第一章 常用逻辑用语

学习几何“两要”“两注意”
必修二涉及了立体几何和解析几何两部分内容，下面我们仅就这两部分内容谈一下相关的学法问题。

学习立体几何“两个要”：
学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空问点、线、面的关系，从而培养空间想象能力．而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系，它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解．
要提高空间想象力、建立空间观念。

从认识甲面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。

有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空问观念，是个好办法；有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。

此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明’’定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。

要掌握基础知识、基本技能。

要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。

这是因为《立体几何》的内容前后联系紧密，前面内容是后面内容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容。

在解题中，要书写规范，如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把“平面”两字省略掉；要写出解题根据，不论是计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或仅凭直观；对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。

要学会用图(画图、分解图、变换图)帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反征法。

学习解析几何“两个注意”：
“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．’’作为学习解析几何的开始，我们引入了我国著名的数学家华罗庚的一句话，他告诉了我们“数”和“形’’各自的特点和不足，从而强调了数形结合的重要性，尤其是在解析几何的学习过程中，我们始终都要注意运用数形结合的思想和方法。

当然，学习这一部分内容，只是了解这种思想也是不够的，现在，就为大家介绍一下学习解析几何要注意的两点：注意比较总结。

如第三章介绍了直线方程的四种形式，它们有很多的相似之处，当然也有很多的不同，它们之间有着千丝万缕的联系。

学习完之后，自己比较一下，形式和结构都有什么异同，哪些量是它们共有的，哪些量是某种形式所特有的。

当你比较完之后，再回过头来看这一章，你就会发现，原来这一章的内容竟然如此的简单和清晰。

记住：一定要自己去总结哦!!别人给你的东西永远都是别人的，不是你自己的，只有自己总结过，才能清晰的把握问题的重点。

注意形数结合。

解析几何的基本思路是把平面几何问题用代数的方法解决，因此它是把平面几何的问题通过直角坐标系转化为数的运算，在这个过程中，有时联想平面几何的一些基本问题，往往可以使解题的方法简化，但是这类题型不是主要的题型，不是主要的内容，所以学好解析几何关键还是尽量多的掌握用代数方法刻画的图形的某些公式和方程，并熟练地掌握它们。

总之，学习立体几何和解析几何，仅有上述方法是不够的，还需要同学们在平时的学习实践中认真体会，积累经验，学会聪明做题，及时反思总结。

祝同学们早日进入几何学习的自由王国!
第一章 常用逻辑用语
§1.1命题 (第一课时)
课表定向
学习目标
了解命题的概念及命题的构成，要知道命题包含真命题和假命题.
提示与建议
常用逻辑用语作为日常生活和学习中用来描述问题的重要词语，应结合具体的例子加以解释、分析、体会．
互动探究
自主探究
1.①___________________叫做命题.
2.②___________________叫做真命题. ③___________________叫做假命题.
3.若一个命题能写成“若p ，则q ”的形式，则把命题中的p 叫做④____，q 叫做⑤____.
剖例探法
★讲解点一 命题的判断
例题1 判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假并说明理由。

(1) 矩形难道不是平行四边形吗?
(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? (3)一个数不是合数就是质数．
(1)大角所对的边大于小角所对的边．
(5)x y +是有理数，则x 、y 也都是有理数． (6)求证x ∈R ，方程2
10x x ++=无实根．
(7)若n S 是等比数列{n a }的前n 项和，
q 是其公比，则1(1)
1n n a q S q
-=-.
【思维切入】根据命题的定义进行判断．
【解析】(1)反问句，对矩形是平行四边形作出了判断，是真命题． (2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断，不是命题．
(3)是假命题，数l 不是舍数也不是质数．
(4)是假命题，必须在同一个三形或全等三角形中． (5)
是假命题，如x
=
y =
(6)祈使句，不是命题．
(7)是假命题，当公比1q =时不成立．
【规律技巧总结】判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假．一般地，陈述句“π是无理数”，反意疑问句“难道两条对角线互相平分的四边形不是
数”，疑问句“π是无理数吗?”，感叹句“向抗洪英雄致敬!”就不是命题．
判断一个命题的真假时，首先要理解命题的结构，然后要联系其他有关的知识来判定，特别要注意联想有关的定义、性质、公式，而不是通过逻辑知识本身. ★讲解点二 命题的结构
例题2 将下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假。

