CHAP13 网络最大流

则 = {v y vv vv }4。 。 则 K = {v v ， v v }。 3 ， 2 4 则K K4 = {xv ， xv } 1 1 3 2 2 3 1 2 1 22，v1v3}。 这个割的容量为 这个割的容量为 这个割的容量为 C(K )) = C(v v ))+ + C(v y) = 14. 4 2 4 3 C(K = C(xv C(v v ) + C(xv C(v v ) = ) = 15. C(K3) = C(xv ) = 21. 2 1 1 1 3 1v2) + C(v 2 2 4 1v318. 2) + C(v 由此可知网络可有多个割，且容量可以不同。
f (v, V) – f (V, v) = 0, f(S, v≠x, y(守恒条件 )； = f(S, S)+ S) ， 于是对任意的SV，x∈S，y∈S，有 f(S∪S, S) = f(S, S)+ f(S, S) – f(S∩S, S) fxy = ∑v∈S [ f (v, V) – f (V, v)] ， = f(S, S)+ f(S, S)。 或者 fxy = f (S, V) – f (V, S)。 ？ 即fxy = f(S, S) – f(S, S)。 将V=S∪S代入可得fxy = f (S, S) – f (S, S)。 由S的任意性可知定理成立。
弧集A(N)上的一个整数值函数，即f：A→N， V1、V2是V(N)的子集。记 (V1, V2) = {(u, v)∈A(N)|u∈V1, v∈V2}, f (V1, V2) = ∑f ()，这里∈(V1, V2)。 特别，当V1= { i }时，将f (V1, V2) 记为f (i, V2)。
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最小割
定义13.1.5：设K是网络N的一个割，若
不存在N的其它割K’，使得 C(K’) ＜ C(K), 则称K为N的最小割，记为Kmin。 在上例中K4是N的最小割，其容量为14。 割其实是网络上的咽喉要道，割的容量 自然会制约着网络上的流。实际上最小 割的容量就是网络的最大流。
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割的例子
8,4
x 7,4 5,1 v2 v1 9,3 2,0 9,5 v3 6,1 v4 10,4
5,4
y
V1V ={x, v v ,={y, v }, V ={y, v }4， 在网络中，若取 ={x, v , v }, V ={y, v , v }， 1, 2 3 1 4 在网络中，取 在网络中，取V ={x}, ={x, v }, V V ={y, v , v , v , v } ， 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 3 4
最大流
定义13.1.3：设 f 是网络的一个流。如果不存在
N的流 f’，使得 f’xy ＞ fxy，则称f 为最大流，记 为fmax。 运输网络的一个主要问题就是找出它的一个最 大流 f max，最大流表示在尽量满足条件的情况 下，网络中各条干线上的最大运输量。 为了解决网络最大流的问题，需要引进割的概 念。
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割与流
将 定理 V= 3.1.1 S∪ ：设网络 S代入该式，并注意到 N的流 f 的值为fS∩ (V S= ： V 1) xy， 1,
V –– ff ((S V ,V 。 是 fxy N = 的割。于是 f(S, V) – f(V,fxy S)==f f(V (S, ∪ S) ∪ S, 1,S 1) 1 1)S) f (x, V) =S) fxy– ；ff(S, (V,S∩ x) =S) 0； 证明：由流的定义： 而f(S, S∪S) = f(S, S)+ f(S,
函数f 可以看作网络中弧上的实际流量。它们
还需要满足一定的条件才会在网络上形成 “流”。
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流的概念
定义13.1.2：设N(x, y, C) 是一个网络，f是定义
在A(N)上的一个整数值的函数。若f满足： ⑴对∈A(N) ，0≤f ()≤C(); (13.1) ⑵对中间点i有f (i, V)= f (V, i); (13.2) 则称f是网络N的一个流， f (x, V)称为流f 的值， 记为f xy。其中： 式(13.1)称为约束条件，即流量不超过容量。 式(13.1)称为守恒条件，即任何中间点的流入 等于流出。
第十三章
网络最大流
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1
§13.1 网络的流与割
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2
网络的定义
定义12.1.1：设有向图N具有两个非空的顶点子
集X、Y，X∩Y=，并且在弧集A上定义了一 个非负整数值的函数C，则称N为一个网络， 记为N(X, Y, C)，其中： 1)X和Y中的顶点分别称为源和汇，其它顶点称 为中间点。 2)函数C：A→N( N为非负整数集)，称为此网 络的容量函数，它在一条弧上的值称为该弧的 容量。记为C()或C(i, j)，这里= (i, j)∈A。
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割
定义13.1.4：设N = (x, y, C)为一个网络，
V1V(N), x∈V1, y∈V1=V(N)–V1，称 (V1, V1)为N的一个割,记为K(V1, V1) 由割的定义可知，网络N的一个割既是分 离源和汇的弧之集合。记 C (K) = ∑K C ()。 称C (K) 为割K的容量。
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流的一个例子
8,4 x 7,4
v1
5,1
9,3 2,0
9,5
v3
6,1
5,4 y 10,4
v2
v4
上图给出了一个网络及其流。 弧上的第一个数字是容量，第二个是流。
可以验证该网络满足约束条件和守恒条件。
该网络的流 f 的值 fxy = 8。
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2网络：
4
v1
x
6 4
5 2 1
v2
1
2
4
v6
8
y
v5 7 v3 v4 4 其中：x和y分别为源和汇；v1~ v6为中间点； 各弧上标记的整数是该弧的容量函数值，例如 C(x, v1)=4。
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网络中的一个函数 f
设N是有一个源x和一个汇y的网络，f是定义在