电磁场与电磁波课件之分离变量法

式中 k 称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有不 同的形式。
当 k = 0 时，二常微分方程的解为
X(x)A0xB0 Y(y)C0yD0
( x ,y ) ( A 0 x B 0 ) C 0 y ( D 0 ) ( 1 )
当 k ≠ 0 时，二常微分方程的解为
X (x)A sikn xB co kx s
与前同理， 的解应为
() A sm in B co m s
R 1d d r r2d d R r s1in d d sid n d sm i2 2 n 0
可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，与前 同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令
1 dr2dRn(n1) Rdr dr r2d dr2R 2 2rd dR rn(n1)R0 式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为
(0,y)0 (0yb)
x
(a ,y ) U 0 (0 y b )
0 x
O 0
U0
ax
2. 圆柱坐标系中的分离变量法 具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
2(,)
1 12
2
2 0
令其解为
(,)R () ()
代入上式求得
RddddR 1dd2 2 0
n 1
(a ,y ) 0 (0 y b )代入上式，得
0 A 0 a (C 0 y D 0 )A n sk in a n (C n sik n n y D h n co k n y ) sh n 1
0 A 0 a (C 0 y D 0 )A n sk in a n (C n sik n n y D h n co k n y ) sh n 1
Q
m n
( x)之和，这里
m<n
。
当
n
是整数时，Pnm (x) 及
Q
m n
(
x)
为有限项多项式。因此，要求
n
为整数。
根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 x1时，Qm n (x)。 因此，当场存在的区域包括 0或 时，x1，此时只能取第一 类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令
()Pn m(x)Pn m(co)s
r 1 2 r r2 r r2 s 1i n si n r2 s 1 2 in 22 0
令
(r,,) R (r) () ()
代入上式，得
sR 2 in d d r r2d d R r sid d n sid d n 1d d 2 2 0
为使上式对 y在 0 内成b 立，则
A0 0
A nsikn n a0(n 1 ,2 , )
其中 A不n 能为零，否则 ， 故0 有 sinkna0
得
knna (n1,2, )
则 (x ,y ) A 0 x ( C 0 y D 0 )A n sk in x ( n C n sik n y n D h n co k n y ) sh
两边再除以 X(x)Y(y)，得
1 d2X(x) 1 d2Y(y)
X(x)
d2x
Y(y)
d2y 0
只与x有 关
只与y有 关
要使上式成立，式中每一项都必须为常数。此常数写成 k 2 。
d2X(x)k2X(x)0 dx2
d2Y(y) d y2
k2Y(y)
0
由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一 维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方 程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。
应 用： 求解二维拉普拉斯方程的边界问题。
1. 直角坐标系中的分离变量法 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系中 的分离变量法。
无源区中电位满足的拉普拉斯方程为 2 0
在直角坐标系中的展开式为
令 (x,y)X (x)Y (y)
2 2 x2 y2 0
代入上式，得 Y(x)d2dX2 (xx)X(x)d2 dY(2 yy)0
（n=1，2，┄）。
含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的 线性组合仍然是方程的解。
位函数 (x, y)的通解为
(x ,y ) (A 0 x B 0 )C ( 0 y D 0 )
(A nsk in x n B nck o n x )s C ( nsik n n y h D nco k n y s ) h(3 )
n 1
(0 ,y ) 0 (0 y b )代入上式，得
0 B 0 (C 0y D 0 ) B n(C nsik n ny h D nco k ny s )h n 1
为使上式对 y在 0 内成b 立，则 B n0(n0,1,2, )
则 (x ,y ) A 0 x ( C 0 y D 0 )A n sk in x ( n C n sik n y n D h n co k n y ) sh
双曲函
Y (y)C sik n y h D coksyh 数
( x , y ) ( A s k i B c x n k ) C o s x ( k s i D c n y k ) o h y ( s 2 )h
式中 A, B, C, D 为待定常数。
为满足给定的边界条件，分离变量k 通常取一系列特定的值 kn
那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合
n
(r,,)(Amsim nBmcoms) m0n0 (CnrnDnr(n1))Pnm(co)s
若静电场与变量 无关，则 m = 0 。那么 Pn0(x)Pn(x) 称为
第一类勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为
(r,) (C nrnD nr(n1))Pn(co)s n0