(1)偶数能被2整除
(2)奇函数的图象关点原点对称； (3)同弧所对的圆周角不相等．
【思维切入】首先找准命题的条件和结论，再写成“若p ，则q ”的形式．
【解析】(1)若一个数是偶数．则它能被2整除．真命题．
(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称，真命题．
(3)若两个角为同孤所对的圆周角，则它们不相等， 假命题．
【规律技巧总结】判断命题真假首先要分清条件和结论．
例题3把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并
判断命题的真假．
(1)ad bc a b >⇔> ；
(2)已知x 、y 为正整数，当1y x =+时，
3,2y x ==；
(3)当14
m >
时，2
10mx x -+=无实根； (4)当0abc =时，0a =或0b =或0c =；
(5)当2
230x x --=时，3x =或1x =-． 【解析】(1)若ad bc >，则a b >，假命题． (2)已知x 、y 为正整数，当1y x =+，则3y =且
2x =，假命题．
(3)若14
m >，则2
10mx x -+=无实根．真命题．
(4)若0abc =，则0a =或0b =或0c =，真命题．
(5)若2
230x x --=，则3x =或1x =-．真命题．
【规律技巧总结】在(2)中，“已知x 、y 为正整数”是大前提，不能把它写在条件中，应当写在前面，仍
然作为命题的大前提．
★讲解点三 判断命题的真假
例题4设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①
A B ⇔对任意x A ∈，有x B ∉；
②
A B ⇔A B φ=； ③
A B ⇔A
B ；
④
A
B ⇔存在x A ∈，使得x B ∉．
其中真命题的序号是_______（把符合要求的命题的序号都填上)．
【思维切入】依据A B ⊆的定义． 【解析】∵
A B ，∴有两种可能：(1)A B φ≠；
(2) A
B φ=．∴①②③都不对．只有④对．
【答案】④
【规律技巧总结】对该类问题通常需逐个判断． 例题5判断下列命题的真假．
(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；
(2)若3x =或7x =，则(3)(7)0x x --=； (3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若a 、b 都是奇数，则ab 必是奇数．
【思维切入】判定一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出则是真命题，否则为假命题．
【解析】(1)是假命题；(2)(3)(4)是真命题．
【规律技巧总结】在(1)中不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．在(4)中令121a k =+，
221
b k =+，
1
k 、
2k ∈Z
，则
12122(2)1a b k k k k =+++，显然1212
2k k k k ++是一个整数．故ab 是奇数．
精彩反思
1．判断一个语句是不是命题就是要看它是否符合“是
陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有同时满足这两个条件的语句才是命题． 2．一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既 真又假，也不能模棱两可无法判断其真假．当一个 命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这种命题的真假的办法：
①若由“p ”经过逻辑推理得出“q ”，则可确定“若p ，则q ”是真；确定“若p ，则q ”为假， 则只需举一个反例说明． ②从集合的观点看，我们建立集合A 、B 与命题中
p 、q 之间的一种特殊联系：设集合{|()A x p x =成
立}，{|()B x q x =成立}．就是说，A 是全体能使
条件p 成立的对象x 所构成的集合，
B 是全体能使条件q 成立的对象x 所构成的集合，此时，命题“若p ，
则q ”为真(意思就是“使p 成立的对象也使q 成 立”)，当且仅当A B ⊆时满足．
3．若将含有大前提的命题改写为“若p ，则q ”的形式时，大前提不变，仍作为大前提，不能写在条件p 中．
自我测评
一、选择题
1．下列语句是命题的是( ) A ．你能帮助我学好数学吗? B ．地上有个月亮 C ．四边形的对角线 D ．整数集和自然数集
2．下列语句中不是命题的是( ) A ．台湾是中国的一个省 B ．2007年8月1日是中国人民解放军建军80周年
的日子
C ．上海是中国最大的城市
D ．连结A 、B 两点
3．用数学式子表达“x 不大于y ”的实际含义是( )
A ．x y ≠
B ．x y <且x y =
C ．x y <
D ．x y <或x y = 二、填空题
4．给定下列命题：
①若0k >，则方程2
20x x k +-=有实数根；
②若a c b c +>+，则a b >； ③对角线相等的四边形是矩形；
④若0xy =，则x 、y 中至少有一个为0． 其中真命题的序号是________． 三、解答题
5．判断下列语句是不是命题，并判断其真假．
(1)2+是无理数：
(2)l+l>2；
(3)非典犁肺炎是怎样传染的? (4)奇数的平方仍是奇数； (5)好人一生平安！
6．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式．并判断真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)能被6整除的数既能被3整除，也能被2整除； (3)平行于同一平面的两直线平行．
