11二次规划与割平面法

第十一章 二次规划与割平面法
本章主要内容：等式约束二次规划问题的起作用集方法 Wolfe 算法 Lemke 算
法 割平面法
教学目的及要求：了解等式约束二次规划问题的起作用集方法、Wolfe 算法、
Lemke 算法、割平面法。

教学重点：等式约束二次规划问题的起作用集方法． 教学难点：等式约束二次规划问题的起作用集方法． 教学方法：启发式．
教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合． 教学时间：2学时． 教学内容：
§11.1 等式约束二次规划问题
等式约束二次规划问题可表为
1min ();
2,
T T
f x x Qx c x Ax b ⎧=+⎪⎨
⎪=⎩s.t. （11.1.1） 其中n n Q R ⨯∈且对称，,,n m m n c R b R A R ⨯∈∈∈且不妨设rank A m n =<．下面介绍求解问题（11.1.1）的两种方法． 一、直接消去法
求解问题（11.1.1）最简单又最直接的方法就是利用约束来消去部分变量，从而把问题转化成无约束问题，这一方法称为直接消去法．
将A 分解为(,)A B N =，其中B 为基矩阵，相应地，将,,x c Q 作如下分块
11122122,,B B N N x c Q Q x c Q x c Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
其中11m m Q R ⨯∈．这样，问题（11.1.1）的约束条件变成
B N Bx Nx b +=，
即得
11B N x B b B Nx --=-，
代入()f x 中就得到与问题（11.1.1）等价的无约束问题
21ˆ
ˆmin ()2
T T N N N N N x x Q x c x ϕ=
+，
（11.1.2） 其中
1111222211211
ˆ()()T T T T Q Q Q B N N B Q N B Q B N ----=--+， 1112111ˆ()(())T T T T N N B c
c N B c Q N B Q B b ---=-+-． 如果2ˆQ 正定，则问题（11.1.1）的最优解显然为12ˆˆN N x Q c -=-，这时，问题（11.1.1）的最优解为
111
2ˆˆ0B N N x B b B N x Q c
x I ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 记点x 处的Lagrange 乘子为v ，则有()T A v f x Qx c =∇=+，故知
11112()()T
B N
B v B Q x
Q x c
-=++． 如果2ˆQ 半正定且问题（11.1.2）无下界，或2
ˆQ 有负特征值，则不难证明问题（11.1.1）不存在有限解．
例1 求解二次规划问题
222
123123123min ();24,
2.f x x x x x x x x x x ⎧=++⎪
+-=⎨⎪-+=-⎩
s.t. （11.1.3） 解 将约束写成
12312
324,
2.x x x x x x +=+⎧⎨
-=--⎩ 用高斯消元法求得
132312
,233
x x x x =-=+， （11.1.4）
代入()f x 中可得等价的无约束问题233
3148
min ()493
x x x ϕ=++， 其中228ˆ9Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭显然正定，故令3()0x ϕ∇=，求得367x =-，代入（11.1.4）式中得12210
,77
x x ==．因此，问题（11.1.3）有唯一的最优解
1232106
(,,)(,,)777
T T x x x x ==-．
再利用T A v Qx c =+即
12112002/72102010/7110026/7v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 可求得1284
,77
v v ==-．
直接消去法思想简单明了，使用方便．不足之处是B 可能接近一个奇异方阵，从而引起最优解x 的数值不稳定． 二、Lagrange 乘子法
求解问题（11.1.1）的另一种方法是Lagrange 乘子法．问题（11.1.1）的Lagrange 函数为
1(,)()2
T
T T L x v x Qx c x v Ax b =
+--． 令
(,)0,(,)0x v L x v L x v ∇=∇=，
得到K-T 条件
0,0T Qx c A v Ax b +-=-=，
写成矩阵形式，有
0T x c Q A v b A ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
⎝⎭⎝⎭， （11.1.5）
其系数矩阵称为Lagrange 矩阵，它是对称的但不一定正定． 若上述Lagrange 矩阵可逆，则可表为
1
0T T
H R Q A R G A --⎛⎫-⎛⎫
= ⎪ ⎪--⎝⎭
⎝⎭
， （11.1.6） 从而，由（11.1.5）式可得问题（11.1.1）的最优解
,
.T
x Hc Rb v R c Gb =-+⎧⎨=-⎩
