(汇总3份试卷)2019年广州市九年级上学期期末质量检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若要得到函数2(1)2y x =-+的图象，只需将函数2y x 的图象（ ）
A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【答案】A
【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a 值不变即可找出结论．
【详解】∵抛物线y=（x-1）1+1的顶点坐标为（1，1），抛物线y=x 1的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y=x 1先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度即可得出抛物线y=（x-1）1+1． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出结论是解题的关键．
2．如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为（ ）
A ．70°
B ．55°
C ．45°
D ．35°
【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB 的度数，再由OA=OB ，可求出∠ABO 的度数 【详解】
连接OA 、OC ，
∵∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，
∴∠AOB ＝2（∠ADC+∠BAC ）＝70°，
∵OA ＝OB （都是半径），
∴∠ABO ＝∠OAB ＝12
（180°﹣∠AOB ）＝55°． 故选B ．
【点睛】 本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE ，BC 交于点N 、M ，则下列式子中错误的是（ ）
A ．DN AD BM A
B = B ．AD DE AB B
C = C ．DO DE OC BC =
D ．A
E AO EC OM
= 【答案】D
【解析】试题分析：∵DE ∥BC ，
∴△ADN ∽△ABM ，△ADE ∽△ABC ，△DOE ∽△COB ，
∴DN AD BM AB =，AD DE AB BC =， DO DE OC BC
=， 所以A 、B 、C 正确；
∵DE ∥BC ，
∴△AEN ∽△ACM ，
∴
AE AN AC AM
=， ∴AE AN EC NM =， 所以D 错误．
故选D ．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质．注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边成比例．注意数形结合思想的应用．
4．如图，小彬收集了三张除正面图案外完全相同的卡片，其中两张印有中国国际进口博览会的标志，另外一张印有进博会吉祥物“进宝”.现将三张卡片背面朝上放置，搅匀后从中一次性随机抽取两张，则抽到的两张卡片图案不相同．．．
的概率为（ ）
A ．13
B ．49
C ．59
D ．23
【答案】D
【分析】根据题意列出相应的表格，得到所有等可能出现的情况数，进而找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】设印有中国国际进口博览会的标志为“A ”，印有进博会吉祥物“进宝”为B ，由题列表为 A
A B A
(),A A (),A B A (),A A (),A B
B (),B A
(),B A ∴所有的等可能的情况共有6种，抽到的两卡片图案不相同的等可能情况共有4种， 4263P ∴=
=， 故选：D.
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．下列函数，当0x >时，y 随着x 的增大而减小的是（ ）
A ．21y x =+
B ．6y x =-
C ．23y x =+
D ．22y x x =-- 【答案】D
【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出当x ＞0时，y 随x 的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】在y ＝2x ＋1中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项A 不符合题意；
在6y x
=-中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项B 不符合题意； 在2
3y x =+中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 不符合题意；
在y ＝−x 2−2x ＝−（x ＋1）2＋1中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，故选项D 符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断
出当x＞0时，y随x的增大如何变化．
6．附城二中到联安镇为5公里，某同学骑车到达，那么时间t与速度(平均速度)v之间的函数关系式是( )
A．v＝5t B．v＝t＋5 C．v＝5
t
D．v＝
t
5
【答案】C
【分析】根据速度＝路程÷时间即可写出时间t与速度(平均速度)v之间的函数关系式.
【详解】∵速度＝路程÷时间，
∴v＝5
t
.
故选C.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的定义，解题的关键是熟知速度路程的公式.
7．如图，△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
8．如图，已知10
AB ，E是AB的中点，且矩形ABDC与矩形ACFE相似，则AC长为()
A ．5
B ．52
C ．42
D ．6
【答案】B 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵矩形ABDC 与矩形ACFE 相似，
∴AE AC AC AB
=， ∵10AB =，E 是AB 的中点，
∴AE=5
∴510
AC AC =， 解得，AC=52，
故选B ．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
9．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )
A ．k<4
B ．k≤4
C ．k<4且k≠3
D ．k≤4且k≠3
【答案】B
【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.
