2025版高考数学一轮总复习课时作业第三章一元函数的导数及其应用专题突破7导数的综合应用

专题突破7 导数的综合应用
1. 已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线方程.
解：由题意，，，所以.
切线方程为，即.
（2）求证：.
证明：设，则.所以. 当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增.
所以，即.
2. 已知函数，.若对随意的
恒成立，求实数的取值范围.
解：由题意，可知对随意的恒成立，所以在上恒成立.
设，则.令，则在恒成立.所以在上单调递增.
所以，即在恒成立.所以函数在上单调递增,.
所以，即的取值范围为.
3. 已知函数图象上点处的切线方程为. （1）求函数的解析式;
解：由题意，可知.
因为函数图象上点处的切线方程为，所以
,.
即所以
所以.
（2）函数，若方程在,上恰有两解,求实数的取值
范围.
[答案]
函数，则
.
所以当,时，；当时，.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减.
因为方程在，上恰有两解，
所以即
解得.
则的取值范围为.。