【一轮效果监测】高考数学一轮复习检测：《正弦定理和余弦定理及其应用》

正弦定理和余弦定理及其应用
【选题明细表】
一、选择题
1.(2013河南郑州质检)已知△ABC,sin A ∶sin B ∶sin C=1∶1∶,则此三角形的最大内角
的度数是( B )
(A)60° (B)90° (C)120° (D)135° 解析:依题意和正弦定理知,a ∶b ∶c=1∶1∶,且c 最大.
设a=k,b=k,c=k(k>0),
由余弦定理得,cos C==0,
又0°<C<180°,所以C=90°.故选B.
2.(2013唐山模拟)在△ABC 中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( C ) (A)有一解 (B)有两解
(C)无解 (D)有解但解的个数不确定 解析:由正弦定理得
=
,
∴sin B===>1.
∴角B 不存在,即满足条件的三角形不存在.故选C. 3.(2013湖南十校联考)若
=
=
,则△ABC 是( C )
(A)等边三角形
(B)直角三角形,且有一个角是30° (C)等腰直角三角形
(D)等腰三角形,且有一个角是30°
解析:在△ABC 中,将a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入
=
=
得
=
=
,所以
=
=1.所以tan B=tan C=1,
所以B=C=45°.所以△ABC 是等腰直角三角形.故选C.
4.(2013天津模拟)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1,b=
,则S △ABC 等于( C )
(A)(B)(C)(D)2
解析:∵A、B、C成等差数列,
∴A+C=2B,∴B=60°.
又a=1,b=,
∴=,
∴sin A==×=,
∴A=30°,∴C=90°.
∴S△ABC=×1×=.故选C.
5.(2013年高考陕西卷)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C 的最小值为( C )
(A)(B)(C) (D)-
解析:由余弦定理,知
cos C===≥=,
当且仅当a=b时,
cos C取得最小值.故选C.
6. 如图所示,我炮兵阵地位于A处,两观察所分别设于B,D处,已知△ABD为边长等于a的正三角形,当目标出现于C处时,测得∠BDC=45°,∠CBD=75°,则炮击目标的距离AC为( D )
(A)2 a (B) a (C) a (D) a
解析:在△BCD中,由正弦定理得=,
所以BC= a.在△ABC中,由余弦定理得:
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,
所以AC=a,
即炮击目标的距离AC为 a.故选D.
二、填空题
7.(2013年高考北京卷)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b= .
解析:在△ABC中,由b2=a2+c2-2accos B及b+c=7知,
b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×.
整理得15b-60=0,∴b=4.
答案:4
8.(2012安徽淮南质检)在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且a⊥b,则B= .
解析:由a⊥b,得a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0,
利用正弦定理,可得
sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B=
sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0,
即sin(B+C)=sin A=2sin Acos B,
因为sin A≠0,故cos B=,因此B=.
答案:
9.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC 的形状为.
解析:由sin C+sin (B-A)=sin 2A得
sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,
2sinBcos A=2sin Acos A.
∴cos A=0或sin A=sin B.
∵0<A、B<π,∴A=或A=B,
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形.
答案:等腰或直角三角形
三、解答题
10.(2013年高考大纲全国卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.
解:由B=π-(A+C),得cos B=-cos(A+C).
于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=
2sin Asin C,
由已知得sin Asin C=.①
由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.②
由①②得sin2C=,
于是sin C=- (舍去),或sin C=.
又a=2c,所以C=.
11. (2013银川质检)在某海域,以点E为中心的7海里以内海域是危险区域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ
(其中cos θ=,0°<θ<90°)且与点A相距10海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由. 解:(1)由题知AB=40,AC=10,
∠BAC=θ,0°<θ<90°,cos θ=,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos θ,
得BC==10,
所以船的行驶速度为=15(海里/小时).
(2)如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中,由余弦定理得,
cos B=
=
=,
从而sin B=
==,
在△ABQ中,由正弦定理得,
AQ===40,
所以AE=55>40=AQ,且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP⊥BC于点P,在Rt△QPE中,
PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC
=QE·sin(45°-B)
=15×
=3<7.
所以船会进入危险水域.
12.已知A、B是直线y=0与函数f(x)=2cos2+cos-1(ω>0)图象的两个相邻交点,且AB=.
(1)求ω的值;
(2)在锐角△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若f(A)=-,c=3,△ABC的面积为3,求a的值.
解:(1)f(x)=cos ωx+cos ωx-sin ωx
=cos ωx-sin ωx
=-sin,
由函数的图象及AB=,
得到函数的周期T==2×,
解得ω=2.
(2)∵f(A)=-sin=-,
∴sin=.
又∵△ABC是锐角三角形,
∴-<2A-<,
∴2A-=,
即A=,
由S△ABC=bcsin A=×=3,得b=4,
由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccos A=42+32-2×4×3×=13,
∴a=.。