考点：函数图像与x 轴交点的特点.
10．如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m 的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm ，已知臂长60cm ，则电线杆的高度为（ ）
A ．2.4m
B ．24m
C ．0.6m
D ．6m
【答案】D 【解析】试题解析：作AN ⊥EF 于N ，交BC 于M ，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，
∴BC AM EF AN
＝，
∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，
∴EF=
•0.1230
0.6
BC AN
AM
⨯
==6m．
故选D．
11．某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（）
A．
(1)
2
x x-
=465 B．
(1)
2
x x+
=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465
【答案】A
【解析】因为每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，所以共握手x（x﹣1）次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x（x﹣1）÷2次，解此方程即可.
【详解】解：设九年级（1）班有x名同学，
根据题意列出的方程是
(1)
2
x x-
=465，
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键.
12．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（）
A ．2a 2
B ．3a 2
C ．4a 2
D ．5a 2
【答案】A 【分析】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质．图案中间的阴影部分是正方形，面积是2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半 【详解】解：222114222
a a a +
⨯⨯=． 故选A ．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．若2是一元二次方程x 2+mx ﹣4m ＝0的一个根，则另一个根是_________．
【答案】-4
【分析】将x=2代入方程求出m 的值，再解一元二次方程求出方程的另一个根．
【详解】解：将x=2代入方程得，4240m m +-=，解得，2m =
∴一元二次方程为2280x x +-=
解方程得：122,4x x ==-
∴方程得另一个根为-4
故答案为：-4 ．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程，属于基础题目，比较容易掌握．
14．二次函数y ＝ax 1+bx+c （a≠2）的部分图象如图，图象过点（﹣1，2），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①4a+b ＝2；②9a+c ＞3b ；③当x ＞﹣1时，y 的值随x 值的增大而增大；④当函数值y ＜2时，自变量x 的取值范围是x ＜﹣1或x ＞5；⑤8a+7b+1c ＞2．其中正确的结论是_____．
【答案】①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解：抛物线过点（﹣1，2），对称轴为直线x ＝1．
∴x ＝2b a
- ＝1，与x 轴的另一个交点为（5，2）， 即，4a+b ＝2，故①正确；
当x ＝﹣3时，y ＝9a ﹣3b+c ＜2，即，9a+c ＜3b ，因此②不正确；
当x ＜1时，y 的值随x 值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x 轴的两个交点为（﹣1，2），（5，2），又a ＜2，因此当函数值y ＜2时，自变量x 的取值范围是x ＜﹣1或x ＞5，故④正确；
当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＞2，
当x ＝4时，y ＝16a+4b+c ＞2， ∴15a+7b+1c ＞2，
又∵a ＜2，
∴8a+7b+c ＞2，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.
15．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在一个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =.当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动.当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为______cm .
【答案】24122-【分析】过点D'作D'N ⊥AC 于点N ，作D'M ⊥BC 于点M ，由直角三角形的性质可得3cm ，
3，2cm ，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N=D'M ，即点D'在射线CD 上移动，且当E'D'⊥AC 时，DD'值最大，则可求点D 运动的路径长，
【详解】解：∵AC=12cm ，∠A=30°，∠DEF=45°
∴3，3，2cm
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M
∴∠MD'N=90°，且∠E'D'F'=90°
∴∠E'D'N=∠F'D'M，且∠D'NE'=∠D'MF'=90°，E'D'=D'F'
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）
∴D'N=D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM
∴CD'平分∠ACM
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值2（2）cm
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长=2×（2）=（2）cm
【点睛】
本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，确定点D的运动轨迹是本题的关键．
16．用一个圆心角为150º，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________．
【答案】10 3
【分析】根据扇形条件计算出扇形弧长，由此得到其所围成的圆锥的底面圆周长，由圆的周长公式计算底面圆的半径．
【详解】∵圆心角为150º，半径为8
∴扇形弧长：
150820
1803 l
π
π
⋅
==
∴其围成的圆锥的底面圆周长为：20 3π
∴设底面圆半径为r
则
20
2
3
rππ
=，得
10
3
r=
故答案为：10
3
．
【点睛】
本题考查了扇形弧长的计算，及扇形与圆锥之间的对应关系，熟知以上内容是解题的关键．17．若关于x的一元二次方程x2-2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是______ ．【答案】m≤1
【分析】利用判别式的意义得到()2240
m
=--≥，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得()2240
m
=--≥，
解得1
m．
故答案为：1
m．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．18．如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为_____．
【答案】8
23 3
π-
【解析】试题解析：连接,
CE
∵四边形ABCD是矩形，
4,2,90 AD BC CD AB BCD ADC
∴====∠=∠=，∴CE=BC=4，
∴CE=2CD，
30
DEC
∴∠=，
60
DCE
∴∠=，
由勾股定理得：3
DE=，
∴阴影部分的面积是S=S扇形CEB′−S△CDE
2
60π4218
23π2 3.