（11.1.7） 当1Q -存在时，由（11.1.6）式可得H 、R 、G 的表达式为
11111()T T H Q Q A AQ A AQ -----=-，
111()T T R Q A AQ A ---=，
11()T G AQ A --=-．
下面给出x 和v 的另一种表达式．
设0x 是问题（11.1.1）的任一可行解，即0Ax b =，在点0x 处目标函数的梯度
00()f x Qx c ∇=+，
则（11.1.7）式可改写为
000(),
().T
x x H f x v R f x =-∇⎧⎪⎨=∇⎪⎩
（11.1.8） 例2 用Lagrange 乘子法求解问题
222123312123123min 22;4,
2 2.x x x x x x x x x x x x ⎧+++-⎪
++=⎨⎪-+=⎩
s.t. （11.1.9） 解 易知
22001114240,0,,21120021Q c A b -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
显然，Q 可逆且
111/201/21/20001/2Q -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，
因此按上述,,H R G 的表达式可得
51/21/43/43/43/43
44421/41/83/8,7/41,511111133/43/89/81/41/42
H R G ⎛⎫
-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-=-=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 从而，问题（11.1.9）的最优解为
21433(
,,)112222
T
x Hc Rb =-+=．
§11.2 起作用集方法
考虑具有不等式约束的二次凸规划问题
1min ();2,
T T f x x Qx c x Ax b ⎧
=+⎪
⎨
⎪≥⎩s.t. （11.2.1） 其中n n Q R ⨯∈且对称正定，,,n m m n c R b R A R ⨯∈∈∈且不妨设rank A m =．
运用起作用集方法的关键是，在每次迭代中，都以已知的可行点为起点，把在该点起作用的约束作为等式约束，而把在该点不起作用的约束暂时去掉不考虑，在新的约束条件下极小化目标函数，求得新的比较好的可行点后，再重复以上步骤．这样，可把问题转化为有限个仅带等式约束的二次凸规划来求解．具体分析如下：
设在第k 次迭代中，已知可行点k x ，在该点起作用的约束指标集用k I 表示．这时需要求解等式约束问题
min ();
,,T
i i k f x a x b i I ⎧⎨=∈⎩
s.t. （11.2.2） 其中i a 是矩阵T A 的第i 列元素构成的n 维向量．
为方便起见，现将坐标原点移至k x 处，令k k d x x =-，则
1
()()()()2T T k k k k k k f x d x Q d x c d x =
++++ 1122T T T T T k k k k k k k k d Qd d Qx x Qx c d c x =++++ 1()()2
T T k k k k k d Qd f x d f x =+∇+． 于是，问题（11.2.2）转化为求校正量k d 的问题
1min ();20,,
T T k k k k T i k k d Qd f x d a d i I ⎧+∇⎪
⎨
⎪=∈⎩
s.t. （11.2.3） 用11.1节解等式约束的二次规划问题的方法求解问题（11.2.3），其最优解仍记为k d ．根据不同情形，采用下列相应的步骤：
（1）若k k x d +是可行点且0k d ≠，则在第1k +次迭代中，取迭代点为
1k k k x x d +=+．
（2）若k k x d +不是可行点，则取搜索方向为k d ，并令1k k k k x x d λ+=+，其中k λ为步长．按保持可行性的要求，步长k λ的取值应使得对于任意k i I ∉都有
()T i k k k i a x d b λ+≥． （11.2.4）
由于k x 是可行点，T i k i a x b ≥，因此当0T i k a d ≥时，对任意的非负数k λ，（11.2.4）式总成立；
在第1k +次迭代中，取迭代点为1k k k x x d +=+．当0T i k a d <时，只要取正数
min ,0T
T
i i k k k i k T i k b a x i I a d a d λ⎧⎫-⎪⎪≤∉<⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，
则对于每个k i I ∉，（11.2.4）式总成立．为了在第k 次迭代中得到较好的可行点，应进一步取min{1,}k k λλ=，其中k λ为上式的右端项．若存在k p I ∉使得
1T p p k
k T p k
b a x a d λ-=
<，则在点1k x +处有
1()T T p k p k k k p a x a x d b λ+=+=．
这说明，在点1k x +处，T p p a d b ≥为起作用约束．因此，应把指标
p 加入点1k x +处的有效约束指标集1k I +中，即令{}1k k I I p += ．