拓展迁移
思维提升
7．(2009年江西卷．文l 题)下列命题是真命题的为 ( ) A ．若
11
x y
=，则x y = B ．若2
1x =，则1x = C ．若x y =
=
D ．若x y <，则22
x y <
视野拓展
中国古代科学家——商高
“商高定理”即为勾股定理．商高是公元前11世纪的中国人．当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期．在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话．商高说：“…故拆矩，勾广三，股修四，径隅五”．商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时，径隅(就是弦)则为5．以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．
§1.1.2四种命题 §1.1.3四种命题的相互关系
课表定向
学习目标
1.理解四种命题的含义，能够由其中一种命题写出其它三种命题．
2. 理解四种命题间的关系，知道其关系具有相对性．
提示与建议
尽量避免对逻辑用语的机械记忆和抽象理解．
互动探究
自主探究
一、四种命题
1．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ①____和②____，那么这两个命题叫做互逆命题． 2．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 ③____和④____，那么这两个命题叫做互否命题． 3．将原命题的⑤____作为结沦，而⑥________，得到的新命题称为原命题的逆否命题． 二、四种命题的真假判断
1．原命题为真，它的逆命题⑦________． 2．原命题为真，它的否命题⑧________． 3．原命题为真，它的逆否命题⑨________． 4．互为逆否的命题是等价命题，它们⑩________，同一个命题的逆命题和否命题是⑾________ 的命题，所以它们⑿________．
综合上述四条可知，在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是⒀____个，要么是⒁____ 个．要么是⒂____个．
剖例探法
★讲解点一 四种命题的概念及其真假的判定 (1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写； (2)在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，可借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判断．
例1设原命题是“当0c >时，若a b >，则
ac bc >”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，
并分别判断它们的真假．
【思维切入】原命题： 若p ，则q ；逆命题：若q ，则p ；否命题：若p ⌝，则q ⌝；逆否命题：若q ⌝，则p ⌝．
【解】原命题是真命题．
逆命题是“当0c >时，若ac bc >，则a b >”，是真命题．
否命题是“当0c >时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题．
逆否命题是“当0c >时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．
【规律技巧总结】 (1)注意题目“a b >”的否定应为“a ≤b ”而不是“a b <”．
(2)原命题中“当0c >时”是大前提，在写这类命题的其他三种命题时，要保持不变． ★讲解点二 反证法 (1)反证法的逻辑依据： 从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则q ⌝”(等同于“p ，且q ⌝”)，由此进行逻辑推理，如果发生矛盾，那么“若p ，则q ”为假，因此可知“若p ，则q ”为真．像这样证明“若p ，则q ”为真的方法．叫做反让法．
(2)用反证法证明问题的一般步骤：
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③从矛盾判定假设不正确．从而肯定命题的结论正确． 例2证明：若2
2
2p q +=，则p q +≤2
【思维切入】将“若22
2p q +=，则p q +≤2”视
为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若2p q +>，则2
2
2p q +≠”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目地，当然,亦可用其他证法． 证法l ：若2p q +>，则
22221[()()]2p q p q p q +=-++≥21
()2
p q +>
2
1222
⨯=， 所以222p q +≠．
这表明原命题逆否命题为真命题从而原命题也为真命题．
证法2：∵222p q +=
，∴设p α=
，
q α
=．
则
2sin()4
p q π
ααα+==+≤2
．故有p q +≤2．
证法3：令t p q =+，则q t p =
-，代入222
p q +=并整理得222220p tp t -+-=，∵p ∈R ，∴
22442(2)t t ∆=-⨯-≥0，
∴2
t ≤4，∴-2≤t ≤2，即有p q +≤2． 【规律技巧总结】
本题中，由于要证p q +≤2．需要2p q +<，
2p q +=这两种情况．为了使问题变得简单，故考
虑p q +≤2的反面。

