借助几何画板软件破解高考难题

楚 该题 的解 题 思想 ；二 是 学生 不 能 适 应解 题 过 程 的变 情 形 ，再拉 动 点 ，使 圆 Ａ的半 径 任 意变 化 ，让 学 生
换．面对 这种情形 ，需要借助 “ 操作演示 ”来促进学 观察 圆 与椭 圆的公 共点个 数 ，如 图 ３ 所示． 生对问题的理解 ，“ 作 图”是找到解决问题切人口的最
有 效 的方 法 ．于是 ，我 们 通 过 几 何 画 板 软件 的 动态 演 示 ，引导 学 生完 成问题 的解 答 ．
三 、 教 学 实 录
１ ．引入 课 题
上 课 开 始 ，教 师用 ｐ ｐ ｔ 列 出２ ０ １ ６ 年 高 考数 学 浙 江卷 理 科第 ｌ ９ 题 及 其解答 ． 师 ：这 是 一道 圆 锥 曲线 的综合 题 ，第 （ １ ） 小 题 是我 们 平 时做 的题 型 ，昨 天有 同学 拿着 试题 的第 （ 为 ｋ ≠ ，ｋ ＞０ ， ＞０，
所以１ ＋ 。 。 ＋ Ｊ ｉ ｝ ： ＋ 口 （ ２ 一 口 ） 。 ｋ ＝ ０ ．
２ ０ １ ６ 年高考数学浙江卷理科第 １ ９ 题如下．
如图ｌ ， 设椭圆 ＋ Ｙ 。 ＝ １ ＞１ ） ・
【 设计说 明】让学生带着疑问来学习，变被动为主
动 ，让课 堂 教学 更高 效．
２ ．分析 图形
师 ：结合题意 ，针对刚才的各种位置关系 ，同学
们 能发 现什 么 ？
、
学情 分析
点Ｐ ，Ｑ， 满足Ｉ Ａ Ｐ Ｉ ＝ ｌ Ａ Ｑ Ｉ ．
： ，且 ｋ 。 ＞ ０， 记直线 Ａ Ｐ ，Ａ Ｑ的斜率分别 为 ｋ ， ｋ
ｋ ２ ＞０ ， ｋ ｌ ≠后 ２ ．
该题第 （ １ ） 小题是 常规题 型 ，对学生来说轻 车熟 路． 第（ ２ ） ４ ｘ 题考查 圆与椭 圆的位置关系，已知条件为
公共 点 的充要 条件 为 １ ＜ 口 ≤ ．
由 ： 旦：
Ｕ “
，得所 求离 心率 的取 值范 围为
２ ａ 。 Ｉ ｋ ｌ 廊
１＋Ⅱ ｋ
Ｏ＜ｅ≤
．
（ ２ ）假设 圆 与椭 圆 的公 共 点有４ 个． 有 两个 不 同 的 由对称性可设 Ｙ 轴左侧的椭 圆上 ， 二
所以口 ＞ ．
（ ２ ）若任意以点 Ａ （ ０ ，１ ） 为 ＼ ＼ ＼
圆心的圆与椭圆至多有３ 个公共 点 ，求椭 圆离心率的取值范围．
解 析 ：（ １ ）直 线 ｙ ＝ ｋ ｘ＋１ 被 椭 圆截 得 的 线段 长 为
故以点 Ａ （ ０ ，ｌ 、 为圆心的任意圆与椭圆至多有３ 个
由（ １ ） 圳 Ｐ Ｉ ＝ ２ ａ ２ ［ ｋ ， Ｋ ／ １ ＋ ｋ ， ２
，
“ 定点 Ａ”“ 圆与椭 圆至多有三个公共点” ，结论为 “ 求 椭 圆离心率 的取值范围” ，显然 ，条件与结论之间的联
系并没有像第 （ １ ） 小题那么显而易见．“ 任意圆”的出
现 ，导 致学 生认 知上 的 困难 ．
收稿 日期 ：２ ０ １ ７ —０ ８ —１ ８
作者简 介 ：张延斌 （ １ ９ ８ ２ 一 ） ，男，中学一级教师 ，主要从 事中学数 学教 育教 学研 究．
・
４ ５ ・
中国数学教育 ２ ０ １ ７ 年第 １ １ 期 （ 总第 １ ７ ９ 期）
通 过 对学 生 解 题情 况 的调 查 发 现 ：一 是 学 生 不清 接着 ，教师 拖动 点 ，使 椭 圆处 于 比较 “ 扁 ”的
Ｉ ＝
．
故
＝ ２ ａ 厢
１ ＋ａ ２ ｋ
‘
第（ ２ ） 小题的标准答案 ，运用 了点 Ａ的特殊性 ，借 助第 （ １ ） 小题 的结论 ，巧妙地避开 了圆与椭 圆的位置关
系 的讨论 ．
所 以 （ ｋ ｌ ２ － ｋ ） ［ １ ＋ ＋ ＋ 。 （ ２ － ａ ２ ） ｋ ， ｋ ： ２ ］ ＝ ０ ．
摘 要 ：针对学生普遍感到 困难的 ２ ０ １ ６ 年高考数学浙江卷理科第 ｌ ９ 题 ，在课堂上通过几何 画板
软件 的动态演示功能 ，破解 了疑难问题 ，为学生点明了解题之路 ，以实施有效的课 堂教 学，发展 学生 的核心素养 ．
关键 词 ：高考试题 ；几何 画板 软件 ； 离心 率 ；圆锥 曲线
２ ０ １ ７ 年第 １ １ 期 （ 总第 １ ７ ９期 ）
中 国数 学 教育
ｚＨｏＮＧＧＵＯ Ｓ ＨＵＸＵＥ Ｊ ｌ ＡｏＹＵ
№１ １。２ ０１ ７ Ｇｅ ｎ ｅ ｒ ａ Ｉ 。№ １ ７ ９
借助几何 画板 软件破解 高考难题
张延斌 ，魏定波 （ 浙 江省 宁波市第四 中学）
参考答案 ，希望老师帮助解析 ，事后该 同学表示还是
有 许 多疑 惑．
师：对于上述 的椭 圆 ，对于任意的圆 ，你能发
现 什 么吗 ？ 生： ：有４ 种 情 形 ， 圆与 椭 圆的 公 共 点 个 数 可 以是
２ ，３ ，４ ，０ 个．
生。 ：这道题 目我也看过，“ 任意以点 Ａ （ ０ ，１ １ 为圆
心 的 圆与椭 圆至多有 ３ 个 公共 点 ” ，觉 得好 像 行不 通 ． 师 ：这 位 同学 对 题 意 的 理解 有 疑 问 ，当初 我 也 曾 经 被 已知 条 件 所 困惑 ．今 天 这节 课 我们 一 起 来 解 决 这
个 问题 ．
师 ：对 ，实 际上 有 ５ 种 情 形 ，有 ２ 个公 共 点 就 有 两 种 情形 ． 教 师用 ｐ ｐ ｔ ￣ ，示上 述５ 种情 形．
（ １ ）求直线 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ １ 被椭圆 截得的线段长 （ 用０ ，ｋ 表 示） ．
Ａ
因 此 （ ＋ （ ＋ 小口 － ２ ） ．
因为上式 中关于 ｋ 。 ， ｋ ２ 的方程有解 的充要条件是
一 、
图１
１ ＋ 口 ａ 一 ２ １ ＞１ ，