2025届安徽省黄山市新世纪学校九上数学期末考试试题含解析

2025届安徽省黄山市新世纪学校九上数学期末考试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示的是几个完全相同的小正方体搭建成的几何体的俯视图，其中小正方形内的数字为对应位置上的小正方体的个数，则该几何体的左视图为()
A．B．C．D．
2．27的立方根是（）
A．±3 B．±33C．3 D．33
3．一个物体如图所示，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
4．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP，作射线PD，使∠APD=60°，PD 交AC于点D，已知AB=a，设CD=y，BP=x，则y与x函数关系的大致图象是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B ．任意一个四边形的外角和等于360°
C ．早上太阳从西方升起
D ．平行四边形是中心对称图形
6．下列事件为必然事件的是（ ）
A ．打开电视机，它正在播广告
B ．a 取任一个实数，代数式a 2+1的值都大于0
C ．明天太阳从西方升起
D ．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
7．二次函数y=3(x –2)2–5与y 轴交点坐标为( )
A ．(0，2)
B ．(0，–5)
C ．(0，7)
D ．(0，3)
8．投掷硬币m 次，正面向上n 次，其频率p =n m ，则下列说法正确的是( ) A ．p 一定等于
12
B ．p 一定不等于12
C ．多投一次，p 更接近12
D ．投掷次数逐步增加，p 稳定在
12附近 9．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）
A ．9︰16
B ．3︰4
C ．9︰4
D ．3︰16
10．如果用配方法解方程
，那么原方程应变形为（ ） A ． B ． C ． D ．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在Rt △ABC 中，∠C 是直角，sinA =23
，则cosB =__________ 12．如图在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点F ，D 为AC 的中点，以点D 为圆心，DC 长为半径作弧，交AB 于点E ，若2BC =，则阴影部分的面积为________．
13．已知∠A＝60°，则tan A＝_____．
14．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF︰GH＝．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④4a2+2b+c＜0，
其中正确结论的序号为_____．
16．方程x2＝x的解是_____．
-，0)=0，那么x的取值范围为__________
17．已知MAX(a，b)=a，其中a>b如果MAX(2x x
18．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣kx+3＝0的两根，且满足x1+x2﹣x1x2＝4，则k的值为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（1，0），直线过点A（—1，0），与⊙C 相切于点D，求直线的解析式．
20．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B，
(1)求证：△ADF∽△DEC
(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.
21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD23
=，AE＝1，求劣弧BD的长．
22．（8分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
23．（8分）如图，△ABC 中，∠A =30°
，∠B =45°，AC =4，求AB 的长.
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，其边长为2，点A ，点C 分别在轴，轴的正半轴上．函数2y x =的图象与CB 交于点D ，函数k y x =（k 为常数，0k ≠）的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数2y x =的图象在第三象限内交于点F ，连接AF 、EF ．
（1）求函数k y x
=的表达式，并直接写出E 、F 两点的坐标． （2）求△AEF 的面积．
25．（10分）如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝
2k x
的图象相交于A ，B 两点，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（3，n ）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）点P 在线段AB 上，且S △APO ：S △BOP ＝1：3，求点P 的坐标．
26．（10分）已知5AB =，4=AD ，//AD BM ，3cos 5
B =
（如图），点C ，E 分别为射线BM 上的动点（点C 、E 都不与点B 重合），连接AC 、AE 使得DAE BAC ∠=∠，射线EA 交射线CD 于点F ，设BC x =，AF y AC =.
x=时，求AF的长.
（1）如图1，当4
（2）当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域.
∆是等腰三角形，直接写出x的值.
（3）连接BD交AE于点P，若ADP
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据题意，左视图有两列，左视图所看到的每列小正方形数目分别为3，1．
【详解】因为左视图有两列，左视图所看到的每列小正方形数目分别为3，1
故选：A．
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，解题关键是根据俯视图确定左视图的列数和各列最高处的正方形个数．
2、C
【分析】由题意根据如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，据此定义进行分析求解即可．
【详解】解：∵1的立方等于27，
∴27的立方根等于1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
3、D
【解析】从图形的上方观察即可求解.