（3）若0k d =，则k x 为问题（11.2.2）的最优解．下面，进一步判断k x 是否为问题（11.2.1）的最优解．为此，需用公式（11.1.8）计算出所有起作用约束的Lagrange 乘子(),k i k v i I ∈．
若()0,k i k v i I ≥∈，则k x 是问题（11.2.1）的K-T 点，又由于问题（121.2.1）是凸规划，因此k x 就是其最优解；
若存在k q I ∈，使得()
0k q v <，则k x 不可能是问题（11.2.1）的最优解．因为可以验证，当()
0k q v <时，在点k x 处存在可行下降方向．因此，取
()()min{|}k k r i k v v i I =∈，并令{}1\k k I I r +=，再解问题（11.2.3）
． 算法11-1（起作用集法）
Step1 选取初始数据．给定初始可行点1x ，相应的起作用约束指标集为1I ，令1k =．
Step2 求解等式约束问题．求解问题（11.2.3），设其最优解为k d ．若0k d =，则转Step4 ；否则，令1min{1,},k k k k k k x x d λλλ+==+，计算1()k f x +∇，转Step3．
Step3 修改起作用约束指标集．若1k λ<，则令{}1,:1k k I I p k k +==+ ，返回Step2；若1k λ=，则令:1k k =+，转Step4．
Step4 检查是否满足终止准则．用公式（11.1.8）计算出所有起作用约束对
应的Lagrange 乘子(),k i k v i I ∈，记()()m in {|}k k r i k v v i I =∈．若()
0k r
v ≥，则迭代终止，k x 为约束问题（11.2.1）的最优解；否则，从k I 中删除指标r ，返回Step2．
§11.3 Wolfe 算法
考虑二次凸规划问题
1min ();2,
0,T T
f x x Qx c x Ax b x ⎧=+⎪⎪
=⎨⎪≥⎪⎩
s.t. （11.3.1） 其中Q 为n 阶半正定矩阵，,,n m m n c R b R A R ⨯∈∈∈且不妨设rank A m =．易知，问题（11.3.1）的形式并不失一般性．
首先研究一下问题（11.3.1）的最优性条件．问题（11.3.1）的最优解x 为K-T 点，即存在,v u 使得
,,
0,0,0.T T
Qx A v u c Ax b u x u x ⎧--=-⎪
=⎪⎨=⎪⎪≥≥⎩
（11.3.2） 若把（11.3.2）式中的非线性部分T u x 作为目标函数，（11.3.2）式中的线性部分作为约束条件，则可得到具有线性约束的非线性最优化问题
min ;,
,0,0.T T u x Qx A v u c Ax b u x ⎧⎪
--=-⎪⎨
=⎪⎪≥≥⎩
s.t. （11.3.3） 设x y v u ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
是问题（11.3.3）的最优解，若满足0T u x =，则其中的x 必为问
题（11.3.1）的最优解．因此，问题归结为求问题（11.3.3）的最优解．
为了使所有变量都具有非负限制，令v v v +-=-，则问题（11.3.3）中的前两个约束条件成为
000T T
n x A v b I Q v c A
A u +-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
⎝⎭ ⎪⎝⎭
， （11.3.4） 后两个约束条件成为
0,0,0,0x v v u +-≥≥≥≥． （11.3.5）
要求问题（11.3.3）的最优解，我们将先求（11.3.4）满足式（11.3.5）的基本解，为此特引入人工变量y ．具体步骤如下：
（1）先用单纯形法的第一阶段法求得满足,0Ax b x =≥的解，记所得解的基变量为B x ，非基变量为0N x =．
（2）确定对角阵()j ij E δ=∆，其中j ∆为1或1-，ij δ满足
1,,
0,.ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩
其意义是：在（11.3.4）式中引入人工变量y 后得到
0000T T
n x v
A b v I Q E c A
A u y +-⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭
⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭
， （11.3.6）
且当x 用（1）中求得的解代入时，若0v v u +-===，则必有0y ≥．
记（1）中A 的分解为(,)A B N =，其中B 为可行基．相应地，将Q 分解为
(,)B N Q Q Q =，则E 应满足
B B Q x Ey c +=-， （11.3.7）
且其中的人工变量12(,,,)T n y y y y = 非负．
记B Q 中的列向量依次为12,,,m q q q ，则（11.3.7）式等价于
(),1
,2,,T j j j j B y c q x j n ∆=-+= ． 因此，E 中j ∆的选取规则为
1,0,1,0.