即2p q +>，因此想到了证明它的逆否命题(证法l)．
当条件中出现2
2
x y +≤2
R （0R >）时，可用三角代换：cos x t α=，sin y t α=（0t <≤R ）有时可起到化难为易之效果(证法2)
精彩反思
1．学习四种命题的关键在于了解命题的结构，掌握四种命题的组成及互为逆否命题的等价性，即原命题⇔逆否命题，否命题⇔逆命题．因此，在判断四种命题的真假时，只可判断其中的两个． 2．当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命题的逆否命题的真假，从而判断出原命题的真假． 3．对于不是“若p ，则q ”形式的命题，要写出其他三种命题，应先把它改写成“若p ，则q ”形式，以分清原命题的条件与结论，否则写出的命题有可能
面目全非． 4．间接证法常用于证明如下形式的问题：证明惟一性、无穷性问题；命题中出现“至少”，“没有”，“都不”等指示性词语；正濉则反，即若你从正而考虑解决不好入手或比较麻烦，可以从命题的反面入手解决．
自我测评
一、选择题 1．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( )
A ．上述四个命题
B ．原命题与逆命题
C ．原命题与逆否命题
D ．逆命题与否命题 2．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四 棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )
A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等
或互补
C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 3
设正确的是( )
A
B
C
D
二、填空题
4．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①
A B ⇔对任意x A ∈，有x B ∈；②
A
B ⇔A B φ=；③
A
B ⇔A
B ；④
A
B ⇔存在x A ∈，使得x B ∉．其中
真命题的序号是_______（把符合要求的命题的序
号都填上)．
5．给定下列命题：①“若0k >，则2
20
x x k --=有实数根”；②“若a b >，则a c b c +>+”的否
命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若
0xy =，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是________． 三、解答题
6．判断命题“若0m >，则2
0x x m +-=有实数根”的逆否命题的真假．
7．用反证法证明：若2
2
2a b c +=，则a 、b 、c 不可能都是奇数．
视野拓展
8．(2009年重庆卷．文2题)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 视野拓展
中国古代伟大的数学家——刘徽
他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在几何方面，提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．《海岛算经》一书中．刘徽精心选编了九个测量问题．这些题目的创造性、复杂性和富有代表性．都在当时为西方所瞩目．
§1．2 充分条件与必要条件
(第一课时)
课表定向
学习目标
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．会判断所给条件是充分条件、必要条件、充要条件．
提示与建议
学会类比的方法，将有关概念进行类比，以便更
好地理解和运用．
互动探究
自主探究
1如果命题“若p ，则q ”为真．记为①________,“若p ，则q ”为假，记为②________． 2．如果已知p q ⇒，则p 是q 的③________．q 是p 的④________．
3．如果既有p q ⇒，又有．则p 是q 的⑤________， 记为⑥________． 4．如果p q ⇒/且q p ⇒,则p 是q 的⑦________．
★讲解点一 充分条件、必要条件与充要条件
当命题“若p ，则q ”经过推理证明判定是真命
题时，我们就说由p 成立可推出q 成立，记作p q ⇒，读作“p 推出q ” ． 一般地，已知命题“若p ，则q ”真，既可记为p q ⇒，这时我们就称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．如果p q ⇒且q p ⇒，则称充分且必要条件，简称p 是q 的充要条件，记作“p ⇔ q ”，显然， q 也是p 的充要条件．
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的下列关系：
1．从逻辑推理关系上看 (1)若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分而不必要条件；