【详解】俯视图从图形上方观察即可得到，
故选D．
【点睛】
本题考查几何体的三视图；熟练掌握组合体图形的观察方法是解题的关键．
4、C
【分析】根据等边三角形的性质可得出∠B=∠C=60°，由等角的补角相等可得出∠BAP=∠CPD，进而即可证出△ABP∽△PCD，根据相似三角形的性质即可得出y=-1
a
x2+x，对照四个选项即可得出．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=AB=a，PC=a-x．
∵∠APD=60°，∠B=60°，
∴∠BAP+∠APB=120°，∠APB+∠CPD=120°，
∴∠BAP=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴CD PC
BP AB
=,即
y a x
x a
-
=，
∴y=- 1
a
x2+x.
故选C.
【点睛】
考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-1
a
x2+x是解题的关键．
5、A
【分析】根据随机事件的概念对每一事件进行分析.
【详解】选项A,只有当两条直线为平行线时,同位角才相等，故不确定为随机事件.
选项B，不可能事件.
选项C，不可能事件
选项D,必然事件.
故选A
【点睛】
本题考查了随机事件的概念.
6、B
【分析】由题意直接根据事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】解：A、打开电视机，它正在播广告是随机事件；
B、∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴a取任一个实数，代数式a2+1的值都大于0是必然事件；
C、明天太阳从西方升起是不可能事件；
D、抛掷一枚硬币，一定正面朝上是随机事件；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．注意掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、C
【分析】由题意使x=0,求出相应的y的值即可求解.
【详解】∵y=3（x﹣2）2﹣5,∴当x=0时，y=7,∴二次函数y=3（x﹣2）2﹣5与y轴交点坐标为(0,7).
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.
8、D
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
【详解】投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在1
2
附近．
故选：D．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．9、B
【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．
因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B.
考点：本题主要考查了相似三角形的性质
点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方
10、A
【解析】先移项，再配方，即方程两边同时加上一次项系数一般的平方．
【详解】解：移项得，x 2−2x ＝3，
配方得，x 2−2x ＋1＝4，
即（x−1）2＝4，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、23
【分析】由题意直接运用直角三角形的边角间关系进行分析计算即可求解得出结论.
【详解】解：如图，
解：在Rt △ABC 中，
∵∠C 是直角，
∴B cosB BC A =
， 又∵23BC inA AB s ==, ∴23cosB =. 【点睛】
本题考查直角三角形的边角关系，熟练掌握正弦和余弦所对应的边角关系是解题的关键. 12、7536π【分析】过D 作DM ⊥AB ，根据=EDA ABC CBF CDE S S S S
S ++-阴影扇形扇形计算即得．
【详解】过D 作DM ⊥AB ，如下图：
∵D 为AC 的中点，以点D 为圆心，DC 长为半径作弧，交AB 于点E ∴AD=ED=CD
∴=A DEA ∠∠，2AE AM =
∵30A ∠=︒
∴=DEA=30A ︒∠∠
∴60EDC ∠=︒
∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒
∴60B ∠=︒
∵2BC = ∴23tan 30BC AC =
=︒
∴132AD ED CD AC === ∴3sin 302DM AD =︒=，33cos30322
AM AD =︒==，23AE AM == ∴60423603CBF S ππ⨯==扇形，6033602EDC S ππ⨯==扇形，13324EDA S AE DM ==1232ABC S BC AC ==
∴
73
