高中数学 新北师大版必修第一册 第二章 41 函数的奇偶性 固学练习2

4.1函数的奇偶性固学篇
基础达标
1.若奇函数f(x)在区间[-2，-1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1，2]上()
A.单调递增，且有最小值f(1)
B.单调递增，且有最大值f(1)
C.单调递减，且有最小值f(2)
D.单调递减，且有最大值f(2)
【解析】因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数f(x)在y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[-2，-1]上单调递减，所以f(x)在区间[1，2]上单调递减，所以f(x)在区间[1，2]上有最大值f(1)，最小值f(2)，故选C.
【答案】C
2.(多选题)下列函数是奇函数的有()
A.y=x(x-1)
x-1B.y=-3x
1
3
C.y=x-2
x D.y=πx3-3
5
x
【解析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再确定f(-x)与f(x)的关系.选项A中函数的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)，不关于原点对称，所以排除A；选项B，D中函数定义域均为R，且f(-x)=-f(x)，故为奇函数；选项C中函数定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，且f(-x)=-
f(x)，也是奇函数.
【答案】BCD
3.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的单调递减区间是.
【解析】因为函数f(x)是偶函数，所以k-1=0，即k=1，
所以f(x)=-x2+3，其单调递减区间为[0，+∞).
【答案】[0，+∞)
4.定义在R上的偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈[0，+∞)(x1≠x2)，有f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0，则f(3)，f(-2)，f(1)的大小关系为.
【解析】由已知条件可知f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，所以f(3)<f(2)<f(1).
再由偶函数的性质得f(3)<f(-2)<f(1).
【答案】f(3)<f(-2)<f(1)
5.若函数f (x )={2x 2+7x -4，x >0，g (x )，x <0
为奇函数，则f (g (-1))= . 【解析】当x <0时，-x >0.因为f (x )是奇函数，
所以f (-x )=-f (x )=2(-x )2-7x -4=2x 2-7x -4，
所以f (x )=-2x 2+7x +4.即g (x )=-2x 2+7x +4，
因此，f (g (-1))=f (-5)=-50-35+4=-81.
【答案】-81
6.已知函数f (x )=x 5+ax 3+bx -8，且f (-2)=10，则f (2)= .
【解析】令h (x )=x 5+ax 3+bx ，易知h (x )为奇函数.
因为f (x )=h (x )-8，h (x )=f (x )+8，
所以h (-2)=f (-2)+8=18，
所以h (2)=-h (-2)=-18，
所以f (2)=h (2)-8=-18-8=-26.
【答案】-26
7.已知奇函数f (x )的定义域为[-5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5，0]上的图象；
(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.
【解析】(1)因为函数f (x )是奇函数，所以y =f (x )在[-5，5]上的图象关于原点对称.由y =f (x )在
[0，5]上的图象，可知它在[-5，0]上的图象，如图所示.
(2)由图象知，使函数值f (x )<0的x 的取值集合为(-2，0)∪(2，5).
8.已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )=x 2+3x +2.若当x ∈[1，3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m -n 的值.
【解析】∵当x <0时，f (x )=x 2+3x +2，且f (x )是奇函数，
∴当x >0时，-x <0，则f (-x )=x 2-3x +2，
故f (x )=-f (-x )=3x -x 2-2.
∴当x ∈[1，32]时，f (x )单调递增；
当x ∈(32，3]时，f (x )单调递减.因此当x ∈[1，3]时，f (x )max =f (32)=14，f (x )min =f (3)=-2. ∴m =14，n =-2，从而m -n =94.
9.已知函数f (x )的定义域为(-1，1)，且满足下列条件：
①f (x )为奇函数；②f (x )在定义域上是减函数；
③f (1-a )+f (1-a 2)<0.
求实数a 的取值范围.
【解析】∵f (x )为奇函数，∴f (1-a 2)=-f (a 2-1)，
∴f (1-a )+f (1-a 2)<0⇒f (1-a )<-f (1-a 2)
⇒f (1-a )<f (a 2-1).
∵f (x )在定义域(-1，1)上是减函数，
∴{1-a >a 2-1，
-1<1-a <1，-1<a 2-1<1，
解得0<a <1，
故实数a 的取值范围为(0，1). 素养提升
10.设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f (x )g (x )是偶函数
B.|f (x )|g (x )是奇函数
C.f (x )|g (x )|是奇函数
D.|f (x )g (x )|是奇函数
【解析】∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴f (-x )=-f (x )，g (-x )=g (x ).对于A ，f (-x )g (-x )=-f (x )g (x )，故f (x )g (x )是奇函数，故A 错误；对于B ，|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x )，故|f (x )|g (x )是偶函数，故B 错误；对于C ，f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|，故f (x )|g (x )|是奇函数，故C 正确；对于D ，|f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|，故|f (x )g (x )|是偶函数，故D 错误.故选C.