(2)若q p ⇒，但p q ⇒/，则p 是q 的必要而不充分条件；
(3)若p q ⇒且q p ⇒ (或p q ⇒且p q ⌝⇒⌝)，则p 是q 的充要条件； (4)若p q ⇒/，且q p ⇒/，则既p 不是q 的充分条件也不是q 的必要条件．
对充要条件的理解和判断，要搞清楚其定义实质：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，所谓“充分”，即要使q 成立，有p 成立就足够了；若q p ⇒，则p 是
q 的必要条件，所谓“必要”，即p 是q 成立的必不
可少的条件，缺其不可． 例l 给出下列四组命题：
⑪p ：20x -=；q ：(2)(3)0x x --=； ⑫p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等； ⑬p ：2m <-；q ：方程2
0x x m --=无实根； ⑭p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等． 试分别指出p 是q 的什么条件． ；
【思维切入】判定p 是q 的什么条件，首先分清什么是p ，什么是q ，再分清谁推谁．例如p q ⇒，但q p ⇒/，则|称p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．
【解析】(1)∵20x -=⇒(2)(3)0x x --=，而
(2)(3)0x x --=⇒/20x -=，
∴p 是q 的充分不必要条件．
⑫∵两个三角形相似⇒/两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似 ∴p 是q 的必要不充分条件．
⑬∵2m <-⇒方程2
0x x m --=无实根，但方程
20x x m --=无实根⇒/2m <-，
∴p 是q 的充分不必要条件．
⑭∵矩形的对角线相等，∴p q ⇒；
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q p ⇒/， ∴p 是q 的充分不必要条件． 【规律技巧总结】“p 是的充分条件”有以下相同意义的说法：①若p ，则q ；②p q ⇒；③q 是p 的必要条件．
★讲解点二 充分条件、必蔓条件与充要条件之间的关系
一般地．如果既有p q ⇒，又有q p ⇒就记作p q ⇔，“⇔”叫做等价符号，“ p q ⇔”表示“p q ⇒且q p ⇒”，这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．
例2已知都p 、q 是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么： (1) s 是q 的什么条件? (2) r 是q 的什么条件?
(3) p 是q 的什么条件?
【思维切入】可将已知r 、p 、q 、s 的关系用图l 一
2—2表示．然后利用图示解答问题．
【解析】由图l —2—2可知： (1)因为p s ⇒，s r q ⇒⇒，所以s 是q 的充要条件．
(2)因为r q ⇒，q s r ⇒⇒，所以r 是s 的充要条件．
(3)因为q r ⇔，r q ⇒，∴q p ⇒，从而可知p 是q 的必要不充分条件．
【规律技巧总结】
解决务件的传递性问题关键是画出结构图，然后利用定义进行判断．
精彩反思
1.从逻辑关系上，关于充分不必要条件、必要不充分
条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定．
2．一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方 法：
(1)定义法：直接利用定义进行判断； (2)等价法：“p q ⇔”表示p 等价于q ，等价命题可以进行转换，当我们要证明p 成立时，就可以去证明q 成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题“、“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件或结论是不等式关系(否定式)的命题一般应用等价法．
自我测评
一、选择题
1．已知两个命题：22:23,:A x x B x +==，则A 是B 的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既小充分也不必要条件
2．设x 是实数．则“0x >”是“||0x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设,a b ∈R ，已知命题:p a b =，命题
2:()2a b q +≤22
2
a b +，则p 是q 成立的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 二、填空题
4．方程2
310ax x ++=至少有一个负根的充要条件 是________．
5．已知:4,:1p a b q a +≠≠或3b ≠，则p 是q 的
________条件。