36023
⨯
=-⨯⨯=-
故答案为8
π2 3. 3
-
三、解答题（本题包括8个小题）
19．已知二次函数222y x kx =-+．
（1）当2k =时，求函数图象与x 轴的交点坐标；
（2）若函数图象的对称轴与原点的距离为2，求k 的值．
【答案】（1）()22,0-和()22,0+；（2）1k =或－1．
【分析】（1）把k=2代入222y x kx =-+，得242y x x =-+．再令y=0，求出x 的值，即可得出此函数图象与x 轴的交点坐标；
（2）函数图象的对称轴与原点的距离为2，列出方程求解即可．
【详解】（1）∵2k =，
∴242y x x =-+，
令0y =，则2420x x -+=，
解得22x =±，
∴函数图象与x 轴的交点坐标为()22,0-和()22,0+．
（2）∵函数图象的对称轴与原点的距离为2，
∴2221
k --=±⨯， 解得1k =或－1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax 2+bx+c=0根之间的关系：△=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 20．如图， 已知∠ABC＝90°，点P 为射线BC 上任意一点(点P 与点B 不重合)，分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ，连接QE 并延长交BP 于点F. 试说明：（1）△ABP≌△AEQ；（2）EF ＝BF
【答案】1．
【解析】（1）根据等边三角形性质得出AB=AE ，AP=AQ ，∠ABE=∠BAE=∠PAQ=60°，求出∠BAP=∠EAQ，根据SAS 证△BAP≌△EAQ，推出∠AEQ=∠ABC=90°；
（1）根据等边三角形性质求出∠ABE=∠AEB=60°，根据∠ABC=90°=∠AEQ 求出∠BEF=∠EBF=30°，即可得出答案．
（1）解：△BEC是等腰三角形，
理由是：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE平分∠DEB，
∴∠DEC＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ECB，
∴BE＝BC，
∴△BEC是等腰三角形．
（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠ABE＝45°，
∴∠AEB＝45°＝∠ABE，
∴AE＝AB＝，
由勾股定理得：BE＝，
即BC＝BE＝1．
“点睛”本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用．21．2016年3月，我市某中学举行了“爱我中国•朗诵比赛”活动，根据学生的成绩划分为A、B、C、D 四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加朗诵比赛的学生共有人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m= ，n= ；C等级对应扇形有圆心角为度；
（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的朗诵比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小明参加市朗诵比赛的概率．
【答案】（1）40，补图见解析；（2）10，40，144；（3）1 2
【解析】试题分析：（1）根据D等级的有12人，占总数的30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它
等级的人数求得B等级的人数，从而作出直方图；
（2）根据百分比的定义求得m、n的值，利用360°乘以C等级所占的百分比即可求得对应的圆心角；（3）利用列举法即可求解．
试题解析：（1）参加演讲比赛的学生共有：12÷30%=40（人），
则B等级的人数是：40-4-16-12=8（人）．
（2）A所占的比例是：4
40
×100%=10%，
C所占的百分比：16
40
×100%=40%．
C等级对应扇形的圆心角是：360×40%=144°；
（3）设A等级的小明用a表示，其他的几个学生用b、c、d表示．
共有12种情况，其中小明参加的情况有6种，则P（小明参加比赛）=61 122
．
考点：1．条形统计图；2．扇形统计图；3．列表法与树状图法．
22．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．
【答案】小路的宽为2m．
【解析】如果设小路的宽度为xm，那么整个草坪的长为（2﹣2x）m，宽为（9﹣x）m，根据题意即可得出方程．
【详解】设小路的宽度为xm，那么整个草坪的长为（2﹣2x）m，宽为（9﹣x）m．根据题意得：
（2﹣2x）（9﹣x）=222
解得：x2=2，x2=2．
∵2＞9，∴x=2不符合题意，舍去，∴x=2．
答：小路的宽为2m．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，弄清“整个草坪的长和宽”是解决本题的关键．23．根据要求完成下列题目：
（1）图中有块小正方体；
（2）请在下面方格纸中分别画出它的主视图，左视图和俯视图.