【答案】C
11.若函数f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )=af (x )+bg (x )+2在区间(0，+∞)上有最大值5，则F (x )在区间(-∞，0)上( )
A.有最小值-5
B.有最大值-5
C.有最小值-1
D.有最大值-3
【解析】∵函数f(x)和g(x)都是奇函数，
∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.
又F(x)在区间(0，+∞)上有最大值5，
∴F(x)-2在区间(0，+∞)上有最大值3，
F(x)-2在区间(-∞，0)上有最小值-3，
∴F(x)在区间(-∞，0)上有最小值-1.
【答案】C
12.已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，-2)上单调递减，若g(x)=f(x-2)是奇函数，且
g(2)=0，则不等式xf(x)≤0的解集是()
A.(-∞，-4]∪[-2，+∞)
B.[-4，-2]∪[0，+∞)
C.(-∞，-2]∪[2，+∞)
D.(-∞，-4]∪[0，+∞)
【解析】g(x)=f(x-2)的图象是将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，又g(x)=f(x-2)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(-2，0)对称，大致图象如图所示，
且f(0)=g(2)=0，f(-4)=g(-2)=-g(2)=0，f(-2)=g(0)=0，结合函数的图象，由xf(x)≤0可知
{x≥0，f(x)≤0或{
x<0，
f(x)≥0.
结合图象可知x≥0或-2≤x<0或x≤-4.
故不等式xf(x)≤0的解集是(-∞，-4]∪[-2，+∞)，故选A.
【答案】A
13.已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=-x2+1
x+1
+t，则t=，f(-2)=.
【解析】因为函数f(x)为R上的奇函数，
所以f (0)=0，即-02+
10+1+t =0，解得t =-1.
所以f (x )=-x 2+1x+1
-1. 所以f (2)=-22+12+1-1=-143.
所以f (-2)=-f (2)=143. 【答案】-1 143
14.定义在区间(-8，a )上的奇函数f (x )在区间[2，7]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为a ，最小值为-1，则2f (-6)+f (-3)= .
【解析】根据题意，f (x )是定义在区间(-8，a )上的奇函数，则a =8.又由f (x )在区间[2，7]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为a =8，最小值为-1，则f (6)=a =8，f (3)=-1. 函数f (x )是奇函数，则f (-6)=-8，f (-3)=1.
则2f (-6)+f (-3)=2×(-8)+1=-15.
【答案】-15
15.如果f (x )是定义域为R 的偶函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2-4x ，那么不等式f (x +2)<5的解集是 .
【解析】因为f (x )为偶函数，所以f (|x +2|)=f (x +2)，则f (x +2)<5可化为f (|x +2|)<5，则|x +2|2-4|x +2|<5，即(|x +2|+1)(|x +2|-5)<0，
所以|x +2|<5，解得-7<x <3，
所以不等式f (x +2)的解集是(-7，3).
【答案】(-7，3)
16.已知y =f (x )是偶函数，y =g (x )是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在x ∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式f (x )
g (x )<0的解集是 .
【解析】不等式f (x )
g (x )<0可化为f (x )g (x )<0，
由题图可知，当x >0时，其解集为(0，1)∪(2，3).
∵y =f (x )是偶函数，y =g (x )是奇函数，
∴f (x )g (x )是奇函数，
∴当x<0时，f(x)g(x)<0的解集为(-2，-1).
综上，不等式f(x)
g(x)
<0的解集是{x|-2<x<-1，或0<x<1，或2<x<3}.
【答案】{x|-2<x<-1，或0<x<1，或2<x<3}
17.已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，f(x)=x+b，且f(x)的图象经过点(-2，0)，在y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0，2)，过点(-1，1)的一段抛物线.
(1)求出函数f(x)的解析式；
(2)求出函数f(x)的值域.
【解析】(1)∵f(x)的图象经过点(-2，0)，
∴0=-2+b，即b=2.
∴当x≤-1时，f(x)=x+2.
∵f(x)为偶函数，
∴当x≥1时，f(x)=f(-x)=-x+2.
当-1≤x≤1时，依题意设f(x)=ax2+2(a≠0)，
则1=a·(-1)2+2，∴a=-1.
∴当-1≤x≤1时，f(x)=-x2+2.
综上，f(x)={x+2，x≤-1，
-x2+2，-1<x<1，-x+2，x≥1.
(2)当x≤-1时，f(x)=x+2∈(-∞，1]；当-1<x<1时，f(x)=-x2+2∈(1，2]；当x≥1时，f(x)=-x+2∈(-∞，1].
综上所述，f(x)的值域为(-∞，2].。