6．设()s i n ()(,f x A x A ωϕω=+为
正常数，x ∈R ），则(0)0f =是()f x 为奇函数的____条
件．
拓展迁移
思维提升
7．(2009年山东卷．文9题)已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 视野拓展
南北朝时候的数学家——祖冲之
祖冲之的主要成就在数学、天文历法和机械制造三个领域．他还精通音律，擅长下棋，还写有小说《述异记》．采用刘徽割圆术分割到l2 288边形．又用刘徽圆周率不等式得祖冲之著名的圆周率不等式：3．14 1 5 92 6π<<3．14 1 592 7．祖冲之的这一结果精确到小数点后第7位，直到一千多年后才由15世纪的阿拉伯数学家阿尔·卡西以17位有效数字打破此记录，有些外国数学史家建议把π叫做“祖率”．
§1.2.2充分条件必要条件
（第二课时充分条件、必要条件、充要条件的证明与应用）
课表定向
学习目标
1. 进一步理解充要条件的定义．
2. 能币确运用“条件”的定义证明及应用．
提示与建议
用集合的观点去理解相关概念，提高分析问题和
解决问题的能力．
互动探究
自主探究
1.要证明p 是q 的充要条件，既要证明①____，又要证明②____．
2.若A B ⊆，则A 是B 的③________，B 是A 的④________；若A B =，则A 是B （或B 是A ）的⑤________．
剖例探法
★讲解点一 充分条件、必要条件、充要条件
从集合与集合之问关系上看
⑪若A B ⊆，则A 是B 的充分条件； (2)若A B ⊇，则A 是B 的必要条件；
(3)若A B =，则A 是B 的充要条件； ⑭若
A
B 且
B A ，则A 既不是B 的充分条件
也不是B 的必要条件．
例题1(2010年佛山模拟)05x <<是成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【思维切入】先解不等式再判断．
【解析】设05x <<所对应的集合为A ，则
{|05}A x x =<<，不等式|2|4x -<的解所对应
的集合B ，
则{||2|4}{|26}B x x x x =-<=-<<． ∵
A
B ,则05x <<是|2|4x -<成立的充分条
件但不是必要条件，故选A ． 【答案】A
【规律技巧总结】从集舍的观点来判断充要条件的思考方法，有助于进一步加深对充要条件的理解． ★讲解点二 充要条件的应用
例2已知2
:820p x x --≤0,2
2
:21q x x m
-+-≤0(0m >)．若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
【思维切入】先求出两个命题的解集，再比较包含关系．
【解析】法一：由2
820x x --≤0得一2≤z≤1 0．由
2221x x m -+-≤0得．
∴:{|10p A x x ⌝=>或2}x <-，
:{|1q B x x m ⌝=>+或1}x m <-
∵p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件， ∴
A
B ．
∴011012m m m >⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
，解得0m <≤3． 法二：由2
820x x --≤0得一2≤x ≤10， 由2
2
21x x m -+-≤0 得1m -≤x ≤1(0)m m +>． ∴:{|2p A x =-≤x ≤10}，
:{|1q B x m =-≤x ≤1}m +，
∵p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件． ∴
B
A ．
∴011012m m m >⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
解得0<m≤3． 【规律技巧总结】 把p 、q 之间的充要关系转化为p 、q 确定的集合之间的包含关系是解决这类问题的
关键．同时，注意命题等价性的应用，可简化解题过程．
★讲解点三 充分条件、必要条件、充要条件的证明
证明充要条件，即证明命题的原命题和逆否命题都成立．证明充要性时一定要注意分类讨论，要搞清它的叙述格式，避免在论证时将充分性错当必要性证，而又将必要性错当充分性证．
例题3试证：一元二次方程2
0ax bx c ++=有一正根和一负根的充要条件是0ac <．
【思维切入】证明充要条件，即证明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“q 是p 的充要条件”两种说法的差异，分清哪是条件，哪是结论．
【证明】必要性：由于方程20ax bx c ++=有一正
根和一负根，故2
40b ac ∆=->及120c
x x a
=
<， ∴0ac <．
充分性：由0ac <知2
40b ac ∆=->及
120c
x x a
=
<， ∴方程2
0ax bx c ++=有两不相等实根，且两根异。