T
j j B j T
j j B c q x c q x ⎧-+>⎪
∆=⎨+≤⎪⎩ （3）在约束（11.3.6）式和约束
0,0,0,0,0,0T x v v u y u x +-≥≥≥≥≥= （11.3.8）
下极小化线性目标函数1n
i i y =∑．
对于上述线性规划问题，可采用单纯形法求解．但必须注意，进行旋转变换时，要求0T u x =，即当某个0j x >时，j u 不允许进入基变量．旋转变换直到
1
0n
i
i y
==∑时结束，此时得到的x 即为二次凸规划问题（11.3.1）的最优解．
例3 用Wolfe 算法求解二次凸规划问题
21211231241234min ()2;
236,
24,,,,0.f x x x x x x x x x x x x x x ⎧=--+⎪
++=⎪⎨
++=⎪⎪≥⎩
s.t. （11.3.9） 解 易知2
00020
000123106,,,00000222040
00
00Q c A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 首先确定满足,0Ax b x =≥的一个解，显然可取(3/2,1,0,0)T x =，确定
()j ij E δ=∆．由于
220110
03/2100010
00
00B B c Q x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎡⎤ ⎪
⎪ ⎪
+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故12341,1∆=-∆=∆=∆=，因此
1
000010000100
00
1E -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
． 下面，要利用单纯形法在约束（11.3.6）和（11.3.8）下极小化目标函数
4
1i i z y ==∑．表11.3.1中给出了初始数据，为了得到初始单纯形表，表11.3.1的最
后一行对应于目标函数z 中变量系数的反号．
表11.3.1 例3的初始数据表
经过初等行变换，得到以121234,,,,,x x y y y y 为基变量的初始单纯形表11.3.2．
表11.3.2 例3的第一轮迭代后的初始单纯形表
由于1v -对应的检验数2最大，故以1v -为进基变量，显然，3y 为离基变量，进行{5,7}旋转变换，得单纯形表11.3.3．
表11.3.3 例3的第二轮迭代后的单纯形表
现在是4x 对应的检验数最大，故以4x 进入基变量取代1y ，进行{3,4}旋转变换，得单纯形表11.3.4．
表11.3.4 例3的第三轮迭代后的单纯形表
在表11.3.4中，按Dantzig 规则（见算法4-1），下一步应让3u 进入基变量取代2y ，由于30x =，不违反约束330T u x u x ==，故可以进基．进行相应的旋转变换后，得单纯形表11.3.5．
表11.3.5 例3的第三轮迭代后的单纯形表
从表11.3.5右下角的数值知，此时目标函数4
1
0i i z y ===∑，因此，所求的二
次凸规划问题（11.3.9）的最优解为(2/3,14/9,0,10/9)T x =．
定理11.3.1 若问题（11.3.1）中二次目标函数的Hesse 阵Q 是正定的，则用Wolfe 算法必可求得其最优解，即在条件0T u x =下用单纯形法求解问题
1min (11.3.6),(11.3.8)n i i y =⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
∑式式时，必能使1n
i i y =∑达到零值．
一般来说，当Q 是半正定阵时，Wolfe 算法有失败的可能．这时，可将主对角线上的元素作微小扰动，以Q I ε+（0ε>很小）取代Q 后，再利用Wolfe 算法．
§11.4 Lemke 算法
考虑二次规划问题
1min ();2,
0,T T
f x x Qx c x Ax b x ⎧=+⎪⎪
≥⎨⎪≥⎪⎩
s.t. （11.4.1） 其中n n Q R ⨯∈且对称，,,n m m n c R b R A R ⨯∈∈∈，不妨设rank A m =．
引入乘子u 和v ，定义Lagrange 函数
(,,)()()T T L x u v f x u Ax b v x =---．
再引入松弛变量（向量）0y ≥，使Ax y b -=．这样，问题（11.4.1）的K-T 条件为
