日土县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

日土县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且满足f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （2015）=（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．8
D ．﹣8
2． 若y x ,满足约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0
033033y y x y x ，则当31++x y 取最大值时，y x +的值为（ ）
A ．1-
B ．
C ．3-
D ．3
3． 设函数f （x ）=，f （﹣2）+f （log 210）=（ ）
A ．11
B ．8
C ．5
D ．2
4． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD
的中点，则等（ ）
A
． B
． C
． D
．
5． 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 复数z=（其中i 是虚数单位），则z 的共轭复数=（ ）
A ．﹣i
B ．﹣﹣i
C ． +i
D ．﹣ +i
7． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 设定义在R 上的函数f （x ）对任意实数x ，y ，满足f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且f （3）=4，则f （0）+f （﹣3）的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣4 C ．0 D ．4
9． 设F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|=4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等
于（ ）
A ．
B ．
C ．24
D ．48
10．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A1
C
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）
A．钱B．钱C．钱D．钱
12．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是．
14．若直线y﹣kx﹣1=0（k∈R）与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是．
15．已知i是虚数单位，复数的模为．
16．（﹣）0+[（﹣2）3]=．
17．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是．
18．直线l：（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是．
三、解答题
19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．
（I）求证：EF⊥平面PAD；
（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．
20．已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2分别在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A
到点F1距离的最小值是1，过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示．（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）判断▱ABCD能否为菱形，并说明理由．
（Ⅲ）当▱ABCD的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．
21．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）． （1）当a=
1
2
时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g （x ）为f 1（x ），f 2（x ）
的“活动函数”．已知函数()()
22
1121-a ln ,2f x a x ax x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
.()22122f x x ax =+。

若在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，求a 的取值范围．
22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥． （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ；
（2）若15,3,60AC BC A AB ==∠= ，求三棱锥1C AA B -的体积．
23．
24．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有团员的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分
A B C D E，其频率分布直方图如下图所示．
别记为,,,,
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团团员的平均年龄；
C D E三组中用分层抽样的方法抽取了6名团员负责全团协调，然后从这6名团员中（Ⅱ）该团导游首先在,,
随机选出2名团员为主要协调负责人，求选出的2名团员均来自C组的概率．
日土县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵f（x+4）=f（x），
∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），
又∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】
考点：简单线性规划．
3．【答案】B
【解析】解：∵f（x）=，
∴f（﹣2）=1+log24=1+2=3，
=5，
∴f（﹣2）+f（log210）=3+5=8．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点，
∴=，=
∴=++=+=
故选C
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．
5．【答案】A
【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，
∴母线长为，
圆锥的表面积S=S
底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．
故选A．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
6．【答案】C
【解析】解：∵z==，
∴=．
故选：C．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
7．【答案】A
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，
取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，
故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．
8．【答案】B
【解析】解：因为f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0，
则f（0）+f（0）=f（0+0）=f（0），
所以，f（0）=0；
再令y=﹣x，
则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，
所以，f（﹣x）=﹣f（x），
所以，函数f（x）为奇函数．
又f（3）=4，
所以，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣4，
所以，f（0）+f（﹣3）=﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
10．【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
11．【答案】B
【解析】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，
又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，
则a﹣2d=a﹣2×=．
故选：B．
12．【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图
【试题解析】由题知：
所以m可以取：0，1，2．
故答案为：C
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．
14．【答案】[1，5）∪（5，+∞）．
【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，
由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，
故只需要令x=0有
5y2=5m
得到y2=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是
y2≥1
得到m≥1
∵椭圆方程中，m≠5
m的范围是[1，5）∪（5，+∞）
故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．
15．【答案】．
【解析】解：∵复数==i﹣1的模为=．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
16．【答案】．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
17．【答案】异面．
【解析】解：把展开图还原原正方体如图，
在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面．
故答案为：异面．
18．【答案】[4，16]．
【解析】解：直线l：（t为参数），
化为普通方程是=，
即y=tanα•x+1；
圆C的参数方程（θ为参数），
化为普通方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=64；
画出图形，如图所示；
∵直线过定点（0，1），
∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16，
最小值是2=2×=2×=4
∴弦长的取值范围是[4，16]．
故答案为：[4，16]．
【点评】本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时先把参数方程化为普通方程，再画出图形，数形结合，容易解答本题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF∥AB，
∴EF⊥平面PAD；
（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．
取AO中点M，连OG，EO，EM，
∵EF∥AB∥OG，
∴OG即为面EFG与面ABCD的交线
又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，
故OG⊥EO
∴∠EOM 即为所求
在RT△EOM中，EM=OM=1
∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．
【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．
20．【答案】
【解析】解：（I）由题意可得：，解得c=1，a=2，b2=3．
∴椭圆E的方程为=1．
（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，k OA•k OB=﹣1．
①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：=1，解得y=，
取A，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
∴
k OA•k OB=====
，
假设=﹣1，化为k2=﹣，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．
综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．
（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
|AB|=
=．
点O 到直线AB 的距离d=．
∴S 平行四边形ABCD =4×S △OAB =
=2×
×
=
．
则S 2=
=＜36，
∴S ＜6．
因此当平行四边形ABCD 为矩形面积取得最大值6．
21．【答案】（1）()()2max
min 11,.22e f x f x =+= （2）a 的范围是11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
【解析】试题分析：（1）由题意得 f （x ）=12x 2+lnx ，()
2'11f
0x x x x x
+=+=>，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．
试题解析：
（1）当
时，
，
；
对于x ∈[1，e]，有f'（x ）＞0，∴f （x ）在区间[1，e]上为增函数，
∴
，
．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，则f 1（x ）＜f （x ）＜f 2（x ）令
＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，
且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，
∵
若
，令p ′（x ）=0，得极值点x 1=1，
，
当x 2＞x 1=1，即 时，在（x 2，+∞）上有p ′（x ）＞0，
此时p （x ）在区间（x 2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p （x ）∈（p （x 2），+∞），不合题意； 当x 2＜x 1=1，即a ≥1时，同理可知，p （x ）在区间（1，+∞）上，有p （x ）∈（p （1），+∞），也不合题意；
若
，则有2a ﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p ′（x ）＜0，
从而p （x ）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p （x ）＜0在此区间上恒成立，只须满足 ，
所以
≤a ≤．
又因为h ′（x ）=﹣x+2a ﹣=
＜0，h （x ）在（1，+∞）上为减函数，
h （x ）＜h （1）=
+2a ≤0，所以a ≤
综合可知a 的范围是[，]．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
试题分析：（1）有线面垂直的性质可得1BC AB ⊥，再由菱形的性质可得11AB A B ⊥，进而有线面垂直的判定定理可得结论；（2）先证三角形1A AB 为正三角形，再由于勾股定理求得AB 的值，进而的三角形1A AB 的面积，又知三棱锥的高为3BC =，利用棱锥的体积公式可得结果.
考点：1、线面垂直的判定定理；2、勾股定理及棱锥的体积公式.
23．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20
根据平均数值公式求解即可．
（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=，P（X=3），列出分布列，
求解数学期望即可．
【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20，
可估计盒子中小球重量的众数约为20，
而50个样本小球重量的平均值为：
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）
故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；
则X～B（3，），
X=0，1，2，3；
P（X=0）=×（）3=；
P（X=1）=×（）2×=；
P（X=2）=×（）×（）2=；
P（X=3）=×（）3=，
∴X的分布列为：
即E（X）=0×=．
【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．。