【答案】6，根据三视图的基本画法，画出其基本三视图
【分析】试题分析：
小正方形的数=3+2+1=6
考点：简单图形三视图的画法
点评：三视图的图形画法是常考知识点，需要考生在熟练把握的基础上画出各种图形的三视图【详解】
24．如图，抛物线y＝﹣1
2
x2+
3
2
x+2与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，
点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1交抛物线于点Q．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）当点P在线段OB上运动时，直线1交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）；（2）m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（3）存在，点Q（3，2）或（﹣1，0）．
【分析】（1）令抛物线关系式中的x＝0或y＝0，分别求出y、x的值，进而求出与x轴，y轴的交点坐标；（2）用m表示出点Q，M的纵坐标，进而表示QM的长，使CD＝QM，即可求出m的值；
（3）分三种情况进行解答，即①∠MBQ＝90°，②∠MQB＝90°，③∠QMB＝90°分别画出相应图形进行解答．
【详解】解：（1）抛物线y＝﹣1
2
x2+
3
2
x+2，当x＝0时，y＝2，因此点C（0,2），
当y＝0时，即：﹣1
2
x2+
3
2
x+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，因此点A（﹣1,0），B（4,0），
故：A（﹣1,0），B（4,0），C（0,2）；
（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴点D（0,﹣2），CD＝4，
设直线BD 的关系式为y ＝kx+b ，把D （0,﹣2），B （4,0）代入得，
240b k b =-⎧⎨+=⎩
，解得，k ＝12，b ＝﹣2， ∴直线BD 的关系式为y ＝
12
x ﹣2 设M （m,12m ﹣2），Q （m,﹣12m 2+32
m+2）， ∴QM ＝﹣12m 2+32m+2﹣12m+2）＝﹣12m 2+m+4， 当QM ＝CD 时，四边形CQMD 是平行四边形；
∴﹣12
m 2+m+4＝4， 解得m 1＝0（舍去），m 2＝2，
答：m ＝2时，四边形CQMD 是平行四边形；
（3）在Rt △BOD 中，OD ＝2，OB ＝4，因此OB ＝2OD ，
①若∠MBQ ＝90°时，如图1所示，
当△QBM ∽△BOD 时，QP ＝2PB ，
设点P 的横坐标为x ，则QP ＝﹣
12x 2+32x+2，PB ＝4﹣x ， 于是﹣12x 2+32
x+2＝2（4﹣x ）， 解得，x 1＝3，x 2＝4（舍去），
当x ＝3时，PB ＝4﹣3＝1，
∴PQ ＝2PB ＝2，
∴点Q 的坐标为（3，2）；
②若∠MQB ＝90°时，如图2所示，此时点P 、Q 与点A 重合，
∴Q （﹣1，0）；
③由于点M 在直线BD 上，因此∠QMB≠90°，这种情况不存在△QBM ∽△BOD ．
综上所述，点P 在线段AB 上运动过程中，存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似， 点Q （3，2）或（﹣1，0）．
【点睛】
本题考查的是动态几何中的相似三角形问题．考查的知识点有二次函数的性质、平行四边形的判定、两点间的距离公式、相似三角形的判定，利用二次函数性质设Q的坐标是解题关键．注意要考虑全各种情况，不要漏解．
25．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
【答案】（1）相切，证明见解析；（2）62.
