高中全程复习方略数学(理) 2.4 二次函数

a 2
≨b=-1.
≨f(x)= x 2 2x 1.
1 2

【反思·感悟】用待定系数法求二次函数的解析式： (1)设一般式是通法； (2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式； (3)已知图象与x轴的两交点,往往设两根式,若选用形式不当， 引入的待定系数过多，会加大运算量.
二次函数图象与性质的应用 【方法点睛】 1.求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、 轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴 与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行 分类讨论；
(3)≧函数f(x)=x2+(a+2)x+b的对称轴为 x= a 2 ，
2
又≧函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1对称， ≨ a 2 1且 a b 1，
2 2
≨a=-4,b=6，
f(x)=x2-2x+6(x∈[-4,6])，
因此，该函数当x=1时取最小值5.
2.二次函数的图象与性质
函数 图象 定义域 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
y o
R
4ac b 2 [ ,+∞) 4a
y x
o
R
2 4ac b （ - ∞, ] 4a
x
值域
b 在 (-∞, ]上递减 , 2a
在(-∞, 2a] 上递增.
在 [ 2a ,+∞)上递减.
函数的图象关于x=

b 成轴对称 2a
【即时应用】
(1)已知二次函数f(x）的图象的对称轴是x=x0，它在区间 ［a,b］上的值域为［f(b),f(a)］,判断下列命题的真假.(请 在括号中填“真”或“假”) ①x0≥b ( ②x0≤a ( ) ) )
③x0∈(a,b)(
④x 0 (a,b)(
答案：(1)①假 ②假 ③假 ④真
(2)-7
5
(3)5
求二次函数的解析式
【方法点睛】
求二次函数解析式的方法及思路
求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键
是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择 规律如下：
【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上的 截距为1,在x轴上截得的线段长为 2 2 ,求f(x)的解析式. 【解题指南】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方 程为x=t;图象在x轴上截得的线段长度公式为|x1-x2|,本题可设
数，其余都不是.
(2)设y=a(x+1)2-3,又过点(0,-4), ≨-4＝a(0+1)2-3,解得a=-1, ≨y=-(x+1)2-3=-x2-2x-4.
(3)≧点A(-1,0),B(1,0)是抛物线与x轴的交点,
≨设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1)①
将M(0,1)代入①,得1=-a,即a=-1, ≨y=-(x+1)(x-1)=-x2+1. 答案：(1)①否 ②否 ③是 ④是 ⑤是 ⑥否 ⑦否 (2)y=-x2-2x-4 (3)y=-x2+1
f(x)的一般式,亦可设顶点式.
【规范解答】设f(x)的两零点分别为x1,x2,方法一：设
f(x)=ax2+bx+c,则由题知： c=1,且对称轴为x=-2. ≨ b =-2,即b=4a.≨f(x)=ax2+4ax+1.
2a
≨|x1-x2|= (x1 x 2 ) 2 4x1x 2 16 4 2 2 a 1 .
)
(2)已知函数f(x)=3x2-12x+5,当x∈[0,3]时,f(x)min=______, f(x)max=______. (3)如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于直线x=1 对称，则函数f(x)的最小值为______.
【解析】(1)≧二次函数f(x)在［a,b］上的值域为 ［f(b),f(a)］， ≨［a,b］应在二次函数对称轴x=x0的某一侧或x0=a或x0=b. ≨x0 (a,b).故④真，①假，②假，③假. (2)f(x)=3(x-2)2-7,≨f(x)在［0,2］上递减,在(2,3］上递增, ≨f(x)min=f(2)=-7,f(x)max=f(0)=5.
） ） ）
(2)若二次函数的图象的最高点为(-1,-3),且过点(0,-4),则其 解析式为___________. (3)已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(1,0)并经过点M(0,1), 则抛物线的解析式为____________.
【解析】(1)根据二次函数的概念及特点判断③④⑤是二次函
1.二次函数的解析式
ax2+bx+c
(h,k)
【即时应用】 (1)判断下列函数是否为二次函数.（请在括号中填“是”或 “否”） ①y=x4-x2; （ ②y= x x; （ ③y=1+3x-x2; （ ④y=2(x+1)2-3; （ ） ） ） ）
⑤y=-3(x+2)(x-3);（ ⑥y=2sin2x+sinx+3;（ ⑦y=log22x-2log2x+3.（
第四节 二次函数
三年4考 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；
高考指数:★★
2.会求二次函数在闭区间上的最值；
3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系
去解决问题.
1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点. 2.常将二次函数及相应的一元二次不等式、一元二次方程交汇 在一起命题,重点考查三者之间的综合应用. 3.题型以选择题、填空题为主,若与导数、解析几何知识交汇， 则以解答题的形式出现.
a 2
≨b=4a=2 ≨函数f(x)的解析式为f(x)= 1 x 2 2x 1.
2
方法二：≧f(x-2)=f(-x-2), ≨二次函数f(x)的对称轴为x=-2. 设f(x)=a(x+2)2+b, 且f(0)=1,≨4a+b=1. ≨f(x)=a(x+2)2+1-4a=ax2+4ax+1, ≨|x1-x2|= (x1 x 2 ) 2 4x1x 2 16 4 2 2 a 1 .
b
b
单调性
在[ 2a ,+∞)上递增.
b
函数 奇偶性
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0) 当b=0时为偶函数
当x= b 时,函数
2a
最值
2 有最小值 4ac b
当x=
4a
有最大值
b 时,函数 2a 2
4ac b 4a
顶点 对称轴
2 b 4ac b ( ， ) 2a 4a