6 =
5
4
EDA ABC
CBF CDE
S S S S S
π
++-=-
阴影扇形扇形
故答案为：753 64π
-
【点睛】
本题考查了求解不规则图形的面积，解题关键是通过容斥原理将不规则图形转化为规则图形．13、3
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【详解】tan A=tan60°=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
14、3：2．
【详解】解：
过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
则∠4=∠5=90°=∠AMF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，
∴四边形AMFD是矩形，
∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，
同理HN=AB=2，HN∥AB，
∴∠2=∠2，
∵HG⊥EF，
∴∠HOE=90°，
∴∠2+∠GHN=90°，
∵∠3+∠GHN=90°，
∴∠2=∠3=∠2，
即∠2=∠3，∠4=∠5，
∴△FME ∽△HNG ，
32
EF FM GH HN ∴== ∴EF ：GH=AD ：CD=3：2．
故答案为：3：2．
考点：2．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质．
15、②③．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】由图象可知，抛物线开口向下，a ＜0，对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，b ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，所以abc ＜0，因此①是错误的；
当y ＝0时，抛物线与x 轴交点的横坐标就是ax 2+bx+c ＝0的两根，由图象可得x 1＝﹣1，x 2＝3；因此②正确； 对称轴为x ＝1，即﹣2b a
＝1，也就是2a+b ＝0；因此③正确， ∵a ＜0，a 2＞0，b ＞0，c ＞0，
∴4a 2+2b+c ＞0，因此④是错误的，
故答案为：②③．
【点睛】
此题考查二次函数的图象和性质，掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
16、x 1＝0，x 2＝1
【分析】利用因式分解法解该一元二次方程即可.
【详解】解：x 2＝x ，
移项得：x 2﹣x ＝0，
分解因式得：x （x ﹣1）＝0，
可得x ＝0或x ﹣1＝0，
解得：x 1＝0，x 2＝1．
故答案为：x 1＝0，x 2＝1
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键.
17、0﹤x ﹤1
【分析】由题意根据定义得出x2-x＜0，通过作出函数y=x2-x的图象，根据图象即可求得x的取值范围．
【详解】解：由题意可知x2-x＜0，
画出函数y=x2-x的图象如图：
由图象可知x2-x＜0的取值范围为0＜x＜1.
故答案为：0＜x＜1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是理解新定义并根据新定义列出关于x的不等式运用数形结合思维分析．18、2
【分析】根据两根关系列出等式,再代入第二个代数式计算即可．
【详解】∵x1、x2是方程x2﹣kx+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝k，x1x2＝1．
∵x1+x2﹣x1x2＝k﹣1＝4，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查一元二次方程的两根关系,关键在于熟练掌握基础知识,代入计算．
三、解答题(共66分)
19、
33
y x
=或
33
y x
=
【详解】解：如图所示，连接CD，
∵直线为⊙C的切线，
∴CD⊥AD．
∵C点坐标为（1，0），
∴OC=1，即⊙C的半径为1，∴CD=OC=1．
又∵点A的坐标为（—1，0），∴AC=2，
∴∠CAD=30°,
在Rt△AOB中，
3
tan30
3 OB OA
=⋅︒=，
即
3
0,
3
B
⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
设直线l解析式为：y=kx+b（k≠0），则
3
3
k b
b
-+=⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
解得
33
,
33 k b
==
∴直线l的函数解析式为
33
33
y x
=+，
同理可得，当直线l在x轴的下方时，直线l的函数解析式为
33
33 y x
=--.
故直线l的函数解析式为
33
33
y x
=+或
33
33
y x
=--.