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由
tan∠E=OB CD
EB DE
=，推出
3
48
CD
=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）相切，理由如下，如图，连接OC，
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，
∴r=3，AB=2r=6，
∵tan∠E=OB CD EB DE
=，
∴3
48
CD =，
∴CD=BC=6，
在Rt△ABC中，AC=2222
6662
AB BC
+=+=．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识解决问题是关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1
2
x1+1x+a交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的横坐
标为﹣1．
（1）求抛物线的对称轴和函数表达式．
（1）连结BC线段，BC上有一点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F，若EF＝6，求点D的坐标．
【答案】（1）y＝﹣1
2
x1+1x+6；对称轴为x=1；（1）点D的坐标为（1.5，3.5）．
【分析】（1）将点A的坐标代入函数的解析式求得a的值后即可确定二次的解析式，代入对称轴公式即可求得对称轴；
（1）首先根据点A的坐标和对称轴求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，从而设出点D的坐标并表示出点EF的坐标，表示出EF的长后根据EF＝6求解即可．
【详解】解：如图：
（1）∵A 点的横坐标为﹣1，
∴A （﹣1，0），
∵点A 在抛物线y ＝﹣
12x 1+1x+a 上， ∴﹣1﹣4+a ＝0，
解得：a ＝6，
∴函数的解析式为：y ＝﹣12
x 1+1x+6， ∴对称轴为x ＝﹣2b a ＝﹣2122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
＝1； （1）∵A （﹣1，0），对称轴为x ＝1，
∴点B 的坐标为（6，0），
∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+6，
∵点D 在BC 上，
∴设点D 的坐标为（m ，﹣m+6），
∴点E 和点F 的纵坐标为﹣m+6，
∴y ＝﹣12
x 1+1x+6＝﹣m+6， 解得：x ＝24m +
∴EF ＝24m +124m +24m +
∵EF ＝6，
∴24m +＝6，
解得：m ＝1.5，
∴点D 的坐标为（1.5，3.5）．
【点睛】
考查了待定系数法确定二次函数的解析式及抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是正确的求得函数的
解析式，难度不大．
27．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，矩形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，D 、E 在边AB 上． （1）求证：△ADG ∽△FEB ；
（2）若AD ＝2GD ，则△ADG 面积与△BEF
面积的比为 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）4.
【分析】（1）易证∠AGD=∠B ，根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明△ADG ∽△FEB ；
（2）相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明:∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形DEFG 是矩形，
∴∠GDE=∠FED=90°，
∴∠GDA+∠FEB=90°，
∴∠A+∠AGD=90°，
∴∠B=∠AGD ，
且∠GDA=∠FEB=90°，
∴△ADG ∽△FEB ．
（2）解：∵△ADG ∽△FEB ， ∴AD EF DG BE
=, ∵AD ＝2GD, ∴2AD DG =, ∴224ADG
FEB S S ==.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，求证△ADG ∽△FEB 是解题的关键．
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知
3
4
x
y
=，则
x y
y
+
=（）
A．4
7
B．
7
4
C．
3
7
D．
7
3
【答案】B
【分析】由
3
4
x
y
=得到x=3
4
y,再代入计算即可.
【详解】∵
3
4 x
y
=,
∴x=3
4 y,
∴x y
y
+
=
3
7
4
4
y y
y
+
=.
故选B. 【点睛】
考查了求代数式的值，解题关键是根据
3
4
x
y
=得到x=3
4
y，再代入计算即可.
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A．x2+3
x
＝0 B．y2﹣3x+2＝0
C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）2【答案】C
【解析】依据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】A．x2
3
x
+=0是分式方程，故错误；
B．y2﹣3x+2=0是二元二次方程，故错误；
C．x2=5x是一元二次方程，故正确；
D．x2﹣4=(x+1)2是一元一次方程，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
3．下列事件不属于
．．．随机事件的是（）
A．打开电视正在播放新闻联播B．某人骑车经过十字路口时遇到红灯
C．抛掷一枚硬币，出现正面朝上D．若今天星期一，则明天是星期二
【答案】D
【分析】不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此可判断出结论．【详解】A．打开电视正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意；
B．某人骑车经过十字路口时遇到红灯，是随机事件，不符命题意；
C．抛掷一枚硬币，出现正面朝上，是随机事件，不符合题意，
D．若今天星期一，则明天是星期二，是必然事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】
此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．关键是理解不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可得.