球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于球外场强。 球内外的电场线如图示。
y
a
z
0
E0
§3.6 分 离 变 量 法
基本思想: ①把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未知
函数仅是一个坐标变量的函数。 ②代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个常
微分方程。 ③分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中的
待定常数，从而得到位函数的解。
方 式： 所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。
R(r)Crn D rn1
将此结果代入上式，得
d d sind d n(n1)sin sm i2 n 0
令 cos，则x上式变为
d d x (1x2)d d x n(n1)1 m x 22 0
上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数 Pnm (x)与
第二类连带勒让德函数
R()C kD k
(,) ( A ck o B s s k i ) C n ( k D k )
通常变量 的变化范围为02，那么位函数随 的变化一定是以
2 为周期的周期函数。因此分离常数 k 一定是整数，以保证函数的周
期为2。即 kn (n0,1,2, )且 B0 0，则通解为
n 1AnCnsinna xsinna hy
Ans
n1
innxs
a
innhy
a
An AnCn
(x ,b ) U 0 (0 x a )代入上式，得
U0n 1An sin na xsinna hb
U0n 1An sin na xsinna hb
为确定常数 A，n 将 U在0区间 (0上, a按)
展sin开n为ax傅 里叶级数，即
U0
n1
fn
sinnx
a
fn
2 a
a
0U0s
innxdx
a
4U0
n
0
n 1,3,5, n 2,4,6,
An
fn
sinh nb
a
4U0
n
sinhnb
n 1,3,5,
0
a n 2,4,6,
导体槽内电位函数为
(x,y)4U 0n1 ,3, nsi1n nb hsinn a xsin na y h
a
导体槽内电位分布情况为
例 一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位
为 100sin ，x金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的
a 分布。
解：选定直角坐标系
2x22 y22 0 （D域内）
0
(x0,0ya)
0
(y0,0xa)
10s0inx
(ya,0xa)
a
0
(xa,0ya)
例 由四块沿 z轴方向放置的金属板围成的矩形长槽，四条棱线处有 无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。
解: 设金属板沿 方z向为无限长，槽内
空间的电位函数满足直角坐标系中的 二维拉普拉斯方程。
y 0
b
2 0
（矩形槽内）
(x ,0 ) 0 (0 x a )
(x ,b ) 0 (0 x a )
上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项与 无关，因此二项均
应为常数，令
R ddd dR 1d d2 2 k2
即
1ddddRrk2R0
d2 k2 0d2式中k为分离源自数k 0()A0B0
R()C 0D 0ln
(,) ( A 0 B 0)C 0 ( D 0 ln )
k 0
() A ck o s B sik n
(,) C 0 D 0 ln ( A n cn o B n sn i) ( n C nn D n n ) n 1
圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：
y
a
x
E0
电场线
等位面
3. 球坐标系中的分离变量法 具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。
电位微分方程在球坐标系中的展开式为
n 1
n x
n y
n y
n 1A nsin a(C nsin ah D ncoa s)h
(x ,0 ) 0 (0 x a )代入上式，得
0
n1
AnDn
s
innx
a
0
n1
AnDns
innx
a
为使上式对 x在 0 内a成立，且 A则n 0
D n0 (n1,2, )
则 (x,y ) n 1A nsin a n x(C nsin n a y h D nco n a y s)h
(a ,y ) 0 (0 y b )
(x ,0 ) 0 (0 x a )
(x ,b ) U 0 (0 x a )
由于槽内电位 和0 x0
，则其0通解形式为 xa
(x ,y ) (A 0 x B 0 )C ( 0 y D 0 )
(A nsk in x n B nck o n x )s C ( nsik n n y h D nco k n y s ) h(3 )
n 1
若令 k 代2 替 k 2 ，可得另一形式通解
(x ,y ) (A 0 x B 0 )C ( 0 y D 0 )
(A nsik n n x B h nco k n x ) sC ( n h sk in y n D nck o n y )s
n 1
(4 )
解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。 解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。
例 横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 U的0 金属 盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。试
求此导体槽内的电位分布。
解: 导体槽在 z方向为无限长，槽内电
位满足直角坐标系中的二维拉普拉斯 方程。
U0 b
2 0
（导体槽内D域）
(0 ,y ) 0 (0 y b )