【点睛】
这是一道圆与直角坐标系的综合题，求直线的解析式，通常用待定系数法（知道图象上两个点的坐标即可），题目已给出点A的坐标，再求出一个点即可，抓住点D是直线与⊙C的切点，由C点坐标为（1，0）及圆的性质易求点B
的坐标为（0，
3
3
），由点A和点B的坐标易求直线的解析式
20、（1）见解析（2）3
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC AB∥CD
∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=180︒,∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC CD=AB=4
又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD
在Rt△ADE中，2222
(33)36
AD AE
+=+=∵△ADF∽△DEC
∴AD AF
DE CD
=33
4
AF
=
∴AF=3
21、（1）见解析；（2）4
3π．
【分析】（1）由等腰三角形的性质与圆周角定理，易得∠BCO=∠B=∠D；
（2）由垂径定理可求得CE与DE的长，然后证得△BCE∽△DAE，再由相似三角形的对应边成比例，求得BE的长，继而求得直径与半径，再求出圆心角∠BOD即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：连接OD．
∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴123CE DE CD ，
∵∠B ＝∠D ，∠BEC ＝∠DEC ，
∴△BCE ∽△DAE ，
∴AE ：CE ＝DE ：BE ， ∴33BE =，
解得：BE ＝3，
∴AB ＝AE +BE ＝4，
∴⊙O 的半径为2， ∵tan 3ED EOD OE
∠==， ∴∠EOD ＝60°，
∴∠BOD ＝120°，
∴BD 的长120241803
ππ⋅⋅=
=． 【点睛】
此题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．证得△BCE ∽△DAE 是解题关键．
22、（1）20%；（2）能.
【分析】（1）设年平均增长率为x ，则2015年利润为2(1+x )亿元，则2016年的年利润为2(1+x )(1+x )，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可．
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x )，据此计算即可.
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为
3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
23、+1
【解析】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从而得出AB的长度.
试题解析：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，
∴CD=1
2
AC=
1
2
×4=1，
∴==在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=1，∴CD=DB=1，
∴．
24、（1）
2
y
x
=，E（2，1），F（-1，-2）；（2）
3
2
．
【分析】（1）先得到点D的坐标，再求出k的值即可确定反比例函数解析式；
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．由E、F两点的坐标，得到AE=1，FG=2-（-1）=3，从而得到△AEF 的面积．
【详解】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y=2，
将y=2代入y=2x，得到x=1，
∴点D的坐标为（1，2）．
∵函数
k
y
x
=的图象经过点D，∴2
1
k
=，∴k=2，
∴函数
k
y
x
=的表达式为
2
y
x
=．
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．
根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称∴点F的坐标分别为（-1，-2），
把x=2代入
2
y
x
=得，y=1；
∴点E的坐标（2，1）；
∴AE=1，FG=2-（-1）=3，
∴△AEF 的面积为：12AE•FG=131322⨯⨯= .
25、（1）反比例函数解析式为y ＝﹣
3x
；一次函数解析式为y ＝﹣x +2；（2）P 点坐标为（0，2）． 【分析】（1））先把点A 点坐标代入y=2k x 中求出k 2得到反比例函数解析式为y=-3x ；再把B （3，n ）代入y=-3x 中求出n 得到得B （3，-1），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）设P （x ，-x+2），利用三角形面积公式得到AP ：PB=1：3，即PB=3PA ，根据两点间的距离公式得到（x-3）2+（-x+2+1）2=9[（x+1）2+（-x+2-3）2]，然后解方程求出x 即可得到P 点坐标．
【详解】（1）把点A （﹣1，3）代入y ＝
2k x 得k 2＝﹣1×3＝﹣3，则反比例函数解析式为y ＝﹣3x ； 把B （3，n ）代入y ＝﹣3x