【详解】A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误，
故选A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
5．一组数据由五个正整数组成，中位数是3，且惟一众数是7，则这五个正整数的平均数是（）A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据题意，五个正整数中3是中位数，唯一众数是7，可以得知比3大的有2个数，比3小的有2个数，且7有2个，然后求出这五个数的平均数即可．
【详解】由五个正整数知，中位数是3说明比3大的有2个数，比3小的有2个数，唯一众数是7，则7有2个，所以这五个正整数分别是1、2、3、7、7，计算平均数是（1+2+3+7+7）÷5=4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了数据的收集与处理，中位数，众数，平均数的概念以及应用，掌握数据的收集与处理是解题的关键．
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A ．球体
B ．圆锥
C ．棱柱
D ．圆柱
【答案】D 【解析】试题分析：观察可知，这个几何体的俯视图为圆，主视图与左视图都是矩形，所以这个几何体是圆柱，故答案选D.
考点：几何体的三视图.
7．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
【答案】C
【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形．
【详解】解：如图，矩形ABCD 中， ,AC BD ∴=
,,,E F G H 分别为四边的中点，
1//,,2EF BD EF BD ∴=1//,,2GH BD GH BD = 1,2
FG AC = //,,EF GH EF GH ∴=
∴ 四边形ABCD 是平行四边形， 11,,,22
AC BD EF BD FG AC === ,EF FG ∴=
∴ 四边形EFGH 是菱形．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．
8．如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分析：
根据“俯视图”的定义进行分析判断即可.
详解：
由几何体的形状可知，俯视图有3列，从左往右小正方形的个数是1，1，1.
故选B．
点睛：弄清“俯视图”的含义是正确解答这类题的关键.
9．抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（）
A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（1，3）D．（﹣1，3）
【答案】A
【解析】分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
详解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选A．
点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．10．下列几何体的左视图为长方形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】分析：找到每个几何体从左边看所得到的图形即可得出结论．
详解：A ．球的左视图是圆；
B ．圆台的左视图是梯形；
C ．圆柱的左视图是长方形；
D ．圆锥的左视图是三角形．
故选C ．
点睛：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握每个几何体从左边看所得到的图形.
11．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB ＝xcm ，宽BC ＝ycm ，把这张纸片沿一组对边AB 和D 的中点连线EF 对折，对折后所得矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似，则x ：y 的值为（ ）
A ．2
B 2
C ．255+
D ．2-12
【答案】B 【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．
【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，宽BC ＝ycm ，
∴AD=BC=ycm ，
由折叠的性质得：AE=12AB=12
x ， ∵矩形AEFD 与原矩形ADCB 相似， ∴AE AD AD AB =，即12x y y x
=， ∴x 2=2y 2，
∴2y ， ∴2x y
=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．
12．平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ）
A ．()3,2-
B ．()2,3
C ．()2,3--
D ．()2,3- 【答案】D
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴点A （-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D ．
【点睛】
本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸（提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸），可以求出竹竿的长为_____尺．
【答案】3
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x 尺，
∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1．5尺，影长五寸＝2．5尺， ∴0.515 1.5
x =，解得x ＝3（尺）． 故答案为：3．
【点睛】
本题考查的是同一时刻物高与影长成正比，在解题时注意单位要统一．
14．已知a=3＋b=3－，则a 2b ＋ab 2=_________．
【答案】6
【解析】仔细观察题目,先对待求式提取公因式化简得ab(a+b),将a=3＋，b=3－，代入运算即可.
【详解】解:待求式提取公因式,得
22(),a b ab ab a b +=+ 将已知代入,得。