,,0,
0,0,0,0,0,
T T
T Qx A u v c y Ax b v x y u u v x y ⎧--=-⎪
-=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪≥≥≥≥⎩ （11.4.2） 用矩阵形式表为
ˆ,0,0,
w Mz b
w z ⎧-=⎪⎨
≥≥⎪⎩ （11.4.3） 及
0T w z =， （11.4.4）
其中ˆ,,,0T v x c Q A w z M b y u b A
⎛⎫-⎛⎫⎛⎫
⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
,w z 和ˆb
均为m n +维向量，M 为m n +阶矩阵．求满足（11.4.3）式和（11.4.4）式的解w z ⎛⎫
⎪⎝⎭的问题称为线性互补问题，（11.4.4）式称为互补条件．显然，（11.4.4）
式等价于
0,1,2,,j j w z j m n ==+ ． （11.4.4a ）
设w z ⎛⎫
⎪⎝⎭是线性互补问题的一个解，则由（11.4.4a ）式知，其2()m n +个分量中至少有m n +个分量等于0，而且每个互补变量对(,)j j w z 中至少有一个变量取零值．因此，下面给出互补基本可行解的概念．
定义 设w z ⎛⎫
⎪⎝⎭是问题（11.4.3）的一个基本可行解，且每个互补变量对
(,)(1,2,,)j j w z j m n =+ 中只有一个变量是基变量，则称w z ⎛⎫
⎪⎝⎭是线性互补问题
（11.4.3）和（11.4.4a ）的一个互补基本可行解，简称CBF 解．
这样，求二次规划K-T 点的问题就转化为求线性互补问题的CBF 解．下面，介绍求CBF 解的Lemke 算法．分两种情况讨论：
（1）若ˆ0b ≥，则ˆ0w b z ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
就是一个CBF 解； （2）若ˆ0b ≥/，则引入人工变量0z ，使（11.4.3）式变成
00ˆ,0,0,0,1,2,,,
j j w Mz z e b
z w z j m n ⎧--=⎪⎨
≥≥≥=+⎪⎩ （11.4.5）
其中(1,1,,1)T m n e R +=∈ ．显然，若0w z z ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
是线性互补问题（11.4.4a ）和（11.4.5）
的可行解且00z =，则w z ⎛⎫
⎪⎝⎭
就是所求的CBF 解．
为叙述方便起见，我们先引入准互补基本可行解的概念．
定义 设0w z z ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭是线性互补问题（11.4.4a ）和（11.4.5）的可行解且满足：
（1）0w z z ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
是（11.4.5）的基本可行解；
（2）存在{1,2,,}s m n ∈+ ，使得s w 和s z 都不是基变量；
（3）每个互补变量对(,)(1,2,,,)j j w z j m n j s =+≠ 中恰有一个变量是基变量且0z 是基变量．
则称0w z z ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
是线性互补问题（11.4.4a ）和（11.4.5）的准互补基本可行解，简称ACBF
解．
下面，用单纯形法求ACBF 解． 首先，若令
0ˆˆmax{|1,2,,}0j s z b j m n b =-=+=-> ， ˆˆ0,0s
z w b b e ==-≥， 则0w z z ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
是一个ACBF 解，其中()j w j s ≠和0z 是基变量，其余变量为非基变量． 以上述0w z z ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为初始解，用单纯形法求新的ACBF 解，力图通过这种方法迫
使0z 变成非基变量．为保证可行性，选择主元时要求遵守下面两条规则：
（1）按照单纯形法中的Dantzig 规则确定离基变量（见算法4-1）； （2）若j w （或j z ）离基，则j z （或j w ）进基．