得3n ＝﹣3，解得n ＝﹣1，则B （3，﹣1）， 把A （﹣1，3），B （3，﹣1）代入y ＝k 1x +b 得11331k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得1k 1b 2=-⎧⎨=⎩
， ∴一次函数解析式为y ＝﹣x +2；
（2）设P （x ，﹣x +2），
∵S △APO ：S △BOP ＝1：3，
∴AP ：PB ＝1：3，
即PB ＝3PA ，
∴（x ﹣3）2+（﹣x +2+1）2＝9[（x +1）2+（﹣x +2﹣3）2]，
解得x 1＝0，x 2＝﹣3（舍去），
∴P 点坐标为（0，2）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
26、（1）AF =（2）220(05)254y x x x =<<-+；（3）52或3509. 【分析】过点A 作AN BC ⊥于N ，利用∠B 的余弦值可求出BN 的长，利用勾股定理即可求出AN 的长，根据线段的
和差关系可得CN 的长，利用勾股定理可求出AC 的长，根据AD//BC ，
AD=BC 即可证明四边形ABCD 是平行四边形，可得∠B=∠D ，进而可证明△ABC ∽△ADF ，根据相似三角形的性质即可求出AF 的长；（2）根据平行线的性质可得DAE AEB ∠=∠，根据等量代换可得BAC AEB ∠=∠，进而可证明△ABC ∽△ABE ，根据相似三角形的性质可得5AE BE AB AC AB BC x
===，可用x 表示出BE 、CE 的长，根据平行线分线段成比例定理可用x 表示出AF EF 的值，根据AF AF AE AC AE AC
=⋅可得y 与x 的关系式，根据x>0，CE>0即可确定x 的取值范围；（3）分PA=PD 、AP=AD 和AD=PD 三种情况，根据BE=25x
及线段的和差关系，分别利用勾股定理列方程求出x 的值即可得答案. 【详解】（1）如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，
∵AB=5，3cos 5
B =， ∴在Rt ABN ∆中，cos BN AB B ==5×3
5=3，
∴，
∵BC=x=4，
∴CN=BC-BN=4-3=1，
在Rt ACN ∆中，AC =
= ∵AD=4，BC=x=4，
∴AD=BC ，
∵//AD BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴B D ∠=∠，
又∵DAE BAC ∠=∠，
∴△ABC ∽△ADF ， ∴AB AC AD AF
=，
∴
54=
解得：AF =
（2）∵//AD BC ，
∴DAE AEB ∠=∠，
∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAC AEB ∠=∠，
又∵∠B=∠B ，
∴△ABC ∽△ABE ， ∴5AE BE AB AC AB BC x
===， ∴2
252525,x BE CE x x x x
-==-=， ∵AD//BC ， ∴
2
425AF AD x EF CE x ==-， ∴245254AF AF AE x AC AE AC x x x
=⋅=⋅-+， ∵x>0，CE=25x x ->0， ∴0<x<5， ∴220(05)254y x x x
=<<-+， （3）①如图，当PA=PD 时，作AH ⊥BM 于H ，PG ⊥AD 于G ，延长GP 交BM 于N ， ∵PA=PD ，AD=4，
∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE ，
∵AD//BE ，
∴GN ⊥BE ，∠DAE=∠AEB ，∠ADB=∠DBE ，
∴∠DBE=∠AEB ，
∴PB=PE ，
∴BN=EN=12BE=252x
， ∵3cos ABH 5=，AB=5，
∴BH=AB·cos∠ABH=3，
∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，
∴四边形AHNG是矩形，
∴HN=AG=2，
∴BN=BH+HN=3+2=5，
∴25
2x
=5，
解得：x=5 2 .
②如图，当AP=AD=4时，作AH⊥BM于H，∴∠ADB=∠APD，
∵AD//BM，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠DBC=∠BPE，
∴BE=PE=25
x
，
∵cos∠ABC=3
5
，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∴在Rt△AEH中，(4+25
x
)2=42+(3-
25
x
)2，
解得：x=350
9
，
③如图，当AD=PD=4时，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，
∴∠DAP=∠DPA，∵AD//BM，
∴∠DAP=∠AEB，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠AEB，
∴BP=BE=25
x
，
∵cos∠ABC=3
5
，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，∴四边形AHND是矩形，
∴DN=AH=4，HN=AD=4，
中Rt△BND中，(4+25
x
)2=42+(4+3)2，
解得：x=2565100
49
+
，
综上所述：x的值为5
2
或
350
9
2565100
+
.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合，熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想是解题关键.。