．
故选：A ．
7．A
【分析】本题考查了等边三角形的性质、等角对等边，由等边三角形的性质得出
，，，求出，推出，进而求出的长即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【解答】解：是等边三角形，
，，
是等边的中线，
，，
，
，
，
，
，，，
故选：A ．
8．D
【分析】本题主要考查两条直线的交点问题，运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解，掌握一次函数图象的性质即可求解．
【解答】解：根据题意，把交点代入一次函数中得，
，解得，，
231
x m x +>⎧⎨-<⎩24-<<x 22m ∴-=-4m =AD BD AB ==60A ABD ∠=∠=︒1122
DE AD BD ==30CBD C ∠=∠=︒CD BD =CD ABD AD BD AB ∴==60A ABD ∠=∠=︒ BE ABD △1122
DE AD BD ∴==BC AB ⊥ 90ABC ∴∠=︒60A ABD ∠=∠=︒ 906030CBD C ∴∠=∠=︒-︒=︒CD BD ∴=12
DE CD ∴=243
CD BD CE ∴===4AB ∴=(),3P a 21y x =-+213a -+=1a =-
∴，
把点代入一次函数图象得，，
根据一次函数的图象可得，，故A ，B 选项正确，不符合题意；当时，，故C 选项正确，不符合题意；
当时，，故D 选项错误，符合题意；
故选：D ．
9．B
【分析】本题考查解一元一次不等式，先求得不等式的解集，再求得所有正整数解，进而可求解．
【解答】解：解不等式得，则，
∴该不等式的所有正整数解为1，2，3，4，5，共5个，
故选：B ．
10．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点O 作于点E ，过点O 作于点F ，连接，根据角平分线的性质可得，进一步求的面积即可．理解角平分线的性质是解决问题的关键．
【解答】解：过点O 作于点E ，过点O 作于点F ，连接，如图所示：∵点O 为与的平分线的交点，且，
∴，
∵，的周长为18，
∴
的面积()1,3P -()1,3P -y kx b =+3k b -+=y kx b =+00k b >>，1x =-3kx b +=21kx b x +<-+1x <-()3212x -<24x -<6x <OE AB ⊥OF AC ⊥OA OE OD OF ==ABC OE AB ⊥OF AC ⊥OA ABC ∠ACB ∠OD BC ⊥OE OD OF ==3OD =ABC ABC AOB AOC BOC
S S S =++ 111222AB OE AC OF BC OD =⋅+⋅+⋅
，
故选：D ．
11．【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
【解答】解：∵
∴，
解得：，
故答案为：．
12．【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟记相关结论即可.
【解答】解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴另一个锐角是，
故答案为：13．【分析】本题考查的是利用函数图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键，根据图象再直线的下方可得答案．
【解答】解：根据函数图象可得：
当时，；
故答案为：14．【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键．
根据数轴得到关于的不等式，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意可知，
解得，()12
AB AC BC OD =++×11832
=⨯⨯27=7
a ≥70a -≥7a ≥7a ≥25
906525︒-︒=︒25
>1y =-0x >1y <-0
>1
2
x <-x 212x -+>12
x <-
故答案为：．15．2
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的到角的两边的距离相等，得到，根据的面积是，列式得，再进行化简计算，即可作答．
【解答】解：∵中，于E ，于F ，为的平分线，∴，
∵的面积是，∴，∴，∴，∴，
故答案为：2．
16．【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，其基本步骤为去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1．按解一元一次不等式的步骤求解即可．
【解答】移项，合并同类项得，系数化为1得，．
17．，解集表示见解答
【分析】本题考查了解一元一次不等式组， 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，即可求解；掌握不等式组的解法是解题的关键．
【解答】，解：由①得，
由②得，
不等式组解集是：；
12
x <-DE DF =ABC 228cm 112822AB ED AC DF ⋅+⋅=ABC DE AB ⊥DF AC ⊥AD BAC ∠DE DF =ABC 228cm 112822AB ED AC DF ⋅+⋅=()1282
AC AB FD +⋅=()1820282
FD ⨯+=()2cm FD =2
x ≥-345x x
-≤24
x -≤2x ≥-2x >311442x x x x -≥+⎧⎨+<-⎩
①②1x ≥2x >∴2x >
此不等式组的解集在数轴上表示为：
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，主要考查学生的推理能力和动手操作能力．
（1）根据线段垂直平分线得出，即可得出答案；
（2）作线段的垂直平分线，即可得出答案．
【解答】（1）证明：是中点，
，
是的垂直平分线，
，
；（2）解：作的垂直平分线，交于，则为所求，如图：
．
19．【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式等知识点，先解方程组求出的值，根据列出关于m 的不等式，求解即可，能得出关于m 的不等式是解此题的关键．
【解答】，，得
，
CD BD =DE D AB AD BD ∴=DE BC CD BD ∴=12
CD AB ∴=DE AB F F 5
m <,x y 0x y +>32421x y x y m +=⎧⎨+=-⎩①②
2⨯-②①26x m =-
把代入②得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【解答】（1）证明：在与中，
，∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O 在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E 在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
21．(1)改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元；
(2)改造类学校所，改造类学校所．
【分析】（）根据等量关系列出方程组，再解即可；
（）列出不等式组，再解即可；
26x m =-4121m y m -+=-311y m =-+5x y m +=-0x y +>50m ->5m <AOB COD ≌△△AOB COD △A C OA OC
AOB COD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ASA AOB COD △≌△OB OD =AOB COD ≌△△OB OD =BD BE DE =BD OE BD A B 6688A 4B 212
此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
【解答】（1）解：设改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元，
由题意得：，解得，答：改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是，万元；
（2）设改造类学校所，则改造类学校所，
由题意得：，解得，∵为正整数，
∴，
∴，
故改造类学校所，改造类学校所．
22．(1)见解析
(2)【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理；
（1）根据角平分线定义和平行线的性质证明，得到，然后等量代换求出即可；
（2）求出，可得的度数，然后证明，再根据平行线的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
A B x y 22422220x y x y +=⎧⎨+=⎩
6688
x y =⎧⎨=⎩A B 6688A m B ()6m -()()()()1015670661088156380m m m m ⎧+-≥⎪⎨-+--≤⎪⎩
73417
m ≤≤m 4m =6642m -=-=A 4B 250︒
ABD ADB ∠=∠AB AD =AC AD =ABC ∠ACB ∠20ACD ADC BDC ∠=∠=∠+︒BD ABC ∠ABD DBC ∠=∠AD BC ∥ADB DBC ∠=∠ABD ADB ∠=∠
∴，
∵，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：由（1）知，，
∵，
∴，∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
23．(1)①20；②虹吸现象过程中乙容器内的水不会溢出
(2)长方体木块高度为(3)长方体木块高度h 的最大值为【分析】本题考查一元一次方程和不等式的应用，找准数量关系列方程或不等式计算是解题的关键．
（1）①设乙容器的底面积为，则甲容器的底面积为，然后用下降的水的体积除以乙容器的底面积计算即可解题；②计算出甲、乙容器虹吸结束后的水面高度即可解题；（）设虹吸结束后甲容器内水位高度为，列方程解题求出x 的值，然后根据求出h 即可；
（3）虹吸结束后甲容器内水位高度为，根据水无溢出列不等式计算出的值，然后根据求出h 的取值范围即可解题．
【解答】（1）解：①设乙容器的底面积为，则甲容器的底面积为，
AB AD =AB AC =AC AD =ACD ABD DBC ADB ∠=∠=∠140BAD ∠=︒()1180202
DBC ABD ADB BAD ∠=∠=∠=
︒-∠=︒40ABC ∠=︒AB AC =40ACB ABC ∠=∠=︒AD AC =20ACD ADC BDC ADB BDC ∠=∠=∠+∠=∠+︒AD BC ∥180BCD ADC ∠+∠=︒()()402020180BDC BDC ︒+∠+︒+∠+︒=︒50BDC ∠=︒24cm
27.5cm s 2s 10cm 2cm x 3h x x =-cm x x ()2305h x x =-+-s 2s
∴乙容器内水位上升高度为
，故答案为：；②乙容器内的水不会溢出，理由为：当乙容器水满时，甲容器水位下降，这时甲容器中水位离桌面的距离为，
即乙容器内的水不会溢出；
（2）解：设虹吸结束后甲容器内水位高度为，则乙容器内水位高度为，∴，
解得：，
∴长方体木块高度；
（3）解：虹吸结束后甲容器内水位高度为，则乙容器内水位高度为，放入铁块后的水位增加，
∵发生虹吸现象的过程中无水溢出，
∴，
解得：，
∴，即，解得：，
∴长方体木块高度h 的最大值为．
24．(1)(2)①，理由见解析；②证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（）证明，得到，即可求解；
（）．由得到，又由，进而得到，即可求证；
过点分别作，的垂线，由得到，进而得到
21020cm s s
⋅=204020cm 2s s ⋅=30203040cm 40cm -+==cm x 3cm x ()3230x x =-12x =3224cm h x x x =-==cm x ()230cm x -5cm ()230540x -+≤12.5x ≥()2305653h x x x =-+-=-6512.53
h x -=
≥27.5h ≤27.5cm (0,1)
E AE BC ⊥1()Rt Rt HL BOC AOE ≌1OC OE ==2①AE BC ⊥Rt Rt BOC AOE ≌△△OBC OAE ∠=∠BED AEO ∠=∠90OBC BED OAE AEO ∠+∠=∠+∠=︒②O AD BC Rt Rt BOC AOE ≌△△BOC AOE S S =△△
，又由，，根据角平分线的判定即可求证；
【解答】（1）解：，，，，
，
；
（2），理由如下：
由（）可知，，
，
∴，，
；
证明：如图，过点分别作，的垂线，垂足分别为，，，
，
即，，
，
又，，
点在的平分线上，
即平分．OG OF =OF AD ⊥OG BC ⊥90BOC AOE ∠︒∠== BC AE =OB OA =Rt Rt (HL)BOC AOE ∴≌△△1OC OE ∴==(0,1)E ∴①AE BC ⊥1Rt Rt BOC AOE ≌△△OBC OAE ∴∠=∠BED AEO ∠=∠ OBC BED OAE AEO ∠+∠=∠+∠90BDE AOE ∴∠=∠=︒AE BC ∴⊥②O AD BC F G Rt Rt BOC AOE ≌△△BOC AOE S S ∴=△△1122
BC OG AE OF ⨯=⨯=BC AE OG OF ∴=OF AD ⊥ OG BC ⊥O ∴ADC ∠OD ADC ∠。