这样将实现从一个ACBF 解到另一个ACBF 解的转换，直至得到一个CBF 解即0z 变成非基变量，或者得出由约束（11.4.4a ）和（11.4.5）所定义的可行域无界的结论．
下面，给出求CBF 解的Lemke 算法的具体步骤． 算法11-2（Lemke 算法）
Step1 若ˆ0b ≥，则停止计算，ˆ0w b z ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是CBF 解；否则，用表格形式表示出（11.4.5）式中的第一个约束．记
ˆˆmax{|1,2,,}s j
b b j m n -=-=+ ， 取第s 行为主行，0z 对应的列为主列，将0z 换入基变量取代s w ，对初始表进行旋转变换后得新表，并令s s y z =，转Step2．
Step2 设现行表中变量s y 即变量s z 下面的列为s d ，若0s d ≤，则停止计算，得到问题（11.4.5）的可行域的极方向；否则，按Dantzig 规则确定指标r ，使
()()()
min 0,1,2,,j s r j s s r j p p d j m n d d ⎧⎫⎪⎪
=>=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭
， 其中j p 为当前表格中右端第j 个元素，即第j 个基变量的当前值，()s j d 为向量s d 的第j 个分量．若第r 行对应的基变量为0z ，则转Step4；否则，转Step3．
Step3 这时第r 行的基变量为l w 或()l z l s ≠，将该基变量作为离基变量，s
y 作为进基变量，进行旋转变换后得新表。

若离基变量是l w ，则令s l y z =；若离基变量是l z ，则令s l y w =，返回Step2．
Step4 这时，变量s y 进基，变量0z 出基，进行旋转变换后，所得新表中0z 为非基变量，故停止计算，得到一个CBF 解．
§11.5 割平面法
考虑二次规划问题
min ();()0,1,2,,,
0,
T i f x c x g x i m x ⎧=⎨
≥=≥⎩ s.t. （11.5.1）
其中,()(1,2,,n
i c R g x i m ∈= 是可微的凹函数．问题的可行域记作
{|()0,1,2,,}i S x g x i m =≥= ，显然，S 为凸集．
算法11-3（割平面法）
Step1 选取初始数据．给定初始多胞形1{|0}S x Ax b =-≥，使得1S S ⊆且目标函数T c x 在1S 上有界，设允许误差0ε>，令1k =．
Step2 求解线性规划问题．求解问题min ;
.
T k c x x S ⎧⎨∈⎩s.t.设其最优解为k x ．
Step3 寻找k x 处的最小约束函数．确定一个下标(1)k k i i m ≤≤，使得
1()mi n ()k i k i k i m
g x g x ≤≤=，若存在多个，任选其一．
Step4 检查是否满足终止准则．若()k i k g x ε>-，则停止计算，k x 即为原凸规
划
问
题
的
近
似
最
优
解
；
否
则
，
令
1{|()()()0},:1k k T k k i k i k k S S x g x g x x x k k +=+∇-≥=+ ，返回Step2．
值得注意的是，算法的Step1中要选取包含S 在内的初始多胞形1S ，一般可采用以下两种方法：
（1）选取较简单的多胞形1S （比如充分大的正方体）包含S ，使所得的线性规划问题有解且易求解；
（2）若对可行域S 的大小难以估计，可先在S 中任选一点0x ，在0x 处对所有()i g x 利用Taylor 展开式可得000()()()(),1,2,,T i i i g x g x g x x x i m ≈+∇-= ． 再取1000{|()()()0,1,2,,}T i i S x g x g x x x i m =+∇-≥= ，易证1S S ⊆．
定理11.5.1 设凸规划问题（11.5.1）满足 （1）()(1,2,,)i g x i m = 是连续可微的凹函数；
（2）在迭代步骤中，确定的一系列线性规划问题min ;
.
T k c x x S ⎧⎨∈⎩s.t.的最优解k x 均
存在， 则有
（1）若存在某个k 使k x S ∈，则k x 即为问题（11.5.1）的最优解；
（2）若情形（1）总不发生，则得到点列{}k x ，其任意极限点都是问题（11.5.1）的最优解．。